Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 92

Цхд=1+1,хг= — 3 — 1,хз= — 2 — 1,х4=4, 1,2)хд=1~-1, хг = — 3+ 1, хз = — 1+ 1, хз = 3 — 1, :3) хд = 4+ 21, хг = 1, хз = 1+ 1, хз=1,ха=1 — 1. 34.18. Ц (О, — 3, — 1,3); 2) ( — 4, — 1,3, -2). 34.19. Ц 45', 2) агссоз(1/3); 3) 30'. 34.20. Ц 30', 2) агссоз(1дддГ5). 34.21. Ц 3; 2) 2 3; 3) 4; 4) йб. 34.23. Ц, 3; 2) 5; 3) 2; 4) 2й2; 5) 4. 34.24. Ц хд = 3 4 1, хг = 7+ 21, хз = --2 — 1, хз = 1+ 1; 2) хд = — 3 + 1, хг = — 1 + 1, хз = 4 — 1, хз = 7 — 21, хз —— — 3 + 1.

34.25. Ц (О, 2, — 1, Ц; 2) (- 1, О, 1, О, Ц; 3) (2, 1, 3, — 1, 0). 34.26. Ц (1, 1, 1, 3), 2) (1, 1, — 2, — 2, 0). 34.28. Ц 2у'7; 2) 6~2. 34.29. Ц у'2; 2) ~Т4; 3) 4. 34.30. Ц 3; 2) 1. 34.31. Ц агссоз (~ 7дд3); 2) 45', 3) агссоз,72/3. 34.33. Ц 1,дд/5; 2) 5; 3) 2; 4) З,дъ 5; 5) д76: 6) 2д75дд3. 34.35. Ц х, = 2+ 1, + 1г, тг = — 1 — гд хз = -1+ 1д хд — — — 1 — 1г и хд — — 2+1, хг = — 1 — 1, хз — — — 1+ 1, хз — — — 1: 2) хд — — 2+ Гд, хг = 2+ 1г, хз = — 1+ 1з, хз = 2 — 21д — 21г + 1з, хз = 1 — 1д — 21г + 21з и хд — — 2+ д, хг = 2, хз = — 1+ д, х4 = 2 — 1, хз = 1+ 1; 3) хд = Згд + 21г, хг = — 1 — 2зд — Дг, хз = 1 -~- Дд -1- Дг, хд = — 2 -~- Гд, хз = 1 + Гг и хд = д, хг = -1 — Г, хз = 1, хз = — 2 + 1, хз = 1 — 1. 34.36.

45'. 34.37. Ц агссоз(2дд3); 2) 45', 3) агссоз(1/ъ'5). 351. Ц (~)д -~ (б)г = (т,'+тд)~'-Ь(тг+тгф; 2) (~)' .~-(и)' = (с')" Ф)' сг т~~ из величин не является ни тензором, ни инвариантом. 35.2. Ц Инвариант; 2) набор из и инвариантов, не тензор. 35.3. Ц, 2), 3), 4), 6) Инварианты; 5) нет. 35.4.

Ц, 4) Относительные инварианты; 5), 6) инварианты, 2), 3) не инварианты. 35.5. Ц Не инвариант; 2) тензор типа (О, Ц. 35.6. Ц Тензор типа (О, 2); 2) тензор типа Ответы и указания 459 <21 ! 1 1 1 О2 Т1 О'т2 1 1 О1 Т2 2 о гтг 1 1 Огт» 2 1 Огт» 1 1 О»т» г ! !»1'Гг 0'»Т2 г 1 1 1 2 1 О2Т2 О2Т2 1,2 2.2 1 2 1 2 г 2 Огт2 О2Т2 аг 1 аг 1 аг 2 !1 а, !1 !2 а, !2 а 2 35.24. Ц И=ТОУТ: (О, 2). 35.7. 1) Тензор типа (О, 2), а,ь = а,агб 2) тензор типа (О, 2), а«1 = а«оы 35.8.

1) Тснзор типа (О, 2), агь = а,бь, 2) тензор типа (О, 2), аы = а,аы 35.9. 1) Тензор типа (О, 2), а»2 = 1, аг = О при 1~1илиу~З;2) тензортипа (О, 2),ап=1, а, =Опри!фу. 35.10. 1) Тензор типа (О, 1), а! = аг = 1, аг =... = а„= О; 2) тензор типа (О, 2), а!! = а»2 = а21 = 1, аг, = О при ! -1- » ) 4: 3) тензор типа (О, 2), а, = 1 при всех 1, у; 4) тензор типа (О, 2), аа = 1, аб = О при ! ф уу 35.14. Данный тензор («символ Кронекераэ, или «изотропный тензорв) соответствует гождественному линейному преобразованию, его компоненты во всех базисах одинаковы.

35.15. б,'» = 2 о; !т . Билинейная функция, соответствующая атому тензору, в базисе е определяется формулой К (х, у) = ~ ь" т!'., «=1 где С', уг -- координаты векторов х и у. Она симметрична и положительно определена. 35.16. (О')' = т,',, где Т = 8 1 = ~ т,'~~. Данный тензор есть «о-й базисный вектор базиса е. 35.17. (В')' = О,", где Я = ~~О'~~. Ковектор 6, соответствует функции о»: Еп — > М„которая в базисе е определяется формулой ~р(х) = б!«(61«координата с номером го вектора х в базисе е).

35.18. б„'» — изотропный тензор типа (2, 2). У к а з а н и е: проверить закон преобразования компонент. При и = 3 среди компонент — 69 нулевых. 35.19. При »о = уо все компоненты нулевые: при !о ф уо! Вм», = 1, О „, = — 1, остальные компоненты нулевые; д~ы — — О",О»' — О,*'О»'. 35.20. Изотропный тензор типа (й, й). У к а з а н и е: проверить закон преобразования координат. 35.21.

1) ви з = («1ег Я)в», 1; 2) совокупность и" инвариантов, но не тензор. 35.22. Трехвалентный тензор в четырехмерном пространстве имеет 64 компоненты. При замене координат выражение для каждой компоненты будет содержать 64 слагаемых, каждое из которых состоит из четырех сомножителей. 35.23. Для всех возможных значений индексов г„уй (а')' = а»О»т» + + аг»Огт„' -!- агО" тг + аггогтг', 2) Длн всех возможных значений инДексов 1, 11 (а')1» = а11т»т» + а»гт,'тг» + аггтгт» + аггтгт1»; 3) длЯ всех возможных значений инДексов 1, У, Й: (а )'.ь — — а, О Оьт»+ а, О.

Оьтг+ 1 2 1 «2 2 1 «2 1 2 «1 1 2 «1 2 2 и 2 2 2 +атп!т Оьт,+аг,в Оотг+а!го.вьтг+аггО Оьт!+аггО Оьт»+аггО, Оьтг. 460 Опюеты и указания и 12 21 а22 гг т1 1 1 т1 т2 г тгт' 2 1 т' т2 г (тг)' Ь 44 ~~ (т2)2 '~ 1 ) (тз) ~ т'тг 1 1 ~ т2т1 1 1 ~ (т2)2 а' ,1г а ,гг а а /22 т т, г т1 т2 1 2 тгт' 1 2 тгтг 1 2 ; 3) если 2) Ъ'=ТЗТ: компоненты тензора а „упорядочены так: а11, а12, а21, агг, а11, $ 1 1 2 а12, а21, агг, то Ъ' = Т З о' З о' . Указание: при вычислениях использовать результат соответствующего пункта задачи 35.23.

35.25. Ц А' = ог АЯ, где А = ~да,Д; 2) А' = Я ~АЗ, где А = ~оа' ~о'; 3) А' = Я ~А(Я 1)т, где А = Ьа'1~!. 35.26. Ц Тензор типа (2, 0); 2) тензор типа (1, Ц; 3) тензор типа (О, 2); если данный тензор соответствует линейному преобразованию дг, то тензор, имеющий обратную матрицу, соответствует обратному преобразованию у1 '1. 35.27. Ь-мерныс матрицы компонент имеют Ь-валентные тензоры. 35.28.

ап1 = азы = агп = аггз = 1, апг = амг = аггг = аггг = О. 35.29. Азад при всех 1. 35.30. Ц 9 двумерных сечений третьего 00 01 0 — 1 00) порядка' 2) 24; 3) 54. 35.31. Ц 0 0 ' — 1 0 ' 1 0 ' 0 0 !' 2) матрица ( дь1)! — сечение матрицы ОЬ111((, соответствующее фиксированным верхним индексам: 1 = го, у = го. 35.33. Ц Г(х, у, 2) = = а, ьС'011,з; 3) а,, д = Г (е;, е, еь). 35.34. Тензоры типа (О, 3).

Ц а, ь = агЬ сь; 2) а, ь = ага.агб 3) а, ь = а,азад + Ь,Ь Ьь + с,с сдп 35.35. Тензоры типа (О, 3). Ц азгз = азгз = 1, остальные компоненты нУлевые; 2) ан1 = аггг = аззз = 1, остальные компоненты нулевые. 35.37. Ц В каждом из сечений переставляются две последние строки и два последних столбца; кроме того, два послеДних сечениЯ менЯютсЯ местами: Атгт. 2) Все элементы матрицы меняют знак. 3) 12Атз1. 35.38. Если е', = е,, то а'д~ — — а *„'. У к а з а н и е: если о' — матрица перестановки, -16 8 12 11 ~! 7 9 12 16 ,' то Я =Я. 35.39. Ц 115 8 9о,2) 1 -3 0 2 Ь -8 -6 21 14 — 3 1 0 — 1 ~~; 4) — 4 3 12 8 ' 36.4.

Ц а)Аооо' б)Аоод в)Аоод; 2) а)Аоо4, б)Аоод, в)Аоод; 3) а)Аооз, б)Аоот, в)Аот1, .4) а)А11з, б)А114, в)А712 36.5. Ц, 3) линейно зависимы; 2) линейно независимы. 36.6. Ц 2гтд; 2) базис состоит из всевозможных тензоров, у которых одна компонента равна единице, остальные — нули. 36.7. Упорядочим компоненты тензоров так; 2) (а1, аг, а1, аг); г1. 1 1 1 1 2 2 2 2 3) (а11 а12 ~ а21 ~ а22)~ 4) (ап а12 а21 агг а11 а12 а21 агг) н пусть Т = Я 1.

Тогда матрица перехода в пространстве тензоров есть: Ц Тт, 2) ЯЗТ'; 3) Т ЗТ; 4) ЯЗТ ЗТт. 36.9. Ц (2, 0), Асб 2) (1, Ц, Ао; 3) (1, Ц, Ат, 4) (О, 2), А„.; 5) (О, 3), Аоод; 6) (О, 3), Аоот, 7) (О, 3), Аозз', 8) (2, Ц, Аоод', 9) (3, 0), Аоод, 10) (2, Ц, Аомб 1Ц (О, 4), Аоод', 12) (О, 4), Авдо', 13) (1, 3), Аодз', Ответы и указания 461 — 10 — 5 10 5!' — 2 — 4 1 3 -2 2 2 б — 4 — 7 4 7 — 1 1 — 4 4 3) .

36.28. Ц а) 2, б) ; в) 0 0 0 — 5 д) 3; е) -5; 2) а) О О ') -5 О 610 5.-5 — 1 д) 0; е) 1; 3) а) 8 12 , б) 5 13 , .в) 3 — 1 4 — 2 ; в) 3 5 е) 4. 36.30. Ц Нет; 2) да. 36.31. Г(х, у) = 8 (у, х). 36.32. Ц Ато, 2) Аго', 3) Аозз~ 4) Аозо. 36.33. Ц И; 2) Аозз, Аезо, 5 6 7 8 ~1 3 2 4 ~~1 5~3 7 7 б 8 ~~ 2 6 ~ 4 8 ' для танзер типа (3 О) о~~с~ тот ~~~ 1 11 21 4 14 24 3) 2 12 22 5 15 25 3 13 23 6 16 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ~ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ~; 21 22 23 24 25 26 27 28 29 ,' 7 17 27 8 18 28 9 19 29 | 12 910 5 4 13 14 3 4 11 12 7 8 15 16 | 1 5 3 7 9 13 11 15 2 б 4 8 10 14 12 16 36.34.

г,'~ = Аг„'. 4) 14) (1, 3), Аыо, 15) (О, 4), Аооз, 16) (О, 4), Азов, 17) (2 2), Агиб 18) (3, Ц, Аоог. 36.10. Ц аЗЬг =Ьг За; 2) ЬЗат=атЗЬ; 3) а З Ь; 4) Ь З а. 36.11. Ц амЬы; 2) а'4Ьв~; а" Ь|~, амЪоб азЬм; а'гЬы. 36.12. Ц и~р: 2) ртм. Билинейные функции, определяемые формулами; Ц Ъ(х, у) = Е(х)8(у); 2) Ъ(х, 9) = 8(х)Е(у). 36.13.

Линейное преобразование ог пространства Е„, определяемое формулой ер(х) = Г(х) у, имеет матрицу Лм в базисе е. 36.14. См. ответ задачи 36.12. 36.15. Ц Танзер типа (2, 0); 3), 5) тензоры типа (1, Ц; 6) тснзор типа (2, Ц; 7) тснзор типа (2, 0): 8) тснзор типа (О, 2); о24 ~Π— 4~ выражения 2), 4) смысла не имеют. 36.16. 1) ~! О 2; 3) о02 ' ~2 2 — 1 1 '~4 8 52 — 18 5) 7 11, 6) Аогг; 7) у 6 18, 8) 76 42 ,'. 36.17. Ц Агоо, Азго; 2) Аюо, Азы' 3) Азов, Азгг. 36.18. Ц а З Ь; 2) а З Ь З с, где а, Ь вЂ” векторы, с -- ковектор с компонентами, соответственно равными (1, Ц, (1, — Ц, (1, 2).

36.20. 2) (хг + хг)(3уг + 2уг); 3) кооРдинатные стРоки фУнкпий Гы 8ы 1г, 8г соответственно Равны, например, (2, 1, — 3,0), (1,2,3, 0), (1, 1, 1, Ц,(О,О,О,Ц. Разложение не единственно. У к а з а в и е; использовать задачу 16.31. 36.22. Ц Значение линейной функции на векторе: 2) образ вектора при линейном преобразовании; 3) значение билинейной функции на паре одинаковых векторов. 36.23. Ц Да; 2) нет; 3) нет. 36.24. с' = аоЬо (свертка). 36.25.

Ц (6, 8, 2); 2) (О, — 1, — 2); 3) — 12. 36.26. 6. 36.27. Ц а) (4, 7); б) (8, 8); 2) а) (3, 0); б) (5, Ответы и указании х у — (х'уз +х у ) 2 1 192) 2 1 1 1 2 36.35. Ц 2", гуг; 2) 0 (12 г1) 1 2 1 хгуг) О 2 ( х а11+х-аг1, х а12+х аг 1 2 1 г а11 ™21 х а12 ™22 1 1,1 1 2 2 2, 2 х а11 х а21 х а12 х агг о' 3) 4) 5) г); б) ((а1 + агг)х', (а1 1+ агг)хг); 7) хга1 1+ — (х1аг + хга21), х агг + — (хга1 1+ хетаг~)): 8) — (х аг г— хгаг, 2 1 1 2)1 9) ( 1 + 2)2.