Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 91

32.13. 1) ~" х',.; 2) ~ ( — 1)' 1х1; 3) ~ г;; 4) х1 — ~ х',; 1.= 1 1.= 1 1 —.— 1 г=.г и и — 1 5) — ~„х',; 6) ~ т', . 32.18. 1) Положительно определена при *=1 ~=-1 Л > 1, неотрицательна при Л = 1, отрицательно определена при Л < — 4, неположительна при Л = — 4; 2) отрицательно определена при ~Л~ < 1, неположительна при Л х 1; 3) положительно определена при Л ) 8, неотрицательна при Л = 8; 4) таких значений Л нет; 5) положительно определена при Л < — 6, неотрицательна при Л = — 6, отрицательно определена при Л > 6, неположительна при Л = 6.

32.21. 2) пг пи. 32.22. Ц +Я+ Я+ ~42 в базисе— х/2' 7 2 ' 5 312 1 Г7 512 ЗЗ вЂ” ~/ — . 32.25. Ранг четное число, сигнату- 2 2 ' 72 2 ра равна нулю. 32.26. 2) Все линейные преобразования, матрицы которых ортогональны в том базисе, в котором записана данная форма. 32.27. Приводятся матрицы или формулы перехода от данного базиса е1, ..., еи к базису е1, ..., е'„и диагональная ,г 25 форма в новом базисе.

Ц Аог, х1 — 9хг; 2) Аог, — х1: 3) Азз, 12 х1 +9хг, 4) Аз4, — 10хгу1, 5) Аеы 2хгу1 2хгу2, 6) 61а8(Аю, 1), 2 2 — — х', — — хг; 7) Азгз~ х', + 2хг + 10хз; 8) Азпь х',У', + ЗхгУ,'; 9) Азы, хгу1 + бхгуг — бхзуз' 10) Азхм З(х1 +хг хз ); 11) .4зю 4х1 + 422 + хо, 12) Аз1з, 9х1 — хг — 9хз , .13) Азнь — (х1 + хг ); ' 2 14) .4згю 14х1, 15) Азии — бх191, 16) 4ззо, х/3(хгу1 — хгуг)' 17) — Азоь 2 2(х1 + хг + хз — х4 ); 18) Зхг + Зх!г + 6хз — бх~4 в базисе 1, 1 1 е, = †(е1 + ег + ез), ег = †(ег — ез + е4) ез †(е1 — ег + е4) ,/З ' ' ' , 3 ' ' ,/3 е' = †(е1 — ез — е4); 19) х' + 2х' + 5х~ + 10х' в базисе 1 454 Ответы и указании 1 1 1 е1 = (4е1+ ег — ез), е~г — — — (ег+ ее — е4), е12 —— — (ег+ ез+ 2е4), Зъ 2 е'„= — (е1 — 2ег + 2ез); 20) — х1 — х~г + 2х~з — 2х~4 в базисе е' = 3 1 1 1 †(ег — ез), е12 = †(ег + ез — 2е4), ез = (Зе1 + ег + ез + е4) е4 = †( — е1 + ег + ез + е4); 21) †(х1у1 + хгуг хзуз хзу4) в ба- 2 ' 2 1 1, 1 зисе е', = †(е1 + ег), ег = — (ез + е4), ез = †(е1 — ег), е4 = †(ез — е4); 22) 5(х — х — х ) в базисе е = †(2е1 — ег), 1 12 Рг Рг 172 1 2 3 Д 1 1, 1 и+1,2 е~г —— — (е1+2ег), е~з —— — (ез — 2е4), е4 — — — (2ез-1-е4); 23) х', + у'5 ъ~5 з/5 ' 2 — (хг +...

+ хв ); е1 = — 2 е,; ег, ..., е„— какой-либо орто- 2 ,/п, нормированный базис подпространства х1 + ... + х„= О, напри- /1 — 1 мер еез — — (12 е, — (14 — 1)ез (й = 2, ..., и); 24) пх1У1; „ъ4': у 1,1=1 * е' = — 2 , '( — 1)1 'еб ег,..., е'„— ортонормированный базис подпро- странства 2 ( — 1)' 'т, = 0; 25) х1 +... +х'„— х'„41 —... — хг„ в базисе е'„= — (ез+ ег„е), е'„= е„, е'„4„— — — (ее — е2„1) (1 < й < < п — 1); 26) 2 2 х',; е'„= — (ек. + ег„141), е'„е„— — — (ев — ег„-141) кй (1 < 14 < и); 27) 2,' х', соз в базисе ев = 11/'З11'З, где и+1 п в1п е, (Й = 1, ..., и). 32.26. х1' — х!г'; 2, 0; 2) х1': 9) х",У,"+хгУг — хз'Уз', 3, 1; 10) х" ,+хг' — хз!'; 3, 1; 11) х" ,+хг +хз!'; 15) — х1'; 1, — 1; 16) х1'у1 — хгуз', 2, 0; 17), 18) х1' + хг + хз — х4'; 4, 2; 19) х", х" + х" + х"; 4, 4; 20) х" — х" — х" — х"; 4, — 2; 21) х1'у1'+ хгуг — хазуев — х,",у,",, 4, 0; 22) х1' — х!г — х~з, 3, — 1: ы п 2П вЂ” 1 23) ~„х",; п, и; 24) х~1'у"; 1, 1; 25) 2, 'х',1 — 2 х'; 2п — 1, 1; ~=1 а=1 =в-~-1 в2 П 26) 2 х,"; п, и; 27) 2 вкп1 сов ) х,", ранг равен 2(п,12).

п+ ) Оп!веты и цказаа и бд!2 — 1 й, 9д!2 — 2 ~' З1 О О~ 51 — 1-.1 2 9 2 29 0 2 — 1 ' ) — 18 — 1 32.32. 2) Г дВ. 32.33. 1) 26 44 -49 -12 -21 24 — 5 — 8 10 512 5) — 848; 6) — 112 30 0-1! ЗО-1 О)~ 32.35. хд + ... + х,, если первые и векторов ортонормированнодг ! г го базиса принадлежат М, а остальные п — и принадлежат М п и и 32.36. 1) хд — — — ' — хг', хг = +; д = хд' + хг ! д = у'2 ' Зд!'2 3 ,и и иг иг и- и , — Зхд + хг, 29 иг 1 иг 5х, — 4хг, 2) хд = дд5хд, хг — †, ~ = — хд — — хг дд!5 2 2 п,и и п тдб у'21 дд6 и'21 и и иг хд хг хд 4хг , дсг иг д = хд + хг или хд = — + †,хг = — + †; 7" = хд + хг, д = Л доз' д76, з ' х" ,-~ 7хдг (обе форд!ад положительно определены); 4) хд = — д -~ — г, ддпз д! 6 и п п дз п пг иг иг 1 иг — 5хд + хг хг =ч 3:и! + д,! -хг, .г = хд + хг , д = т, — -тг , 5) хд = 2ЛЗ вЂ” +хг ,и, и Зч 10хд + хг ' У = 8хд +О 2хг, д = — хд — хг, 7) хд = (ддзхд— д! 65 дд2х~ ~ (д!! 5, хг = ((ъ 2 — 2ъ З)хд + (ъ 3+ 2ъдп2)х~ )/ъд5; г' = Зхд' — 2хг', — т;Га+1)хд'+ (дда+ 1+ т,,Га)х")7;/2а+1; 7" = (а+ 1)х" — ах.", и и и и и и п и иг !дг хп хд хг 2хз уд тг хз и п и д'=Зхд' +2хг,д=хд' .+хй +хз, 10) хд= — + + д! 5 4дГЗ 4~5 п п и и ° и хз хг ч бхз иг иг хг — — — — + — — —, хз — — — — +; 7" = 5х" ,— х!г' дЛ 2дГЗ 2Л 4ддЗ 4 пг пг , пг иг„ , хд хг хз и 5хз, д = х, т хг + хз, 11) хд — — — + — — †, хг —— и Зхз, ,Гб Гз ' 2хи 2хи 8хи 4хи Зхи 2хи Зхи 5:си 12) хд = д + — г + з,хг = д + г + з,хз = д + Л4 у'5 д! 70 ддГ4 д! 5 дд70 Л4 ъ'70 Ответы и указании 456 2 3 2 — 51 3 — 6 4г 2+ 5г — 4г 1+ ЗА'2 ~ хг + (1 — 1)хгхг — б~хг ~ — 1 О ~ 4+1 О 2+г 9) единичная матрица.

32.43. 6) (1 + 1)х 8) 2)хг)~ + Зхгхг + Зхгхг + (2 — 5г)хгхз + (2 + 5з)хзхг — 6)хг( + 41хгхз — 4зхзхг + (1 + Зъ'2))хз~ ~ 9) ~ (х,(". з=г 32.44. 1) б~хг~ — 2хгхг — 2хгхг + 8~хг~; 2) вхгхг + йхгх,; 3) 8~хг~ -Е 2хзхг + 2хгхг + хзхз + хзхз + 2хгхз + 2хзтг, 4) З(~хз~~ + ~хг(г) + ~хз~~ + ~хз~~ + хзхг + хгхз + 2г(хгхз — хзхз)— —. 21(хгхз — хзхг) + хзхз + хзхз. 32.45. В ответах даны формулы замены координат при переходе к искомому ортонормированному базису.

1) хз = (хз — гх~г)/у'2, хг = ( — гт' + х!г)/~2, (хг( + З)хг); 2) хг = (хз + хг), хг = (хг — хг)/ъг2, 5н2 б~хз~~~ — 4~х~г~~; 3) х1 = (хз + х~г)/и2, хг = в(хз — х~г)/зг2, 2~хг~~~; 4) хз — — (хз + гх!г)/ъ'2, хг — — (зхг + х~г)!ъ 2, хз — — хз, / ! ',1 г ~~г ~ ~'г. хз хг хз х, 2хз 2~хз~ + 4~хг~ — 5~хз~ , .5) хг = — + — + †, хг = уз Л йб' 3 йб' хз = — — — + —, З)хг); 6) хг = ( — х~ + х~з + (1 — г)х~з)/2, у'3 у'2 за хг = (хг + (1 + з)хз хз)г'2, хз = (хг + (-1 + г)хг + хз)/2), хз = ((1 + г)х', + хг + х~)/2, 4~хд)~ + 8)х',!г + 12(х'(г + 16(х,',(г. 32.46.

6(х, у) = к(х + у) — й(х) — к(у) к(х + 1у) — Й(х) — Й(у) 2 +з 2 П,Л и л вг вг лг лг 9х1 — хг бхз + 7х4 У=хг +хг +х!з, 9=14хз'; 13) хз = + Я 3 8х" ,— 2х" 5х!' — 8хл Зх" ,— хв Зх!' + 4х,", хг = (хз + хг + ха + Зхз)/2, хз = хз + хз, хз = ( — хз + хг + хз + хз)/2; 7 = 2(хз' +х~г' +аз' — 'зз' ), д = хз' +х!г +хз' +х.", . 32.37. Формы х~з и хз гдиагональны, но сРеди ик линейных комбинаций нет положительно определенных форм. 32.39. 1) 5х"; 2) т," + 4х"; 3) — хг' — — хг'; 4) 9хз' — хг . 32.41.

1) хз'"; 2), 3), 4) хг' + хг'; 5) х" ,ч- хг + хз; 6) х" ,— хг; 7) х," . 32.42. 1) 2) -г О 3) 3 4г 4) -31 2 5) О 1+1 ΠΠ— 5 г 2 1 — 1 1+г — 5 Опгееты и цказан л 457 33.4. Ц Да; 2) да; 3) нет. 33.13. При условии линейной зависимости векторов аы Ьы ае — Ье.

33.14. Ц хг = — 1+ 31, хг = 1., ха =З+з,хз= — 2+71;2)хг= — 2+31з+21г,хг=1+21г, хз = 1 — 61ы хз = 1+ Зз + ЗЗг, 3) 2х~ — 32хг — 10хз — 9хз + 21 = О. л 1 в | Р+9 Р+ Ч 2) хз = — 1, хг = 1; 3) хз = 1+ 1, хг = 1+ 1, тз = 1 — 1; 4) хг = зы хг = --3 31г + 21г, хз = 1г, '5) хг = хг = хз = 1; 6) хг = 1+ 71г, хг = 21з + 231г, хз = 1 + 1ы хз = 1 — 111г; 7) хз — 1И, хг = — 1 — 71, хз = 1+ 1; 8) хз = Ьг + 41г + 21з — Ззз тг = зы хз = 1+ зг х4 = зз хз = 1з. 33.19. Ц х~ — 2хг + 13 = 0; 2) 2хг — Зхг + хз + 1 = 0; 3) 4хз — хг — 22 = О, хг — 4хз — 2 = 0; 4) хз — хг + 1 = О, хз — хз = О, 2х~ — хз = 0; 5) 14хз — 5хг — 9хз — 4 = О, хг + 2хг — Зхз + 13 = О.

33.20. 2хз + Зхг — 4хз + хз+ 3 = О. 33.21. хг = — 1 + 31, хг = 3+1, хз =4 971, хз = — й 33.22. Ц хз +2хг+Зхз -хз+6 = О, хг+хг +ха+ + хз — 2хз + 5 = 0; 2) хг — хз + х4 = О, бхг + хг + 4хз — 4хз — 8 = 0; 3) 2х> + Зхг — хз — 4 = О, хг+ 2хз+ 2хз+ аз — 6 = О. 33.24. Если две двумерные плоскости в трехмерном пространстве имеют общую точку, то они содержат и общую прямую.

Если в четырехмерном пространстве трехмерная и двумерная плоскости имеют общую точку, то они содержат и общую прямую. Если в четырехмерном пространстве две трехмерные плоскости имеют общчю точку, то они содержат и общую двумерную плоскость. 33.26. Пусть ты тг и тз — плоскости с направляющими подпросгранствами ь, М и Л, проходящие через точки А, В и С соответственно. Тогда существует единственная плоскость наименьшей размерности, содержащая гпы тг и тз, направляющим подпространством искомой плоскости является сумма б + М + Л/ + Р, где Р линейная оболочка системы векторов АВ, АС.

33.27. 1) 5хг —. хг + 7хз -- 9 = О, Зхз — хз -- 3 = 0; 2) хг — 2хг -- 12хз + 1 = О, хг — хз + хз + 5 = 0; 3) 2хг — хз + хз + 1 = О. 33.28. Ц Трехмерная плоскость 5хз + + 2хг + хз + 11хз — 42 = О, 11хг + 5х — хз + 20хз — 81 = 0; 2) четырехмерная плоскость 73хз — бхг — 111хз — 62хз — 52хз — 195 = 0; 3) четырехмерная плоскость хг + хз — 2 = О. 33.30. Ц Параллельны; 2) имеют единственную общую точку (1, 2, 1, 0); 3) скрещиваются (абсолютно); 4) прямая принадлежит двумерной плоскости. 33.31.

Ц Абсолютно скреп1иваются; 2) имеют единственную общую точку (1, 1, 1, 1/2, 3/2); 3) скрещиваются параллельно прямой хг — — хг = О, хз = хз = -хз, 4) пересекаются по прямой хз — — хг = 1, 2 хз+ хз — — хз = 2; 5) параллельны; 6) совпадают. 33.32. (2, — 2, 3, З~; 14хг — 4хз — Зхз — 7 = О, Зхз + хг — 2хз + 2 = О. 33.33. 21 . 33.34.

хй = 1, хг = 4+ 1, хз = — 1 — 1, хз = 5+ 1; (1, 1, 2, 2) и (1, 2, 1, 3). 33.37. Ц (12, — 28, — 24, — 3); 2) ( — 5, 4, 8, — Ц. 33.38. Ц Является; 2) является; 3) является; 4) является при Лг = ... = Л„= О, не является во всех остальных случаях; 5) является; 6) является 458 Опдаеты и цказадд л при п = 1, не является при и 3 2. 33.41.

Тетраздр с вершинами в точках (З,д4, — 1дд4, — 1д4, — 1,14), ( — 1д4, З,д4, — 1/4, — 1д4), ( — 1дд4, — 1дд4, Здд4, — 1д4), ( — 1дд4, — 1дд4, — 1/4, З,д4) 33.43. Ц С,"2" — д', 2) 2д д. 33.44. Октаздр с вершинами в точках (1, 1, — 1, — Ц, (1, -1, 1, -Ц, (1, -1, -1, Ц, (-1, 1, 1, -Ц, (-1, 1, -1, Ц, (-1, -1, 1, Ц. 34.2.

Ц ~АВ = (ВС~ = и'7, (АС~ = ~/14„~В = 90', г'А = 'С = 45', 2) (АВ = 3, ;'АС! = 2, )ВС! = дд7, сА = 60', г'.В = агссоз 2дГ7 г'С = агссоз —; 3) АВ( = (ВС) = )АС( = 6, г'А = г'.В = з'.С = 60'. дд7' 34.4. Ц (-2, — 2, — 1, — Ц, Л = 6; 2) (О, — 1, 1, — Ц, Л = 5. 34.5. (1, — 1, — 3, Ц, Л = 7. 34.9. 1) 5; 2) 3.

34.10. Ц 5хд+2хг— — 4хз + 2х4 = Сд г, Сд —— 17, Сг — — — 11; 2) хд — 4хг + 2хз + 2хз = = Сд г', Сд = 29, Сг = -21; 3) 2хд — хг — хз + х4 + Зтз = Сд,г:. Сд =7, Сг= — 17. 34.11. Ц (1, 1, 2, — Ц; 2) (7, 2, 2, 1); 3) ( — 2, --3, 1,3,2). 34.12. Ц (2, — 1, 1,3); 2) (2,1,3,3,0). 34.13. 1ддп. 34.14. Ц ( — 3, — 7, — 1, — 5); 2) (5, — 1,5, — 5); (7, 2, 3, 0,9). 34.15. Ц (1, — 3,0, — 2);2) (1,1, 1, — Ц;3) (0,2,1,3, — Ц. 3417.