Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004)

УДК 514 ББК 22.151 Б42 Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учеб. пособие 7 Под ред. Д.В. Беклемишева. — 2-е изд., перераб. — Мз Ф1ЛЗМАТЛИТ, 2004. — — 496 с. — 1ЯВХ 5-9221-0010-6. Сборник соответствует обьедннениому курсу аналитической геометрии и линейной алгебры.

Имеются теоретические введения ко всем разделам, больпюс число задач, способствуквпих усвоении> основных понятий, и серии типовых задач с ответами. Первое тнд. — 1987 г. Для студентов вузов с повьппенной математической подготовкой. 1ББХ 5-9221-0010-6 Ос ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2004 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . 81 81 93 Глава 6. Матрицы . 156 8 17. Системы линейных уравнений с определителем, отличным от 0 162 3 18.

Системы линейных однородньгх уравнений................. 164 3 19. Системы линейных уравнений общего вида................. 166 175 180 Глава 1. Векторы и координаты... 3 1. Линейные соотношения 3 2. Скалярное произведение векторов . 3 3. Векторное и смешанное произведения векторов .. 3 4. Замена базиса н системы координат............ Глава 2.

Прямая и плоскость... 3 6. Прямая на плоскости . 3 6. Плоскость и прямая в пространстве... Глава 3. Кривые второго порядка.. 3 7. 1"еометрические свойства кривых второго порядка и их канони- ческие уравнения . '3 8. Касательные к кривым второго порядка .. 3 9. Общая теория кривых второго порядка... Глава 4. Поверхности второго порядка.. 3 10. Уравнения множеств в пространстве н элементарная теория поверхностей второго порядка .

3 11. Общая теория поверхностей второго порядка ............... Глава 5. Преобразования плоскости. Группы 3 12. Линейные и аффинные преобразования плоскости.... 3 13. Понятие о группах . 3 14. Определители. 3 16. Операции с матрицами. 3 16. Ранг матрицы. Глава 7. Системы линейных уравнений...

Глава 8. Линейные пространства....... 8 20. Примеры пространств. Базис и размерность .. 7 9 15 20 24 30 30 38 61 71 75 103 103 120 127 127 134 150 Содерэкаиие 185 188 Глава 9. Линейные отображения и преобразования 191 3 23. Основные свойства линейных отображений и преобразований. 191 3 24. Инвариантные подпространства, собственные векторы и соб- ственные значения линейных преобразований...................

213 238 241 248 260 Глава 11. Линейные преобразования евклидовых и унитарных пространств. 265 3 28. Примеры линейных преобразований евклидова пространства Сопряженное преобразование. 3 29. Самосопряжеиные и ортогональные преобразования......... 3 30. Линейные преобразования унитарного пространства......... 266 271 279 Глава 12. Функции на линейном пространстве.....

3 31. Линейные функции . 3 32. Билинейньге и квадратичные функции..................... 285 285 292 Глава 13. Аффинные и точечные евклидовы пространства . 307 307 315 Глава 14. Тензоры . 323 3 35. Определение тензора. Тензорные обозначения,пространствен Ответы и указания . Банк столбцов и матриц Список литературы 3 21.

Сумма и пересечение подпространств... 3 22. Комплексные линейные пространства... Глава 10. Евклидовы и унитарные пространства 3 23. Скалярное произведение. Матрица Грама................ 3 28. Геометрия евклидова пространства..................... $ 27. Унитарные пространства. 3 33. Аффинные пространства 3 34. Точечные евклидовы пространства... ные матрицы . 3 36. Алгебраические операции с тонзорами .

3 37. Теизоры в евклидоволю пространстве... 3 38. Поливекторы и внешние формы Решения . 328 .. 341 343 348 373 465 495 ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие предназначено для студентов физико-математических, инженерно-физических и инженерно-технических специальностей вузов. Цель авторов состояла в создании единого сборника задач, соответствующего объединенному курсу аналитической геометрии и линейной алгебры.

Все составители задачника имеют опыт преподавания математики в Московском физико-техническом институте, и этот опыт нашел отражение в содержании сборника. Последовательность разделов, а также определения и обозначения в основном соответствуют учебнику Д.В. Беклеми|пева «Курс аналитической геометрии и линейной алгсбрым Отметим методические особенности сборника.

В задачник включены некоторые разделы, отличающиеся от традиционных: в главу «Преобразования плоскости. Группы» введен ряд задач, в которых обсуждается общее понятие об отображениях; глава «ч ункции на линейном пространстве» содержит параграф «Линейные функции э; задачи, относящиеся к точечным и-мерным пространствам, выделены в отдельную главу «Аффинные и точечные евклидовы пространства», и круг этих задач значительно расширен; наконец, глава «Тензоры«з помимо детального обсуждения основных понятий, связанных с тензорами, содержит большое число упражнений с пространственными матрицами. Каждой главе, а также некоторым параграфам предпосланы теоретические введения. Введения начинаются со словаря- списка необходимых новых понятий, определения которых затем частично приводятся.

Введения содержат также обозначения, сводки важнейших формул и подробное изложение некоторых алгоритмов. В число задач включен ряд устных вопросов по курсу лекций. Иногда решение нескольких мелких вопросов приводит к решения> нетривиальной задачи. Такие задачи расположены группами или обеспечены ссылками. Некоторые задачи предваряют применение линейной алгебры в других математических курсах. Предисловие Выбор задач,как нам кажется, позволит использовать пособие при различных системах построения курса лекций. Так в 3 14 «Определители, включены задачи, в которых применяется умножение матриц, задачи из глав Х и Х1 о евклидовых пространствах могут решаться как до, так и после задач на квадратичные формы и т.д. Для облегчения работы преподавателя стандартные задачи даны большими сериями. При этом, чтобы сохранить объем задачника, авторам пришлось организовать банк столбцов и матриц (с.

465 — 494). При ссылках столбцы из банка обозначаются через сы а матрицы Аы где 1е соответствующий номер в банке. Однако столбцы и матрицы из банка использованы нс во всех задачах, частично изложение оставлено традиционным. Некоторыс типовые и более сложные задачи снабжены полными решениями, вынесенными в соответствующий раздел. Такие задачи отмечены знаком (р). Настоящее издание дополнено и переработано. Заново написаны главы Х и Х1, составлен раздел о жордановой форме матрицы, добавлен ряд новых задач в другие разделы. Произведены также некоторые сокращения. При составлении сборника были использованы учебныс пособия, список которых приведен в конце книги, а также отдельные задачи, предлагавшиеся на приемных экзаменах или входящие в задания для студентов МФТИ.

Хотя каждый из авторов нес ответственность за определенную часть материала, труд их был в значительной мере коллективным. В работе над первым изданием большое участие принимал Б.В. Пальцев. В настоящем издании ему принадлежит 3 34 и часть задач 3 33. Некоторые задачи были предложены коллегами по Московскому физико-техническому институту -- В.Б. Лидским, В.Р. Почуевым, А.А. Болибрухом.

Всем им авторы приносят глубокую благодарность. При подготовке рукописи были с благодарностью учтены все замечания, поступившие по поводу первого издания. Особенно здесь нужно отметить вклад И.А. Борачинского и Ю.Ю. Соонтальь Авторы считают своим приятным долгом отмстить, что на их деятельность оказала решающее влияние система преподавания математики в МФТИ, сложившаяся под руководством члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева. Глава 1 ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ В этой главе используются следующие основные понятия: вектор, нулевой вектор, равные. векторы, коллипеарные и комплапарные векторы, произведение вектора на веществесстсое число, сумма векторов, противополоэссссый вектор, разность векторов, линейнал. комбинация векторов, линейно зависимые векторы (линейно зависилсая сиспсема векторов), базис на плоскости и базис в пространстве, коордипатпы вектора в базисе, радиус-вектор точки, общая декартова система коорди<сит, коордипапсы точки, длина вектора, угол меэссду векторами, скалярное произведение двух векторов, проекция вектора на прямую, ортогопальный и ортонормировапный базисы на плоскости и в пространстве, прямоугольная система координат, ориентация тройки вектаоров в пространстве, ориентация пары векторов на плоскости, ориентация базиса, векторное произведение двух векторов, смешанное произведение трех векторов, определитаели впсорого и третьего порядков.

Используются такгке основные свойства линейных операций, скалярного, векторного и смешанного произведений. Пусть векторы а, Ь., с имеют в некотором базисе ес, ег, ез координаты (ос, ог, оз), (рс, рг, рз), ('ус, 'уг, 'уз). Необходимым и достаточным условиелс коллинеарности векторов является пропорциональность соответствующих координат этих векторов. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, Ъ, с является обращение в ноль определителя ос ог оз сэс сэг ссз 'сс ~2 ~з Если базис ортонормированный, то; длина вектора а равна скалярное произведение векторов а, Ь равно (а,Ь) =осА+огдг+оздз,. векторное произведение векторов а, Ь равно ес ег ез ~а,Ь) = г ос ог оз дс с9г дз Гл.