Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 13

7.30. Через точку М(0,3) провести прямую, пересекающую эллипс хз + 4уз = 20 в двух точках А и В так, что ~МА~ = = 2(МВ). 7.31. На эллипсе — + у = 1 найти точки из которых отэ 4 резок, соединяющий фокусы, виден: 1) под прямым углом; 2) под углом 60', 3) под наибольшим углом. 7.32. Составить уравнения семейств эллипсов: 1) с общими фокусами фс,0); 2) с общими директрисами л = та, и общим центром в начале координат. 7.33. Составить уравнение эллипса, если: 1) точки г'1(5, 1) и Рз( — 1, 1) являются фокусами, а прямая х = 31/3 — одной из директрис; 2) точка К ( — 6, 2) является одним из фокусов, точка А(2, 2) концом большой оси, эксцентриситет равен 2/3; 3) оси эллипса параллельны осям координат, точки А(4, О) и В(0, 4) принадлежат эллипсу, а точка В находится на расстоянии 3ъУ2 от одного из фокусов и на расстоянии 6 от соответствующей директрисы.

7.34. Пусть О -- центр эллипса, а, 5 -- его полуоси, а А и  —. такие точки эллипса, что прямые ОА и ОВ взаимно перпендикулярны. 1 1 1) Доказать, что величина + постоянна для ~ОВР всех возможных пар точек А и В. 2) Найти наиболыпее и наименыпее значения длины отрезка АВ. з" 7.

Геометрические свойства и канонические уравненил 67 Гипербола (7.35 — 7.50) 7.35. Найти полуоси, зксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис и асимптот гиперболы: .2 у2 2 у2 1) —,— —,=1; 2) —,— —,= — 1; а2 62 а2 62 х у2 3) — — — =1; 4) у2 — х2=1 16 9 5) ху=1; 6) ху= — 2. 7.36. Дана гипербола 100х2 — Збуа = 1. Определить, лежит ли точка А на гиперболе, внутри одной из ее ветвей или между ветвями: Ц А(118,— 1(8); 2) А(1,1); 3) А(1,7); 4) А( — 1(2,0). 2 7.37. Вычислить длину фокальной хорды гиперболы —— 4 — — = 1,перпендикулярной действительной оси.

49 7.38. В данной системе координат гипербола имеет каноническое уравнение. Составить зто уравнение, если: 1) расстояние между вершинами равно 10, а расстояние между фокусами равно 12; 2) длина вещественной оси равна 1, а точка (1,3) принадлежит гиперболе; 3) директрисами гиперболы являются прямые х = х „Д/6, а точка ( — 9,4) принадлежит гиперболе; 4) длина мнимой полуоси равна 1, а вершина гиперболы делит отрезок между фокусами в отношении 4: 1; 5) эксцентриситет гиперболы равен 7/5, а расстояние от вершины до ближайшего фокуса равно 2; 6) точка (7, — 2кЛ), принадлежащая гиперболе, удалена от левого фокуса на расстояние 4ъ 7; 7) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 60', а расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно — (2 — БАГЗ); 8) точка ( — 5/4, 3/2) принадлежит гиперболе, а асимптотамн являются прямые у = х2х; 9) точка ( — 1, 3) принадлежит гиперболе, а асимптотами являются прямые у = х2х.

7.39. Составить каноническое уравнение гиперболы, содержащей точку ( — 1, 3) и имеющей асимптоты у = х2х (сравнить с задачей 7.38, 9)). 68 Гл. о'. Кривые второго порядка 7.40. Вычислить зксцентриситет гиперболы, если: 1) ее полуоси равны (равносторонняя гипербола); 2) угол между асимптотами, содержащий фокус, равен 120', 3) асимптотами гиперболы являются прямые у = ~3х. 7.41. Вычислить эксцентриситет гиперболы, имеющей в данной системе координат каноническое уравнение, если: 1) расстояния от точки ЛХ(5, — 4), принадлежащей гиперболе, до директрис относятся как 2: 1; 2) сумма расстояний от точки Х( — 5, — 4) до асимптот гиперболы равна 20/3.

7.42. Выразить эксцентриситет гиперболы через эксцентриситет е эллипса, имеющего с этой гиперболой общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной оси. 7.43. Составить уравнение гиперболы, которая имеет общие фокальные хорды, перпендикулярные действительной .2 2 оси, с эллипсом — + — ' = 1. 5 3 7.44. Найти множество точек, являющихся серединами хорд гиперболы хз — 2у~ = 1, параллельных прямой 2х — у = О. 7.45. Через точку А(4, 4) провести хорду гиперболы х у — — — = 1, делящуюся в этой точке пополам. 3 4 г 7.46.

На гиперболе х — — = 1 найти точки из которых 2 У 4 отрезок, соединяющий фокусы, виден; 1) под прямым углом; 2) под углом 60', 3) под наиболыпим углом. 7.47. Составить уравнения семейств гипербол: 1) с общими фокусами (~с,О); 2) с общими директрисами х = тЫ н общим центром в начале координат; 3) с общими асимптотами у = вакх. 7.48. Составить уравнение гиперболы, если: 1) точки Г1(3, — 2) и Рз(5, — 2) являются фокусами, а прямая л = 7/2 одной из директрис; 2) точка Е (1, 3) является одним из фокусов, точка А( — 4, 3) — вершиной, а эксцентриситет равен 3/2; 3) точка г'(О, 0) является одним из фокусов, а прямые х + у + 2 = 0 -.

асимптотами. ~ 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 69 7.49. Доказать, что для данной гиперболы следующие величины постоянны, и выразить их через полуоси а, 6 гиперболы: 1) произведение расстояний от любой точки гиперболы до ее асимптот; 2) площадь параллелограмма, одна из вершин которого лежит на гиперболе, а две стороны лежат на асимптотах. 7.50. Доказать, что вершины гиперболы и четыре точки пересечения ее директрис с асимптотами лежат на одной окружности. Выразить радиус этой окружности через длину действительной полуоси. Парабола 17.51-7.64) 7.51. Найти координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы: 1) у2=2рх, р>0; 2) у2= — рх, р>0; 3) у2=6х; 4) уз= — Зх; 5) у=т2; 6) у= — ъ~Зх2. 7.52.

Как расположены по отношению к параболе у~ = 10х следующие точки: 1) (5, — 7); 2) (8, 9); 3) (5/2, — 5)? 7.53. Вычислить длину фокальной хорды параболы у~ = = х/5, перпендикулярной оси параболы. 7.54. В данной системе координат парабола имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) точка (5, — 5) принадлежит параболе; 2) расстояние от фокуса до директрисы равно 12; 3) длина хорды, проходящей через фокус под углом 45' к оси параболы, равна 18. 7.55. Найти уравнение множества точек, являющихся серединами хорд параболы ув = Зх, параллельных прямой 2х+ Зу — 5 — О.

7.56. Доказать, что середины хорд параболы, параллельных некоторой прямой, лежат на прямой, параллельной оси параболы. 7.57. Через точку А15,3) провести хорду параболы у2 = = бх, делящуюся в этой точке пополам. 7.58. На параболе у2 = 10х найти точку М такую,что: 1) прямая, проходящая через точку И и фокус параболы, образует с осью Ох угол 60', 70 Гл. оуь Кривые второго порядка 2) площадь треугольника с вершинами в искомой точке М, фокусе параболы и точке пересечения оси параболы с директрисой равна 5; 3) расстояние от точки М до вершины параболы равно расстоянию от М до фокуса; 4) расстояния от точки М до вершины параболы и до фокуса параболы относятся как 8: 7. 7.59. Найти множество значений, которые может принимать отношение расстояния от точки параболы до ее вершины к расстоянию от той же точки до фокуса.

7.60. Составить уравнение параболы с параметром р, вершина которой имеет координаты (а,б), а направление оси совпадает: 1) с положительным направлением оси Ох; 2) с отрицательным направлением оси Ох; 3) с положительным направлением оси Оу; 4) с отрицательным направлением оси Оу. 7.61. Составить уравнения семейства парабол: 1) имеющих общий фокус (0,0) и симметричных относительно оси Ох; 2) имеющих общую директрису х = 0 и симметричных относительно оси Ох. 7.62. Составить уравнение параболы, если: 1) точка Г(7,0) является фокусом, а прямая х = 1 директрисой; 2) точка Р(7,0) является фокусом, а прямая х = 8 -- директрисой, 3) точка Г(0, 1) является фокусом, парабола симметрична относительно оси Оу и касается оси Ох; 4) ось параболы параллельна оси Оу, фокус лежит на оси Ох, парабола проходит через начало координат я высекает на оси Ох отрезок длины 6.

7.63. Найти наибольший радиус окружности, лежащей внутри параболы у~ = 2рх и касающейся этой параболы в ее вершине. 7.64. Две параболы, оси которых взаимно перпендикулярны, имеют четыре точки пересечения. Доказать, что эти четыре точки лежат на одной окружности. 7.65. Кривыс у = х~ — 5 и х = 3 — у~ пересекаются в четырех точках, лежащих на одной окружности. Найти координаты центра этой окружности. у 8. Каеагпелькые к кривим вгпороео порядка 71 8 8.

Касательные к кривым второго порядка 8.1. Составить уравнение касательной к кривой: г г 1) — + — = 1 в точке (3, 1): 12 4 г г 2) — + — ' = 1 в точке (3, — 3); 36 12 х у 3) — — — = 1 в точке ( — 3, 0); 9 12 х у 4) — — — = 1 в точке (6, 1): 32 8 5) ху = 8 в точке (4, 2); 6) уг = бх в точке (3/2, 3).

8.2. Составить уравнение касательной к кривой: + ~У ®) 1 2) ~* ) — ~У ) г уг ' ог уг 3) ху= к; 4) (у — ф~ = 2р(х — а) в точке (хе, уе), принадлежащей данной кривой. 8.3. При каком необходимом и достаточном условии прямая Ах+ Ву+ С = 0 касается: ,г г хг уг 1) эллипса — + — = 1; 2) гиперболы — — — ' = 1; ог уг вг уг хг уг 3) гиперболы — — — = — 1; 4) гиперболы ху = й; вг уг 5) параболы уг = 2рх2 8.4. При каком необходимом и достаточном условии вектор 1(о,ф) является направляющим вектором некоторой касах у тельной к гиперболе — — — = 1? ог уг 8.5. Проверить, что данная прямая касается данной кривой, и найти координаты точки касания: , г г 1) Зх — 2у — 24=0, — + — =1; 48 36 г г 2) Зх — у — 12=0, — — — '=1: 20 36 3) Зх — 16у+24=0, ху= — 3; 4) х+ у+ 1 = О, уг = 4х.

8.6. Составить уравнения касательных к эллипсу л „г — + — =1: ЗО 24 1) параллельных прямой 2х — у — 1 = 0; 72 Гль Х Кривые второго порядка 2) перпендикулярных этой же прямой; 3) образующих угол 45' с прямой х+ Зр+ 3 = О. 8.7. Составить уравнения касательных к гиперболе г, 2 — — — = 1, параллельных прямой; 25 16 1) 4х=Зу; 2) х=1; 3) х — 2у+1=0. 8.8. Составить уравнение касательной к параболе у2 = = 10х,перпендикулярной прямой: 1) 2х+ у — 4 = 0; 2) д = 3; 3) х = О.

8.9. Какие точки на данной кривой второго порядка удалены на наименьшее расстояние от данной прямой? Найти это расстояние. 27з 9 1) — х~+ -у = 1, Зх+4У+5 = 0; 28 7 272 9 2) — х2+ — у = 1, Зх+ 4у = 0; 28 7 3) бх~ — 5у~ = 19, 12х+ 5у — 6 = 0; 4) бх~ — 5у2 = 19, 12х+ 5у = 0; 5) у2=64х, 4х — Зу — 76=0. 8.10. Дан эллипс х2+ 2д2 = 1. Найти расстояния; 1) от фокусов эллипса до касательной к нему в точке А(1/3, 2/3); 2) между касательными к эллипсу, параллельными прямой х+у = 1. 8.11.

Составить уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, если он: 1) содержит точку А( — 3,2) и касается прямой 4х — бу— — 25 = 0; 2) касается прямых х+у — 5 = 0 н х+4у — 10 = О. 8.12. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, если она: 1) содержит точку А(4, — 2у'2) и касается прямой Зх+ р + +8=0; 2) касается прямых х = 1 и 5х — 2у + 3 = О. 8.13.