Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 12

Это достигается переносом начала координат. А именно; если в уравнении имеются квадрат какой-либо переменной и одноименный линейный член, то эта пара дополняется до полного квадрата и начало координат переносится вдоль оси координат так,чтобы в преобразованном уравнении линейного члена уже не было. П р и м е р. у" 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 61 повернуть систему координат на 180'. При этом, почти каноническое уравнение Ахг 6 2Еу = 0 преобразуется хг = ( -2Е)А)у, замена х = — у', у = х' приводит к у'г = ( — 2Е)А)х'. Если Е/А ) О, то требуется еще замена а' = — х", у' = — у", после чего получается каноническое уравнение параболы уаг = 2рх", где р = Е/А ) О.

Для отыскания канонической системы координат выписываем каждую из формул перехода, подставляем их одна в другую и получаем окончательное выражение исходных координат через канонические х=огХ+ог1'+оо, У=ЗгХ+Згу+Зо Коэффициенты этих формул дают координаты начала канонической системы координат О'(оо,Зо) и ее базисных векторов Ег(аз,,Зг), Ег(аг„Зг) относительно исходной системы координат. Если система уравнений (6) совместна (в частности, если б = = АС вЂ” В ~ 0 — случай центральной кривой),то упрощение уравнения кривой удобно начинать с переноса начала координат в центр кривой: х = хо + х', у = уо + у'. Тогда в преобразованном уравнении коэффициенты при х' и у' обращаются в нуль (сьь задачи 9.18, 9.20).

Затем следует выполнить шаг 2. В первом приближении тип кривой второго порядка можно определить до упрощения ее уравнения по знаку б. Кривая относится к эллиптическому типу (эллипс, мнимый эллипс, пара мнимых пересекающихся прямых) при б ) 0; к гиперболическому типу (гипербола, пара пересекающихся прямых) при б < 0; к параболическому типу (остальные типы в табл. 1) при б = О. Уравнение второго порядка (1) в подходящей декартовой системс координат приводится к одному из канонических уравнений: Ц хг + уг = 1; 2) хг + уг = -1: 3) хг + уг = 0; 4) хг — уг = 1; 5) хг — уг = 0; 6) уг = т; 7) уг = 1; 8) уг = — 1; 9) уг = 0 Таким образом, существуют 9 аффинных типов кривых второго порядка. 8 7. Геометрические свойства кривых второго порядка и их канонические уравнения Окружность 17.1 — 7.10) 7.1.

Найти радиус н координаты центра окружности: хг-,'-уг+ 1у= О 2) хг+уг+5х — 5у+12= 0; 3) 2хг+ 2уг — 12х+ у+ 3 = О; 4) 7хг + 7уг — 2х — 7у — 1 = О. 7.2. При каком необходимом н достаточном условии уравнение Ахг + Вуг + 2Сх+ 2Ру+ Е = 0 задает окружность? Выразить радиус и координаты центра окружности через коэф- Гл. 3. Кривые вгпорого порядка фициенты уравнения. 7.3.

Составить уравнение окружности с центром в точке ЛХ(2, 2), касающейся прямой Зх + у — 18 = О. 7.4. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы прямая Ах+ Ву+С= О: 1) нс имела общих точек с окружностью (х — а)2+ + (у-5)' = В' 2) имела с этой окружностью две общие точки; 3) касалась этой окружности. 7.5. 1) Составить уравнение касательной, проведенной к окружности (х — 1)2+ (у+ 2)2 = 25 в точке ЛХ( — 3, 1).

2) Составить уравнения касательных к окружности (х — 1) +(у+1) =9, проходящих через точку ЛХ(1,4). 7.6. Составить уравнения касательных к окружности (х + 3) + (у + 1) з = 4, параллельных прямой 5х — 12у + 1 = О. 7.7. Проверить, что две данные окружности касаются, и составить уравнение их общей касательной, проходящей через точку касания: 1) (х — 1)' + (у — 2) = 18, (х — 5)' + (у — 6) 2) (х + 1)2 + (у — 1)~ = 45, (х — 1)~ + (у — 5)г = 5 7.8. Составить уравнения общих касательных к окружностям (х — 2)~ + (у + 1)2 = 9 и (х — 4)2 + (у — 3)~ = 1.

7.9. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены прямая, касающаяся окружности в точке В, и еще одна прямая, пересекающая окружность в точках С и Р. Доказать, что )АВ(~ = ~АР~ (АС!. 7.10. Две окружности касаются внешним образом. Через точку их касания проведена прямая, пересекающая первую окружность еще в одной точке А, а вторую окружность еще в одной точке В. Доказать, что касательные к окружностям в точках А и В параллельны.

Множества точек на плоскости, при изучении которых используются уравнения кривых второго порядка (7.11 — 7.20) 7.11. Доказать, что множеством точек ЛХ таких, что для двух фиксированных точек А и В отношение ~ЛХА~/~ЛХВ~ постоянно и равно Л ) О, является прямая линия при й = 1 и окружность при Л ~ 1. Выразить радиус этой окружности через й и длину отрезка АВ. з 7. Геометрические свойства и канонические уравнения 63 7.12.

Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В сумма ~МА)+ ~МВ~ постоянна и равна 2а, является эллипс с фокусами А и В. Выразить длины полуосей этого эллипса через а и длину отрезка АВ. 7.13. Доказать, что множеством точек М таких, что для двух фиксированных точек А и В модуль разности ~МА~ — ~МВ~ постоянен и равен 2а, является гипербола с фокусами А и В.

Выразить полуоси этой гиперболы через а и длину отрезка АВ. 7.14. Доказать, что множеством точек, равноудаленных от фиксированной точки А и фиксированной прямой 1, является парабола с фокусом А и директрисой 1. 7.15. Определить множества точек, которые в прямоугольной системе координат задаются неравенствами: 1) х'+ (у+ 2)' < 4 2) (х+ — ) +(у — — ) >25; 3) х +у +Зх<О,у<О; 4) — 1 < х~ + у~ — 2х+ 2у < 7; 2 а 5) — + — < 1; 16 9 6) — + — > 1; 4 9 х' 7) 1< — +у~<9; 9 8) 4хз — 4х+ 9у~ + бу+ 1 < 0; е,'~*-тг ~-" ~,л* ге) е Г < в 1к ~Л;сг в„— 1г.~.,не~ ~„-..т)1, е 11) — — — < 1; 16 9 х 12) — — — > 1; 13) ~/х+ 7у < 2; х у 14) — — — ' <1; 4 36 15) ~Зх~ — 9уа~ > 1; ы) вà — 2) +у —,Ль+ 2) -~-у (2; 17) у~ < 4х; 18) у~ > бх; Гл.,?.

Кривые второго порядка 19) т < у' < Зх,; 20) — 2х — х2 < у < — 2х. 7.16. Какие кривые на плоскости задаются следующими параметрическими уравнениями: 1) х=ЗсоэХ, у=Зв|п1,0<1<2л", 2) х =1+2сов1, у = 2+2в1п1, 0 < 1 < 2к; 3) х = сов1, у = в1п1, О <1< к? 7.17.

Доказать, что параметрические уравнения х = хо+ + а сов1, у = ус + Ьгйп1 (а ) О, Ъ ) 0) задают эллипс с центром в точке (хо,уе) и с полуосями а и Ь. 7.18. Доказать, что параметрические уравнения х = то+ + асио, у = ус + Ьвн1, где а > О, Ь > О, задают правую ветвь гиперболы с пснтром в точке (хо, уе) и с полуосями а и Ь.

Как нужно изменить эти уравнения, чтобы задать обе ветви гиперболы? 7.19. Изобразить множество точек, которое в полярных координатах задается уравнением: 1 1)г=1; 2)г= 1 — 2совр' 3) г=; 4) т= 3 1 2 — сов ~р ' в1в~(р/2) 7.20. На плоскости дан отрезок АВ ((АВ~ = а). Найти множество точек ЛХ таких, что угол при вершине А в треугольнике АВЛХ вдвое больше угла при вершине М. Эллипс (7.21 — 7.34) 7.21. Точка А лежит вне эллипса с фокусами Гм Г2, отрезки АГм АГ2 пересекают эллипс в точках В, Р соответственно, и С точка пересечения отрезков Г1Р, Г2В.

Доказать, что в четырехугольник АВСР можно вписать окружность. 7.22. Найти длины полуосей, эксцентриситет, координаты фокусов, составить уравнения директрис эллипса: х2 1) — + — = 1, а > Ь > 0; 2) —,+ — =1, Ь>а > 0; 3) 9х2+ 25у2 = 225; 4) 1 2,у2 7.23. Дан эллипс 25х2+ 144у2 = 1. Определить, лежит ли точка А на эллипсе, внутри или вне его: 1) А(1,1!6); 2) А(1?13,1,?13); 3) А(1?'6,— 1?24).

з" 7. Геометрические свойства и канонические ураенттл 65 7.24. Вычислить длину фокальной х д — + — = 1,перпендикулярной большой оси. 9 4 хорды эллипса 7.25. В данной системе координат эллипс имеет каноническое уравнение. Составить это уравнение, если: 1) расстояние между вершинами, лежащими на большой оси, равно 16, а расстояние между фокусами равно 10; 2) хорда, соединяющая две вершины эллипса, имеет длину 5 и наклонена к его большой оси под углом агсз1п(3/5); 3) фокусами эллипса являются точки (х1, О), а точка (у'3, к/3/2) принадлежит эллипсу; 4) фокусами эллипса являются точки 1х2,0), а директрисами являются прямые х = х18; 5) расстояние от директрисы до ближайшей вершины равно 4, а до вершины, лежащей на оси Оу, равно 8; 6) треугольник с вершинами в фокусах и в конце малой оси правильный, а диаметр окружности, проходящей через центр и две вершины эллипса, равен 7; 7) отрезок оси Ох между фокусом Г~ и дальней вершиной А большой оси делится вторым фокусом Ез пополам, а расстояние от Ра до прямой, проходящей через А и вершину малой оси, равно 1/~/Г7, 8) директрисами эллипса являются прямые х = х4, а четьтрехугольник с верпп1нами в фокусах и концах малой оси квадрат; 9) эксцентриситет эллипса равен у'7/4, а четырехугольник, вершинами которого являя>тся вершины эллипса, описан около окружности радиуса 4,8.

7.26. Вычислить эксцентриситет эллипса, если: 1) расстояние между фокусами равно среднему арифметическому длин осей; 2) отрезок между фокусом и дальней вершиной большой оси делится вторым фокусом в отношении 2: 1; 3) расстояние от фокуса до дальней вершины большой оси в 1,5 раза больше расстояния до вершины малой оси; 4) отрезок между фокусами виден из конца малой оси под прямым углом; 5) болыпая ось видна из конца малой оси под углом 120', 6) отрезок между фокусом и дальней верптиной болыпой оси виден из конца малой оси под прямым углом; 66 Гл.

?. Кривые вгаорого порядка 7) стороны квадрата, вписанного в эллипс, проходят через фокусы эллипса. 7.27. Составить уравнения сторон квадрата, вписанного в 2 2 эллипс — + —, = 1, (а ) 5 ) О). Какую часть площади, огранив~ Ьа ченной эллипсом, составляет площадь этого квадрата? 7.28. Найти множество точек, являющихся серединами 2 2 хорд эллипса — + — ' = 1, параллельных прямой т+ 2у = 1. 25 9 7.29. Через точку А(7/2, 7/4) провести хорду эллипса тз + + 4уз = 25, делящуюся в этой точке пополам.