Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 11

,~ б. Плоскость и прямил в простраиствс 1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ес координаты х', у', с в новой системе. 2) Составить в новой системе координат канонические уравнения прямой, которая в исходной системе задается уравх — 1 у+1 с — 2 нениями — = — = —. 1 — 4 — 1 6.96. В прямоугольной системе координат О, еы ев, ез плоскость задана уравнением Зх+ 5у+ и'2х+ ь'2 = О. Начало новой прямоугольной системы координат находится в точке 0'(1,1,— 1), базисный вектор е~з противоположен вектору ев, а базисные векторы е1 и е~~ получаются из векторов е1 и ео соответственно поворотом в содержащей е1 и ео плоскости на угол 45' в направлении кратчайгпего поворота от е1 к ео.

1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты х', у', г' в новой системе. 2) Составить уравнение данной плоскости в новой системе координат. 6.97. Три плоскости, заданные в прямоугольной системе координат уравнениями х+ 2у — 2с+ 3 = О, 2х+у+ 2г = О, 2х — 2у — с+3 = О (проверитгь что они попарно перпендикулярны), являются соответственно плоскостями 0 у~с~, О~с'х', О~х'у новой прямоугольной системы координат, а точка А( — 1,0,0) имеет в новой системе положительные координаты.

1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты х, у, г в новой системе. 2) Составить в новой системе координат канонические уравнения прямых, заданных в исходной системе уравнениями х — 1 у — 1 с — 3 2 1 1 и х = у = г.

Вычислить в обеих системах координат угол и расстояние между этими прямыми; убедиться в совпадении результатов. Глава 3 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе используются стедующне основные понятия: алгебраическая кривая, кривая второго порядка, окружность., эллипс, гипербола, парабола, центр, вершина, опь, полуось, фокус, директриса, эксцентриситегп, хорда, асимптота, касательная, нормаляч каноническое уравнение кривой вгпорого порядка, центральиая кривая второго порядка. Система координат, если не оговорено противное, прямоугольная.

Алгебраической кривой на плоскости называется мвожеслво всех точек плоскости, координаты (х,у) которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению Ф(х,у) = О, где Ф(х, у) — многочлен от переменных х, у. Степень многочлена Ф(х,у) (максимальная степень 6+1 одночленов аыхьу~, .входящих в Ф(т, у)) называется порядком кривой. Порядок кривой не изменяется при замене системы координат. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид Ах~ + 2Вху + Су~ + 213х+ 2Яу+ г" = О (А~ + В~ + С~ ф 0) (1) Выражение Ах~+ 2Вху+ Суа называется квадратичной частью, 21эх+2Еу — линейной часгью, г' — свободным членом уравнения (1).

Для всякой кривой второго порядка существует прямоугольная система координат, называемая канонической, в которой уравнение кривой имеет канонический вид (см. таблипу 1 на с.б9). Уравнение окружности радиуса й с центром в точке С(хе,уе) имеет вид (2) (х — ха) Ч (у уо) — Л . Эллипс (рис. 1) имеет каноническое уравнение хг — + —,=1, аг Ьг где а ) 6 ) 0; большая полуось эллипса равна а, а малая равна Ь. Вершинами эллипса называются точки (..Еа, 0), (О, 1-.6).

Фокусами эллипса называются точки Г1(с,О) и Гг( — с, 0), где с = айаг — Ьг. При о, = Ь эллипс есть окружность. Площадь части плоскости, ограниченной эллипсом, равна каЬ. Гл. 3. Кривые второго порядка 57 Гипербола (рис. 2) имеет каноническое уравнение 2 а — — —,=1, (4) аг Ьа где а > О, Ь ) 0; действительная полуось равна а, мнимая полуось равна Ь. Вершинами гиперболы называются точки (+а, 0). Фокусами Рнс.

1 Рис. 2 гиперболы называются точки Е1(с,О) и 7гг( — с.,О), где с = ъ'аз+ Ьг. Ь, хг Асимптотами гиперболы являются прямые у = + — т. Гипербола —,— а аа у хг уг — — = — 1 называется сопряженной к гиперболе — — — = 1, она Ьа аг Ьг имеет те же асимптоты, но ее ветви расположены в другой паре вертикальных углов между асимптотами. Парабола (рис. 3) имеет каноническое уравнение у = 2рх.

(5) где р > О. Число р называют параметром параболы. Вершиной параболы является начало координат, фокусом — точка Е(р/2, 0). Эксцентриситет эллипса или гиперболы равен е = с,1а; для эллипса 0 < е < 1, для гиперболы е ) 1. Эксцентриситет параболы равен 1. Гл. у. Кривые второго порядка 58 Расстояние от точки ЛХ(,,д, принадлежащей кривой второго порядка, до фокуса кривой называется фокальным радиусом точки ЛХ. Для эллипса (3) и гиперболы (4) (ЛХЕд( = )а — ех), ~ЛХЕг~ = (а+ох). сРокальный радиус точки ЛХ(х,у), принадлежащей параболе (5), равен х+ р,~2.

Прямые х = ха/е называются директрисами эллипса (3) и гиперболы (4), (см. рис. 1 и 2). Директрисой параболы (5) называется прямая х = — р/2, (см, рис, 3). Отношение расстояния от любой точки эллипса, гиперболы или параболы до фокуса к ее расстоянию до соответствующей директрисы равно е. Хорды, проходящие через фокус кривой второго порядка, называются ее фокальными хордами. Пусть точка ЛХ(хо, уо) лежит на кривой второго порядка. Касательная к кривой в этой точке определяется уравнением * о ууо х у г + г 1 для элл"пса + г аг 6г а ххо ддо х у — — = 1 для гиперболы — — — = 1; аз 62 аз 62 ууо = р(х+ хо) для параболы у = 2рх и уравнением Аххо + В(хуо + тоу) + Суда + Р(х+ хо) + Е(у+ уо) + Е = О для кривой, заданной общим уравнонием (1).

Пусгь кривая второго порядка задана уравнением Ф(х,у) = О. Точка О(хо,уо) называется ес центром, если (Ф(хо+ сг,до+~3) = = Ф(то — и, уо — В) для любых чисел о и р. Точка О(хо,до) — центр кривой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют системе уравнений Ахо + Вуо -о Р = О, Вхо+Суо 4 Е = О. (б) Если линия второго порядка содержит хотя бы одну точку, то каждый ее центр — центр симметрии, и каждый центр симметрии есть центр; однако центр определен и для линий, являющихся пустым множеством. Кривая называется центральной, если она имеет единственный центр. Центральными являются кривые первых пяти типов в табл.

1. Для них центр — начало канонической системы координат. Кривая является центральной в том и только том случае, когда А В Л= ВС ФО. Гл. 3. Кривые второго порядка Таблица 1 Название Каноническое уравнение „г — + — =1, а36)0 аг Ьг Эллипс уг — + — = — 1, аг Ьг «Мнимый эллипс» (пустое множество) афО, Ьу:О .г г аг Ьг г г аг Ьг тг уг аг Ьг уг = 2ря, уг — аг «Пара мнимых пересекающихся прямыхь (точка) Гипербола Пара пересекающихся прямых Парабола Пара параллельных прямых «Пара мнимых параллельных прямыхь (пустое множество) Пара совпавших прямых р>0 а~О уг = — аг.

а ф-0 у'=О я = я соз«г — у'яп«о, у = я яп~о+ у'соз:р. Значение «г находится из уравнения 2Всоз2у+ (С вЂ” А) зш2~р = 0 (7) (8) Всего имеется девять типов канонических уравнений кривых второго порядка. В таблице 1 перечислены эти уравнения вместе с названиями соответствующих типов кривых. Решение задачи приведения уравнения кривой второго порвала к каноническому вцлу включает отыскание канонического уравнения кривой и канонической системы координат.

Приведение к каноническому виду позволяет вычислить параметры кривой и определить ее расположение огносительно исходной системы координат. Приведение общего уравнения (1) кривой к каноническому виду осуществляется в несколько шагов. Опишем их.

1. Если исходная система координат не прямоугольная, перейдем к какой-нибудь прямоугольной системе координат. При этом общий вид уравнения (Ц не изменнтся. Далее считаем систему координат прямоугольной. 2. Если в уравнении (1) коэффициент В ф О, то следует перейти к такой системе координат, чтобы в преобразованном уравнении коэффициент при произведении х'у' был равным нулю. Для этого систему координат надо повернуть вокруг начала координат на угол ~р: Гя.

3. Кривые второго порядка 60 или,при А у: С, (10) Г 2Р Рг1 Рг Ахг, 2Рх = 4 хг дс — х+— [, А Аг) А Р1 Р Р = А х+ — ( — — = Ах'~ — —, А( А А' где х' = х+ Р(А. 4. Если уравнение (1) содержит лишь три члена: квадрат одной переменной, первую степень другой и свободный член, то с помощью переноса начала координат вдоль оси, соответствующей линейному члену, можно добиться исчезновения свободного члена.

П р и м е р. Ахг+ 2Еу+ Г = Ахг+ 2Е у+ —, = О. 2Е2 Замена у+ Е72Е = у' дает Ах~ + 2Еу' = О. После выполнения указанных в шь 1 — 4 действий мы придем к уравнению, которое отличается от канонического разве что числовым множителем, порядком координат, переносом членов из одной части уравнения в другую или знаком коэффициента при линейном члене. Такое уравнение удобно называть «почти каноническим».

Для приведения уравнения к окончательной канонической форме следует выполнить необходимые преобразования уравнения и замены системы координат. При этом можно обойтись без смены ориентации исходной системы координат. Изменение порядка координат достигается дополнительным поворотом на 90'. Чтобы сменить знак коэффициента при линейном члене уравнения, можно дополнительно 2В 182р = (9) Уравнение (8) можно свести к уравнению А — С 1к'р+ 18д — 1=0. Из нескольких возможных значений р можно брать любое. При А = = С можно положить р = к/4. Затем следует вычислить в1п р, совр, подставить их в формулы (7) и выполнить в уравнении (1) замену координат. 3. Если в уравнении (1) уже нет члена с произведением переменных, следует, если возможно, добиться исчезновения линейных членов.