Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.A. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре (2-е изд., 2004), страница 9

Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(1, 3, 1) и параллельной прямой: 1) х+ у — с+ 2 = О, 2х+ Зу+ с = 0; х+1 у — 2 с+2 3 4 21 3) х = 2, у = 3; 4) х = О, с = 0; 5) у= — 1,с=2. 6.19. Составить уравнения прямой, проходящей через две данные точки: 1) А(1,3,— 1) и В(4,2,1); 2) А(3,2,5) и В(4,1,5); 3) А( — 1. 1, 2) и В(5, 1, 2).

6.20. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (если зти точки определяют плоскость): Ц А(2,1,3), В( — 1,2,5), С(3,0,1); 2) А(1,-1,3), В(2,3,4), С(-1,1,2); 3) А(3,0,0), В(0, — 1,0), С(0,0,4); 4) А(2,1,1), В(2,0,— 1), С(2,4,3); 5) А(1,1,2), В(2,3,3), С( — 1,— 3,0). 6.21. Даны две плоскости. Установить, являются ли они пересекающимися, параллельными или совпадающими. Если Гл.

9. Прям я и плоскость плоскости пересекаются, составить канонические уравнения линии пересечения. Плоскости заданы уравнениями: 1) Зх+ у — х+ 1 = 0 и 5х+ Зу+ х+ 2 = 0; 2) х+д — 2х+1 = 0 и 6х — Зх — Зу — 3 = 0; 3) — х+у+х=1 их — у — с=2; 4) х=З+и+и, у=2 — и+и, х=Зи — 2и и х=5 — и, у=3+и, х=и+2и. 6.22. При каких а плоскости х+ ау+ х — 1 = 0 и ах, + 9у+ аэ + — с+3=0: 9 1) пересекаются; 2) параллельны: 3) совпадают? 6.23. Проверить, лежит ли данная прямая в плоскости х— — Зу + х+ 1 = О, параллельна этой плоскости или пересекает ее в единственной точке: в последнем случае найти координаты точки пересечения.

Прямая задана уравнениями: х — 1 д — 1 с — 1 1) 5 4 7 2) х = 2+31, у= 7+1, в =1+1; 3) х — у+2х= О, х+у — За+2= 0; 4) Зх — 2у — 1=0, 7у — Зх — 4 =0; 5) х = 2, у = 5+ 1, х — — 4+ 31. х д с — 2 6.24. При каких а прямая — = — = 1 а — 1 1) пересекает плоскость За2х+ ад+ г — 4а = 0; 2) параллельна этой плоскости; 3) лежит в этой плоскости? 6.25. Даны две прямые. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения. Прямые заданы уравнениями: 1) х+х — 1=0, Зх+у — г+13=0 и х — 2у+3= 0, у+2х — 8=0; 2) х=З+~, у= — 1+21, х=4 и х+у — а=О, 2х — у+ + 2г = 0: 3) х = 2+ 41, у = — 61, х = — 1 — 81 и х = 7 — 61, у = 2+ 91э х = 121; 4) х=91,у=51, г= — 3+1 и2х — Зд — Зх — 9=0, х — 2у+с+ 3 = 0,: 5) х = 1+ 21, у = 7+ 1, х = 3+ 41 и х = 6+ 31, у = — 1 — 21, г = — 2+1.

З б. Плоскость и прлмал в пространстве 1 у 1 г (а 2)г 6.26. При каких а прямые и а 1 а х у 1 а 1 Ц пересекаются; 2) скрещиваются; 3) параллельны; 4) совпадают? 6.27. Исследовать взаимное расположение трех плоскостей; если существуют точки, одновременно принадлежащие трем плоскостям, найти координаты зтих точек. Плоскости заданы уравнениями: 1) 2х+ Зу — 4г — 1 = О, — х+ 5д — - — 3 = О, Зх — 10у+ 7г = =0 1 2) х+у — 2г+1=0, — х — д+2г+1=0, 2х+2д — 4г=О: 3) х+2у — г — 1=0, — 2х — 4д+2г+2= 0, 4+4г — 4х— — 8у = 0; 4) 5х — 2у+4=0, Зх+г — 5=0, 8х — 2д+г+7 = 0; 5) 5х — 2д+4=0, Зх+г — 5=0, 8х — 2д+г — 1=0. 6.28.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 3, 0) и параллельной прямым х+ д — г+ 3 = О, 2х — у+5г+1 = 0 и — х+у = 1, 5х+д — с+2 = О. 6.29. Составить уравнение плоскости; т — 1 у+2 г — 1 1) проходящей через прямую ' = = и парал- 3 4 2 „х у — 1 с+1 лельной прямой— 5 4 3 2) проходящей через прямую х = 3+1, у = 2+51, г = — 1+ + 31 и параллельной прямой х = 4 — 21, д = — 8+1, г = 5+ 21. 6.30. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А( — 1, 1,2) и прямую, заданную уравнениями: 1) х=1+51, д= — 1+1, с=21; 2) х+ 5у — 7г+ 1 = О, Зх — д+ 2г+ 3 = О. 6.31.

Составить уравнение плоскости, проходящей через х — 1 у+2 г — 1 х — 2 у две параллельные прямые и 5 3 1 5 3 с+3 1 6.32. Доказать, что две данные прямые пересекаются и составить уравнение содержащей их плоскости: х+1 у — 2 г — 5 х+5 у+8 г — 4 1) = — '= и — 2 1 4 2 3 — 1 2) х=1+31, у= — 1+41, г=2+51их=1 — 1, д= — 1+ +21, с=2+46 Гл. 2. Прямак и плоскость 6.33. Прямая проектируется на плоскость Ода параллельно оси Ох. Составить уравнения проекции, если прямая задана уравнениями; 1) х=1+21, д=31, я=1 — 1; 2) х+д+х — 1=0, х+2д — 3-+2=0. 6.34. Прямая проектируется на плоскость х+ 2д — 3 + 2 = = 0 параллельно вектору 1(2, 1, — 1).

Составить уравнения проекции, если прямая задана уравнениями: 1) х=1+21, д=31, г= — 6 — 1; 2) х+д+г — 1=0, д — Зг+4= 0. 6.35. Три грани параллелепипеда лежат в плоскостях х — Зг+18=0, 2х — 4д+5х — 21=0, бх+д+х — 30=0, аодна из его вершин А имеет координаты ( — 1, 3, 1). Составить уравнения остальных граней параллелепипеда и его диагонали, проходящей через вершину А.

6.36. Точки А(1, О, 3) и В( — 1, 2, 1) являются вершинами тетраэдра АВСР, точка Л( — 1, 5, 2) серединой ребра ВС, а точка ЛХ(0, 1, 4) — точкой пересечения медиан грани ВСР. Составить уравнения плоскостей, в которых лежат грани тетраэдра. 6.37. Составить уравнения прямой, проходящей через точку О (О, О, 0) и пересекающей две данные прямые: 1) х — д+г+2=0, х — 2д+Зг — 8=0 яд — г+1=0, х+ + д — 2г+ 4 = 0; 2) х = 1 + 21, д = 2 + 31, х = -1 и х = 41, д = 5 — 5~, = 3+ 21. 6.38. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А( — 1, 1, — 1) и пересекающей две данные прямые: 1)х — д+х+2=0,х †2д+Зх †8=0идв,х+д— — 2х+4 = 0; х — 1 у — 2 с х д-(-5 я--3 2 3 — 1 4 — 5 2 6.39. Составить уравнения прямой, пересекающей две прях+3 д — 5 г х — 10 у+7 г мыс = = — и = — и параллельной пря- 2 3 1 5 4 1 х+2 д — 1 г — 3 мой 8 7 1 6.40.

Составить уравнения плоскостей, проходящих через х — 1 у — 1 с+2 прямую — = = — и равноудаленных от точек 3 5 4 А(1, 2, 5) и В(3,0,— 1). ,~ б. Плоскость и прямая в пространство 47 6.41. Составить уравнения плоскостей, проходящих через точку А(1, О, 4) и равноудаленных от трех точек В(2, 1, 6), С( — 2, 3, 2) и Р (8, 1, 0). 6.42. Составить уравнения плоскостей, равноудаленных от четырех точек А(1, — 1, 3), В(3, 3, 5), С(1, 7, 3) и Р(5, 1, 5). 6.43. Плоскость т содержит точки А, В, С, Я и пересекает координатные оси Ох, Оу, Ох в точках Р, Я, Л, а координатные плоскости Оху, Охх, Оуя по прямым 1а, 12, 1з. В плоскости т выбрана система координат А, АВ, АС.

Известно, что точка Я в этой системе координат имеет координаты (3, 4), а точки А, В, С в исходной пространственной системе координат имеют соответственно координаты: а) (1, 2, 1), ( — 1, 3, 2), (1, 4, 0); б) (2, 1, 1), (2, 3, 0), (1, 1, 2); в) (1, — 1, 0), (1, О, — 1), (О, 1, 1). 1) Найти координаты точек Р, Я, Л, Я и составить уравнения прямых 1ы 1а, 1з в исходной пространственной системе координат.

2) Найти координаты точек Р, Я, Л и составить уравнения прямых 1н 12, 1з в системе координат А, АВ, АС. 6.44 (р). Через вершину С1 параллелепипеда АВСРА1В1С1Р1 проведена плоскость, пересекающая продолжения ребер АВ, АР и АА1 соответственно в точках Во, Ро (АВо( '(АРо~ )ААо! и Ао таких, что = = 3 . Найти отношение объема параллелепипеда к объему тетраэдра АВоРоАо. В задачах 6.45 — 6.92 система координат прямоугольная 6.45. Найти нормальный вектор плоскости: 1) Ах+ Ву+ Со + Р = 0; 2) х = хо+ а~и+аои, у = уо+61и+ бои, х = хо+ с1и+с2и. 6.46.

Составить уравнения прямой, проходящей через точку А(1, — 1, 2) и перпендикулярной плоскости: 1) х — Зу+2г+1=0; 2) х=5; 3) у=4; 4) х=З; 5) х=4 — и+и, у=2+и+2и, х= — 1+7и+Зи. 6.47. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 3, 1) и перпендикулярной прямой: 1) х+у — о+2=0, 2х+Зу+х — 1=0; 2) = " = ; 3) х = 2, у = 3; 3 4 21 4) х = О, г = 0; 5) у = — 1, я = 2.

Гл. 2. Прямил и плоскость 6.48. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (2, 1, — 1) и перпендикулярной двум плоскостям: х — у+ 5х+ 1 = 0 и 2х+ у = 3. 6.49. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной плоскости х+ Зу — х+ 2 = 0 и проходящей через прямую: х — 1 у — 1 х — 1 1) 2 3 4 2) 2х — у+ х = О, х+ 2у+ х — 3 = О. 6.50. В пучке, определяемом плоскостями х+2у — Зх+ + 5 = 0 и 4х — у+ Зх+ 5 = О, найти две перпендикулярные друг другу плоскости, одна из которых проходит через точку М(1, 3, 1). х — 3 у х — 1 6.51. Точка А лежит на прямой — при- 2 3 — 1 чем А равноудалена от точек В (3, О, — 2) и С( — 1, 1, 5).

Найти координаты точки А. 6.52. Найти расстояние от точки А(3,1, — 1) до плоскости: 1) х — у — 5х+2=0; 2) х — 2у+2г — 2=0; 3) х — 2у+2г+7 = 0., 4) х — 2у+2г= О; 5) х — 2у+2х+1= 0; 6) х= 1; 7) у = 5; 8) х = О. 6.53. Найти расстояние между параллельными плоскостями: 1) бх — Зу+2г+5=0 и бх — Зу+2г — 9=0; 2) 2х+ 2у — я+ 3 = 0 и 2х+ 2у — в+18 = 0; 3) Зх+4х+1=0 и бх+Зх — 1=0.

6.54. 1) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости бх — Зу+2г+5 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 3. 2) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости х+ Зу — х+ у'Г1 = 0 и отстоящих от нее на расстояние 3. 3) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2х + 2у — х + 3 = 0 и отстоящих от точки А(1, '2, — 1) на расстояние 3. 4) Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости Зх+ 4х+ 1 = 0 и отстоящих от начала координат на расстояние 3. х — 1 у х+1 6.55. Точка А лежит на прямой ' = — = .

Расстоя- 2 3 1 ние от точки А до плоскости х+ у + х+ 3 = 0 равно и 3. Найти координаты точки А. ,3 б. Плоскость и прямая в пространства 49 х — 1 у — 3 с+4 6.56. Точка А лежит на прямой = ' =, при- 1 3 — 5 чем А равноудалена от точки В(0, 1, 1) и от плоскости 2х — д + + 2х+ 1 = О. Найти координаты точки А. 6.57. Точки А(1,— 1,2) и В(3,0,4) являются вершинами куба АВСРА~В~С~Рп Вектор АР перпендикулярен прямой х = О, у — г = О, а ориентация тройки векторов АВ, АР, АА~ совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат, причем сумма координат вектора АА~ отрицательна.

Составить уравнения граней куба. 6.58. Точки А( — 3,0,0) и В(3,0,0) являются вершинами правильного тетраздра АВСР, вершина С удалена от координатной плоскости Охд на расстояние Зу'2, причем все координаты точки С неотрицательны. Ориентация тройки векторов АВ, АС, АР совпадает с ориентацией тройки базисных векторов системы координат. Составить уравнения граней тетраэдра. 6.59. Дана точка А(3, — 1,1).

Найти: 1) координаты проекций точки А на координатные плоскости и координаты точек, симметричных А относительно координатных плоскостей; 2) координаты проекции точки А на плоскость х+2у+ + 2с+6 = 0 и координаты точки, симметричной с А относительно зтой плоскости; 3) координаты проекции точки А на плоскость 2х + Зд + + бс +40 = 0 и координаты точки, симметричной А относительно зтой плоскости. 6.60. Составить уравнения прямой, симметричной прямой х — 2 у+1 с — 2 3 1 4 относительно плоскости 5х — у+ с — 4 = О. 6.61.

Составить уравнения проекций на плоскость х + 5д— — х — 25 = 0 следующих прямых: 1) х+1 д с — 1 2) х — у+2с — 1=0, Зх — у+2с+2=0: х+1 д с — 1 1 5 — 1 6.62. Найти угол между плоскостями: 1) х+4у — с+ 1 = 0 и х+у — с — 3 = 0; 2) х+2у — с=1 и х — у =3; 3) х+2у — 2г = 0 и с= 5; Гл.