Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000), страница 12

Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 59 Оконнание н7абл. 2.! л=4 — 0,9238795325 — 0,3826834Э24 — О,Э326834324 0,9238795325 — 0,9238795325 — 0,3826334324 — О,Я238795Э25 0,3826834324 — 1,0000000000 0,0000000000 — 0,8090169944 0,5877852523 — 0,3090! 69944 — 0,95! 0565! 637 — 0,9659253263 — 0,2588190451 — 0,2588190451 0,96592582637 — 0,70710678!2 — 0,70710678!27 — 0,9659258263 0,2588!90451 — 1,0000000000 0,0000000000 — 0,9009688679 0,433883739!7 — 0,2225209340 — 0,9749279122 — 0,6234398019 0,7818314825г — 0 9009688679 — 0,4338837391 — 0,9807852804 — 0,1950903220 — 0,8314696123 0,5555702330 — 0,1950903220 — 0,9807852804 — 0,5555702330 0,8314696123 — 1,0000000000 0,0000000000 — 0,5000000000 0 86602540387 — 0,5000000000 — 0,8660254038/ — 0,7660444431 0,6427876097 — 0,9396926203 — 0 34202014337 1Π— 0,9876883406 — 0 !5643446507 — 0,8910065242 0,4539904997 — 0,1564344650 — 0,98768834067 — 0,1564344650 0,9876383406 — 0,8910065242 0,707! 067312 — 0,8Я10065242 — 0,4539904997 10 — 0,9876883406 0,15643446502 — 0,3090169944 — 0,8090169944 — 0,70710673!2 — 0,258319045! — 0,6234898019 — 0,2225209340 — 0,5555702330 - О,! 950903220 — 0,8314696123 — 0,9807852304 — 0,9396926208 — 0,7660444431 — 0,1736481777 — 0,1736481777 — 0,7071067812 — 0,4539904997 — 0,4539904997 — 0,70710678!2 0,9510565163 — 0,58778525237 0,707!067812 — 0,9659258263 — 0 7818314825р 0,9749279122 — 0,8314696!237 0,9807852804 ' — 0,5555702330 0,1950903220 0,34202014337 — 0,6427876097 — 0,9848077530 0 9843077530 — 0,7071067812у 0,3910065242 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.

Часть П 60 Если Ь„441,то р =й — и 24 Ь„ Рг =Р(-СОЗ4!14 х 1'З!П4Р41 (2.33) ГГ где р=г —, '1Г Ь„ Величина неравномерности частотной характеристики учитывается множителем р . Если известны полюса р,, рг, ..., р„, то ПФ может быть представлена в виде и'Б(Р) = 1 (2.34) Б ( )( ) ( )' Г!ри и четном последняя зависимость принимает вид 1 1 '(Б(Р) П(Р +91 Р+9 ) 1 (2.35) а если н — нечетное, то (2.36) гтв(Р) = Р„(р) (Р + Ч Й (Р + 91 Р+ Чо ) г 1 где Р1(р) = р+1; Рг(р) = р +1,4142р+1; Р,(р) = (р+1)(р + р+1); Р4(р) =(р +0,7654р+!)(р+1,8478р+1); Р,(р) =(р+1)(р +0,6180р+1)(р +1,6180р+1); Рь(11) =(р +О 5176р+!)(р +1,4142р+!)(р +1,93!9р+!); Р,(р) = (р+1)(р +0,4450р+!)(Рг+ 1,2470р+ )(Р +1,8019р+1); Р,(р) =(р +О 3902р+1)(р'+1,1111р+1)(р +1,!663р+1)(рг+1,9616р+1); Рэ(р) =(р+1)(р +0,3473р+1)(р + р+!)(р +1,5321р+1)(р +1,8794р+\); Ргв(р) =(р +0,3129р+1)(р +0,9080р+1)(р +1,4142р+1)х х(р +1,7820р+1)(р~+1,9754р+1).

Зависимости, определяющие Р,(р), Рг(р), ..., Р,е(р) можно переписать в виде Р (Р) =!+ с)1Р+г(гр +гагр +- + Р" (2.38) пРичем 4гс =Ы„=1. Лслиггом Р„(р) называется полиномом Баттврворса. Коэффициенты полиномов Баттерворса аги Иг..., 4(„1 вычислены; их значения до н = 10 приведены в табл. 2.2. Глава 2. Методы синтеза лято ов в классе одноме ных систем б! Таблн а 2.2 л=2 л=5 л=б л=8 и=Я и=!0 л=4 л=7 1,4! 421 3,23607 3,8637 4,49396 6,39245 2,61313 5,! 2583 5,75877 7,4641 16,5817 20,4317 3,41421 5,23607 10,0978 13,1371 31,!634 42,8021 2,613!3 5,23607 9,14! 62 ! 4,5913 21,8462 41,9864 41,9364 64,8824 74,2334 3,23607 7,4641 14,5918 !0,0978 25,6884 21,8462 3,8637 64,3824 4,49396 13,1371 31,! 634 5,12533 16,58! 7 42,8021 20,4317 6,39245 5.75877 »не 070! =БЕЧО Ью = Г 'й Ч' 2Д Для звена первого'порядка можно записать ~~~БАР) гоог сЛ !2.41) Р+ о!ой Поскольку полюса ПФ известны, то можно рассчитать и нормированные переходные процессы.

Переходные функции фильтров Баттерворса показаны на рис. 2.5. 0,8 0,6 0,4 0,2 -0,2 0 2 4 6 8 1О 12 !4 16 18 20 Рис. 2 5. Графики нормированных переходных характеристик фнлл'!ы: » .." неон.» Из приведенных выше формул следует, что фильтр Баттерворса — каскадное соединение звеньев с ПФ вида 1751 55»х ») Ро~ Р + 2 г соо!Р+ о!о где о!0, — собственная частота звена, г, — коэффициент демпфирования, причем Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.

Часть 11 62 со 26,соо,— 03 гоо . озо ср — = -агсгя —; <р — = -агсгя (~ Г (~ - ' '~- Г 2' СОО ГОО ГО О 2 ГО Ою сов (2.42) тогда, например, фазочастотная характеристика фильтра Баттерворса для четного п определяется зависимостью [75) л го (со) 'оо соог (2.43) Характеристикой фильтров Баттерворса является и время групповой задержки г„ определяемой формулой [75) (2.44) Соответствующие графики приведены на рис. 2.6 и 2.7. 20 400 600 0 2,0 0,5 1,0 ,5 Рис. 2Д. ФЧХ фильтров Баттсрворса Ненормированное время определяется выражением Г=т/соо и, следовательно, Т (и) = то(л)/ сов — время переходного процесса л -го фильтра Баттерворса. Фильтры Баттерворса имеют АЧХ, близкую к идеальной низкочастотной (и быстро стремящуюся к ней при л-ьсо), причем граница, вплоть до которой АЧХ близка к единице, почти совпадает с частотой соо (или равна единице, если частота нормированная).

Однако с ростом л растут фазовые искажения. Рассмотрим фазочастотные характеристики фильтров Баттерворса. Фазовые сдвиги, вносимые звеньями первого и второго порядка и определяющими фильтр Батгерворса как их каскадное соединение, могут быть представлены соотношениями Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем Из рисунка, на котором представлены фазочастотные характеристики, следует, что (О5) с Ростом л РастУт фазовые искажениЯ и на частоте о!о с!5 — может сУшественно сов отличаться от нуля, что является отрицательным свойством фильтров Ваттерворса.

В заключение отметим, что для аппроксимации АЧХ идеального фильтра могут быть использованы полиномы Чебышева !равноволновая аппроксимация) и полиномы Лежандра (фильтры класса 2). 0 их возможностях можно судить по рнс. 2.8— 2.11, на которых представлены АЧХ и ФЧХ указанных фильтров 175). Чме !2 0 0! 02 2 3 4 0,5 Рис. 2.7. Характеристики времени групповой зааерккн фильтров Баттерворса !О !5 20 2 3 4 5 0,5 0,2 О,! Рис. 2.8. АЧХ чеаынсевскиа фильтров Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П од 1 з з о| оз Рас. 2.Р. ФЧХ чсбмшсаскиа $ильтрои ОЛ О,з ол 1 2 3 4 Рис. 2ДВ.

АЧХ фильтрои класса Е Основы подхода к выбору и и гоо изложим, следуя 193). . Положим, что требования, связанные с качеством работы системы в установившемся режиме, т.е. с точностью отработки воздействия, сформулированы так: ). Замкнутая система должна быть устойчивой. 2. Замкнутая система должна иметь заданную точность в установившемся режиме при обработке линейного сигнала: если у(1) = ус +у,г и ~у,~ < у," — предельная скорость изменения сигнала у(1), то установившаяся ошибка не должна превышать некоторого наперед заданного значения е1, т.е. ~е(г)~ < е' при г < Т~, где ал — предельная допустимая ошибка обработки у(г) .

Аналогичные условия можно сформулировать для гармонического полезного сигнала и помехи, частоты которых заданы на промежутках й и й„. 65 Глава 2. Методы синтеза е лято в в классе одноме ных систем 3. Пусть обрабатываемое воздействие определяется формулой т(!) = т соз сог и т < т' длялюбых аиьг;тогда ~а(г)~~а' при г>Т, где т" — заданная предельная амплитуда сигнала т(г), а в'„— заданная предельная допустимая ошибка. 4. Помеха определяется зависимостью л(Г) = ла соя О)с, э и ьг„, где и„< сг", — предельная амплитуда помехи, а на вызванную наличием л(г) ошибку накладывается требование )а(г))<е~ при г>Тр, причем аа — заданная величина.

гоо 400 600 од о,г 0,5 ! з Рис. гл1. ФЧХ фильтров класса ь' Условия 1 — 4 можно рассматривать как требования к качеству системы. Выполнение указанных требований связано с рядом неравенств, вывод которых приводится в (93): (2.45) (2.46) С учетом сказанного выше алгоритм выбора Фо и п в фильтрах Баггерворса заключается в том, чтобы выполнялись условия (93] Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть 11 бб Фю сазак, —, гло Ею» (2.47) 2.1.3.

МЕТОД СТАНДАРТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОСТРОЕНИЯ ЭТАЛОННОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ Между характером переходной и передаточной функций системы существует сложная, но тем не менее вполне определенная связь. Вид переходной функции определяется значением нулей (корней числителя) и полюсов (корней знаменателя) передаточной функции.

Для любой конкретной формы передаточной функции может быть найдено некоторое «оптимальноег> распределение нулей и полюсов, при котором переходная функция будет наиболее благоприятной с точки зрения динамики рассматриваемой системы. Каждому такому оптимальному распределению нулей и полюсов соответствует вполне определенное значение коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции, которое назовем стандартным. Далее построим изложение, следуя (47, 62, 102].

Любой характеристический полинам замкнутой САУ: 22(З) =а«в«+а«,З«+аи 2З« +...+а в+ар (2.48) можно записать в виде Ж)-з ч —.Фвз + —, Фвз +-+ — «!.гвв «+ага и >2«-! «-! ал-2 2 и-2 О! «-! л а ФО а«В!в а«!Ее (2.49) ГДЕ ФВ =«в Г 1' аи Или, что то же самое, 17(з)=з +А!о!ох" +42юьзи +-+А-2юо в+его где аи! а«2 а! А,==, А2==, ..., А 2' "' а«ФО а«ФО' ' а ЮО (2.50) причем величины ул, а, т', ви, п„" — характеризуют допустимые по техническим условиям воздействия, а параметры е" и е" определяют требуемую точность.

Что касается требований к качеству работы системы в переходном режиме, то для фильтров Баттерворса значение для величины перерегулирования о (п) = игах Ь„(!) - 1 г и времени переходного процесса тр(п)=вэвур(п) можно определить по графикам, представленным на рис. 2.5. При проведении расчетов необходимо помнить, что с увеличением и перерегулирование растет (см. рис. 2.5), но является практически удовлетворительным до и = 5; наименьшее время переходного процесса имеет место при п = 2 и 2,5 т (г!) =— Р ! о Дополнительное ограничение на выбор параметров вида тр(п) 2во В соответствует предельно допустимому времени переходного процесса.

Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 07 В качестве первой типовой функции можно взять передаточную функшпо вида и в" +Ф~ов" '+Азслов" +-+Ал-)оэо 'в+оэо Для системы с ПФ (2.51) можно получить переходный процесс без перерегулирования, когда корни знаменателя все вещественны. При всех вещественных корнях и пРи гоо = соп81 наименьшее вРемЯ РввУлиРованил бУдет, если все коРни бУдУт кРатными. В этом случае коэффициенты А), Аз, ..., А„, окажутся коэффициентами бинома Ньютона (8+ 1)". В табл. 2.3 приведено значение этих коэффициентов для л, равного 1, 2, 3, 4, 5, 6. Таблица 2.3 Введем в рассмотрение безразмерное время переходного процесса то =гооТр.