Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000), страница 13

Действительное время переходного процесса определяется зависимостью Тр = то / оэо . В табл. 2.3 приведено время переходного процесса т, для систем разлнч- ного порядка. На рис. 2.12 представлены графики переходных функций, ПФ которых определены стандартными коэффициентами, приведенными в табл. 2.3. Если в переходной функции допустимо некоторое перерегулирование, то корни можно взять комплексными, благодаря чему сокращается также время управления.

Полипом знаменателя передаточной функции )т'(в) замкнутой системы представляется в форме произведения и/2 одинаковых квадратных трехчленов ))( ) ( 2+2~ + 2)л/2 е+А е-1+ + 1 «-1 + и 0,8 0,6 0,4 О,2 ю Рис. 2Л2. Графики переаодныа функпнй дла систем с передаточной фупкнией типа (2.51) н коэффиписнтами, определаемымн по табл. 2.2 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П б8 Значение Р, = 0,75. При л нечетном знаменатель передаточной функции )г'(з) состоит из (л-1)й квадратных трехчленов и одного двучлена первой степени. Свободный член этого двучлена принимается равным единице. Значения коэффициентов А), Аз, ..., А„, приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4 В табл. 2.4 приведено безразмерное время регулирования то для систем различного порядка. Сравнивая это время с его значением лля систем, имеющих коэффициенты, определяемые табл. 2.3, видим, что при одинаковых значениях л время регулирования в последнем случае существенно меньше. На рис, 2.13 представлены графики переходных функций для систем, опредвленых стандартными коэффициентами, приведенными в табл.

2.4. д(т) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 5 6 7 8 2 3 4 Рне. 2.12. Графики переходных функннв для систем с нсреааточнов функпнев типа (2.51) и коэффиииентамн, определяемыми по табл.2.4 Рассмотрим передаточную функцию, имеющую один нуль: л-1 + е (2.53) д" +А1гооз" +--+А.-10)о лог»о Чтобы уменьшить выброс, вызванный влиянием нуля, надо замедвять скорость нарастания переходной функции. Это можно сделать «разведением» корней полинома знаменателя по действительной оси. При передаточной функции с одним нулем корни рекомендуется располагать на отрицательной вещественной полуоси по арифметической прогрессии.:Значения ка)- эффициентов полинома знаменателя в формуле (2.53) для такого распраделения ко)5''.

ней приведены в табл. 2.5. Глава 2. Методы синтеза лято ов в классе одноме ных систем 69 Таблица 2.5 На рис. 2.34 представлены графики переходных функций для систем, определяемых стандартными коэффициентами табл. 2.5. О, О, 0,4 'О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рнс. 2.14. Графнкн нерехолных функций ллн енотом е перелатанной функцнсй тнна (2.бэ) н козффнцнентамн, онрецелнемымн но табл. 2.5 Рассмотрим передаточную функцию с двумя нулями: ~,э~ т А-зозо л +Ах-1соо з+соо з" + А11ооз" '+- + Ае-1о!о 'у+о!о Чтобы уменьшить влияние нулей, рекомендуется располагать корни полинома знаменатела на отрицательной вещественной полуоси по геометрической прогрессии. В табл.

2.6 приведены значения коэффициентов полинома знаменателя А,,А2, ..., * ! для такого распределения корней. 2.6 70 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть!1 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 2 3 4 5 6 7 8 9 т 0 1 Рнс. 2.15. Графнкн нереаолных фупкцня лла систем с передаточными функннамн типа (2,54) н коэффнцнентамн, опрслелнемымн по табл. 2Л Метод стандартных коэффициентов нашел широкое применение при решении задач проектирования систем управления летательными аппаратами [22, 47]; подробно с основными положениями метода можно познакомиться в [47, 62, 102] и др. В настояшем параграфе изложены лишь некоторые подходы к определению эталонных ПФ замкнутых систем.

Следующей важной задачей является построение таких регуляторов с ПФ И', (л), которые обеспечили бы приближенное в общем случае равенство реальной ПФ замкнутой системы И'(г) и заранее выбранной эталонной ПФ И" (в) . Этот вопрос подробно рассмотрен ниже. 2.2. ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОЙ КОМПЕНСАЦИИ И АНАЛИЗ ЕГО ЭФФЕКТИВНОСТИ ДЛЯ КЛАССА СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ В параграфе 1.4 было введено понятие принципа динамической компенсации. Основная формула, определяющая оператор регулятора, имеет вид (формула (1.51)) А мА.-'(1-А') А'.

(2.55) В настояшем параграфе подробно обсудим вопрос применения принципа динамической компенсации к классу стационарных линейных скалярных систем. Пусть И" (в) — эталонная передаточная функция замкнутой системы; она выбрана из условия обеспечения необходимого качества работы САУ в переходном и установившемся режимах (параграф 2.1). Найдем передаточную функцию эталонной разомкнутой системы (рис. 2.16).

Имеем Иэ() Р() 1+и;(,) Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем тогда 71 И '( )(1+в„'(д))=И,'(д). Отсюда находим 11ээ( )+1Рэ( )11ээ( ) 1э,э( ) или, что то же самое И '( ) = И;(д)- и"( )уу ( ) = И,'(з)()†И" (з)). Легко записать выражение для эталонной ПФ разомкнутой системы И '(з) 1-И '(з) ' (2.56) Рнс. 2Л6. Струатурнан схема эталонной снсэемы Рис. 2Л?. Структуриан схема эталонной системы Задача синтеза регулятора иллюстрируется рис.

2.18. Рнс. 2ЛВ. К постановке задачи коррекиин Из анализа структурных схем 2.!б и 2.18 сразу же следует, что задача коррекции получает решение при выполнении следующего условия (Р';( ) = В' ( )И,(у). (2.57) Поставим следующий вопрос: при каких условиях имеет место равенство передаточных функций йтр'(з) и И~, (д)? Очевидно, такое равенство справедливо, если ПФ объекта управления уе',(з) =1, те. объект безынерционный.

Равенство ухо(з) =1 может быть достигнуто, если скомпенсировать динамику объекта, вводя в прямую цепь дополнительное звено, имеющее ПФ, обратную ПФ объекта управления (это звено называют компенсатором); тогда имеет место равенство И'.(з)И'.'( ) =1 и структурная схема скорректированной системы принимает вид (рис. 2.19). 72 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П Рнь 2Л9.

Структурная стена скоррекенроаанноа системы Или, что то же самое (рис. 2.20). Рис. 2ДЕ. Структурнаа схема скорректнрооаиноа системы (лииамнка объекта скомиенсмроааиа) И' ( )и',(з) ' =)+В.(л)И.(л) (2.58) Тогда и"(з)(1+И ( )И.(з))=УУ ( )и'.(з). Отсюда получаем соотношение -И (з)И,(з)И'()+И ()И',(л)=И"(). Или, что то же самое: И, ( )И э( )) Из последней формулы следует Иээ( ) и.(,)= ' ' =И.-1(,)И;(,). (2.59) = И .(л)(1 -и (з)) Из формулы (2.59) легко заключить, что ПФ корректирующего устройства (КУ) состоит из двух частей: первая часть включает И"(л) и определяется зависимостью (2.56); вторая зэсе часть имеет ПФ, обратную передаточной функции обьвкта. Структурная схема системы с КУ, определяемым формулой (2.59), представлена на рис.

2.19. Таким образом, исходя из физических соображений, получено формальное решение задачи синтеза регулятора с эталонной передаточной функцией замкнутой системы и" (з) (ПФ компенсатора можно рассматривать как часть ПФ регулятора, тогда И' (з) = И р(з)И', '(л) (рис. 2.19)). Формальные рассуждения приводят к тому же результату. Поставим задачу так: полагая известными ПФ неизменяемой части И;(з) (как уже принято, И',(л) называют ПФ обьекта; сюда же входят ПФ исполнительного элемента, усилительных устройств, измерительных систем и т.д.) и И" (з), найдем ПФ В' (з) корректирующего устройства (регулятора) (рис. 2.18). Справедлива зависимость для И" (з) лава 2. Методы синтеза е лято в в классе одиоме ных систем 73 Рнс. 2.21.

Структура регулятора, имеюгпего ПФ И'м(г) Изложенный способ синтеза называет л[етодаы динамической компенсации (64, 93). Такое название обусловлено тем фактом, что ПФ корректирующего устройства содержипт самиоэситель Иго '(з), обратный передаточной функции неизменяемой части. За счет введения сомножителя Ио (у) компенсируются динамические свойства неизменяемой части (рис. 2.21). Пример 2,1. Рассмотрим задачу синтеза регулятора на примере канала крена полапм: Кюк, а) К, = 1; К„ К = 62; Т = 0,3 с; Тр = 2,4 с, Ио(г) = т о т т г(Тг+К ) б) эталонную пФ замкнуюа системы найдем, воспользовавшись методом стандартнык козффипиентов; она имеет вид (см.

табл. 2.3): г т).. + гтмог™о 4,3 Поскольку но = — = — '=2,то о Тр 24 (2.60) И'*(з) = г — ПФ замкнугоа системы. гг+4г+4 Учитывая, что И" (г)= —, в И'о '(г)=~ 4, г(0,3г+ 1) з(з+4) ' 62 можно определить ПФ регулятора. 4л(0 зг~ 1) 1 (О зг~)) 62г(г+4) 13 (г+4) (2.61) Пример 2.2 [93]. Положим, что И', (г) = —, К > О, Т > О, К Тот( а зтыюнная ПФ определяется зависимостью И" (г) = —., К > 0 .

а+К тогда ПФ регуляторе может быть записана в форме (2. 59). Поскольку К И" (г) ' К 1- И" (г) К з г+К (2 62) (2.63) (2.64) Поскольку И'р'(з) определяется выражением (2.56), то окончательно структурная схема скорректированной системы имеет вид, представленный на рис. 2.21. Поскольку И', (з) И',(з) =1, то имеет место структурная схема (рис. 2.20), которая совпадает со схемой, представленной на рис. 2.19. Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.

Часть П 74 и„(з)= — — = — т~)+ — ~. т*+) к' к' г (2.65) К з К ч тз! Последняя ПФ определяет ПИ-управленне .«~ — '( в) -)че") к' ( (2 66) к ~ т„ Обсудим полученный результат с точки зрения эффективности применения принципа динамической компенсации для синтеза корректирующих устройств. 1. КУ является весьма сложным, поскольку должно включать две части: компенсирующую (обратная передаточная функция объекта) и эталонную (ПФ разомкнутой эталонной системы).

2. Регулятор в общем случае содержит дифференцирующие звенья, входящие в составляющую И', ~(г) . Эти звенья физически трудно реализуемы. Приведем один из вариантов реализации 193). Найдем ПФ замкнутой системы, представленной на рис. 2.22. Рнс. 2.22. К вопросу реаанзаннн форснруюсяего звена (2.67) И.()= —, И ()= —. В(з) й(я) А(л) С(л) Пусть т — степень полинома числителя передаточной функции И;(л); и — степень полинома знаменателя передаточной функции И',(з); р — степень полинома числителя передаточной функции И' (г); 9 — степень полннома знаменателя передаточной функции И' (г) . Передаточная функция замкнутой эталонной системы И (5) = — ~-~ . Яз) (2.68) (2.69) К(Тол+ 1) 1+ ККо)(Тол+1) 7ол+1+ ККо К(7оэ+1) г(1+ ККо) Кз(тол+1) Тог((1+ККо)+1 Тя+! поскольку Т, -о О при К -о со.

Отсюда легко сделать вывод: охват усилительного звена с балыиим коэффициентом усиления инерционной отрицательной обратной связью с ПФ И~се(г) = Ко г(Тол+ 1) позволяет получить реальное форсирующее звено, выходом которого является проиэводнал от входного сигнала.