Пупков К.В. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 2 (2000), страница 11

Имеем 1= — ) [!Е(ро)! +л.~!сг(/е)~ )с(в. Э (2.2) Поскольку е(г) = у(с) — х(г), Е(ро) = У( ув) -И'(!со)У(/в) = (1- И'(/в))У( св), Х(/со) = И;( гсо)У(/в), иОв) = (~") = И Ое) И'(ув) Иь(ге) то функционал (2.2) принимает вид !2 ) 1 = — ) )1-И'(/в)! )у()в)! +)С~ (И'(/в)! ! сгв. Введем следующие обозначения для известных функций переменной е: Е,,(со) = ~У(Усо)); г ) 1'0в) И'.(.зв) Тогда соотношение, определяющее функционал, запишется так: 1= — ~((1-И'(рсо)~ Я (в)+~И'(/в)~ б„(в))бе. Далее воспользуемся следующими зависимостями: )1- И(уо)~ = (1 — И'(/со))(1- Ис(-/в)) = [1 — И'(- св) — И(/в) + Ис(/в )Ис(-~в)) = =! — (И'(-)со) + И'( ссо)) + И'(/в)И'(-!со) (2.З) (2.4) (2.5) Но прежде чем переходить к нахождению Икг(з), необходимо определить И"(з) — передаточную функцию эталонной системы исходя из требований технического задания.

Изложим некоторые подходы, связанные с определением И" (з) . Глава 2. Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 53 (2.7) Или, что то же самое, г Л(в) -)~(7в)бэ(в) б,(в)!! Очевидно, ! достигает минимума, если И'(ув)бэ(со) — бз(со) = О. (2.10) Отсюда находим Я„(в) И" (/в) = 5„(в) + Я„(в) но г ээ2 ~ ! (ЗВ) Ио(зв) тогда !г И" (св) = (2.11) 1+!Из,(ув)~ 1 г Х 1у(7в)! (2.12) ~2 „2 Таким образом [1561, оптимальная, в указанном смысле, частотная характеристика замкнутой системы опрес)еляется частотной характеристикой обьекта управления и весовым множителем )с При нахождении /с(с) = й с (И" (п)~, где И" (з) определяется (2.11), не выполняется условие физической реализуемости й(с) и 0 при с < О.

Например, если (156] ИпОв) = 1 !+7'вТ, Яэ(в) = Я„(в)+ Я„(в). С учетом (2.6) выражение под интегралом (2.5) можно записать так: 1о (в)+И'Ов)И'(-ув)~Я,(в)-(И'(~в!)+И(-)в))б (в)+ Я,(в) Я,,(в) ( . г 1 Я,(в)Я„(в)1 + ~ ††' = ~)Ис(ув)Я,(в)-Я„(в)( ~э(в) ~э(В) ~э(в) ~э(в) Преобразования, которые были приведены выше, позволили получить зависимость, в которой искомая частотная характеристика Ис(~в) входит только в одно слагаемое. Теперь функционал, экстремум которого требуется найти, принимает вид ( г 1 5,,(в)б,(в)1 ! = — ( ~~И'(/в)Я,(в)-Ю (в)~ + в. 2 ~ ' Я(в) Я(в) Поскольку слагаемые в подынтегральном выражении неотрицательны, то минимизация У сводится к минимизации слагаемого (156) 1Ис(/в)Я,(в) — Я (в)( — = —. 2 1 л(в) (2.9) Я,(в) Я,(в) Методы синтеза САУ по заданным показателям качества.

Часть 11 54 то Иээ( ° ) 1 Кэ Кэ Кэ „Кг11+т„а~~ 1+т,ва 1+т,,а 1-т,а' с к,=,т,= т, . 1 /1 + ~2 ~1+ ~ 2 Или, что то же самое, Иэ() э + Тогда эе г, 2 г — 'ег', с<О. 2 /с(т) = (2.13) Из последнего равенства следует, что ИПФ не удовлетворяет условию физической реализуемости тс(т) мО при т < О. Поэтому важной является задасча определения таких И" Оа) и И" (з), которые удовлетворяли бы условию физической реализуемости. Проведем соответствующие ра.осуждения, следуя 1! 56). Воспользуемся операцией факторизации Б,(в)=!Ч'Ов)! =Ч'Ов)Ч'(-тв), где Ч'Оа) имеет верхние нули и полюсы, а Ч'(-7а) — нижние нули и полюсы. Тогда 5 (в) ! А(в) = И'Оа)Ч'Оа) — 5,(~) .

Ч'(-/а) (2.14) Ч'(-!а) (Ч'(-7в)/ (Ч'(-7а)) (2.15) причем первое слагаемое имеет верхние полюса, второе — нижние. После проведенных преобразований следует зависимость ( 5,(а) Г 1' 5,( ) 1 А(а) = ~Оа)Ч'Ов)-~ -1Ч(-./в)~ 1Ч(-/4 ~э(а) (2.16) Отсюда имеем 5 (а) И" Осо) = Ч'(/а) Ч'(-са) (2.17) — оптимальная устойчивая часто тная характеристика. Так как 5,(со =Ф )'1(К(,.)~' "), ) И',сОв)~ Представим второе слагаемое в последней зависимости в виде (воспользуемся операцией расщепления) Глава 2.

Методы синтеза е лято ов в классе одноме ных систем 55 то для устойчивого, минимально-фазового объекта и типового задающего воздействия можно записать соотношение Чс(св) = [[И',Осо)! +)с~~, о у Зависимость, определяющая оптимальную реализуемую частотную характеристику, запишется так: И;(усо) Унсо)И",(- са) У(са)[!И;(са)~ +)с~ [ [!И;Цв)! +«~ [ (2.1 8) В [!56! приведен пример и задачи, иллюстрирующие применение рассмотренного подхода.

2.1.2. ПОстРОение пеРВЛАточной Функции зтдлонной системы В КЛАССЕ НИЗКОЧАСТОТНЫХ ФИЛЬТРОВ БАТТЕРВОРСА П редписанные нли желаемые динамические свойства замкнутых систем задаются соответствующим положением нулей и полюсов ПФ замкнутой системы. Рассмотрим постановку задачи и методику выбора желаемой ПФ, основанную на использовании теории низкочастотных фильтров Батгерворса (Баттерворта).

Проведем предвари- тельные рассуждения с учетом принципа фильтрации [93[. Положим, что входной сигнал содержит гармонические составляющие в полосе 0<а<во. Условия отработки воздействия без ошибки можно записать в форме (1 при 0<а<во, 1И'(ро)~ = А(со) = ~ (2.19) ~0 при в > во. Если факт, отраженный зависимостью (2.19), выразить терминами гармоническо- го анализа, то система с ПФ (2.19) идеально пропускает гармоники с частотами, не превышающими ао, и идеально подавляет гармоники с частотами в > ао . Известно, что система с АЧХ 'вида (2.19) физически не реализуема в классе сис- тем, имеющих дробно-рациональные ПФ. Однако приближенно такую систему реа- лизовать можно. Важно помнить о том, что «хорошая» замкнутая система, имеющая необходимую точность в установившемся режиме и заданные параметры переход- ного процесса, должна быть, как правило, близка по своим свойствам к идеальному низкочастотному с[за»отру с А Ч)с вида (2.19) [93[.

Выполним в (2.19) нормирование по частоте и положим а„= а !ао; тогда АЧХ идеального низкочастотного фильтра будет иметь вид (рис. 2.2). Поскольку, как уже говорилось, фильтр с АЧХ вида 1 при 0<а„<1, А(со„) = 0 при в„>1 физически не реализуем, то его можно построить, если задать приближение Аз(соь) в виде (здесь и далее индекс «н» в а„будем опускать) [93[ 1И'в0со)! = А„'(а)— (2.21) !+Ьссо~+Ьзв'+..,+Ь„созь В„(а') (2.20) Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть !! А(в„) Рнн гд. АЧХ нательного фильтра В последней зависимости требуется найти численные значения Ь,,Ьг,...,Ь„ и и; Ьо = 1, поскольку при этом условии А„(в)~ = А(а)) Запишем формулу для ошибки в полосе частот [0,1) 0 (в) 1 1 В.(а')-1 В„(вг) В„(вг) (2.22) Или, что то же самое, Ца~+Ь,в +...+Ь„вг" Цг+~г +...+Ь„г" 1+Ь<аг+Ьга'+...+Ь„а™ 1+Ь~г+Ь~г~+...+Ь„г" ' (2.23) где г=а . г Теперь задача стоит в том, чтобы из условия обеспечения, в известном смысле, минимума Р„(а) подобрать коэффициенты Ь„дг, ...,Ь„.

Например, таким условием может служить хорошее приближение А ЧХ идеального фильтра функцией А„(<о) в области а = 0 и менее точное воспроизведение спада частотной характеристики в области в =1. Может быть поставлена задача найти такую аппроксимирующую функцию А„(а), которая носила бы колебательный характер с равными амплитудами колебаний около АЧХ идеального фильтра. Для того чтобы обеспечить аппроксимацию АЧХ эталонного фильтра функцией А„(а) в области а = О, необходимо воспользоваться разложением зависимости, определяющей ошибку Р(г), в ряд Тейлора при г =0 н коэффициенты разложения приравнять нулю.

Запишем ряд Тейлора для функции 0( г): г о-< 0„(г) = Р„(0) + 0„(0) — ь 0„(0) — + ... + 0<а (0) — + .... (2.24) 1! " 2! " (и-1)! Ряд (2.24) определяет ошибку приближения АЧХ идеального фильтра функцией (2.23); потребуем, чтобы ряд (2.24) при удержании «и» членов разложения был бы равен нулю, что равносильно 0„(о) = Р„'(о) = Р„'(о) = ... = Ра-0(о) = о. (2.25) Вычисляя производные от функции (2.23) при г = О, можно показать, что при аппроксимации Р„(г) рядом Тейлора (и-1)-го порядка все первые коэффициенты )ь,Ьг,...,Ь„, сучетом(2.25)обращаются в нуль,т.е.

Ь, =Ьг =„,=Ь„, =О, Глава 2. Методы синтеза лято ов в классе одноме ных систем Тогда 57 (2.2б) Обычно полагают Ь„= 1, поскольку в этом случае граннца полосы пропускання фильтра соответствует значению 0,707. В этом случае аппрокснмнрующее выраженне принимает внд (2.27) о,с 0,6 ол Ь5 2 2,5 3 О 0.5 1 Рис. 23. Лиилитулие частетнеи хереитсриссиии 4тльтрее Беттсреерсл Для нахождения ПФ фильтра воспользуемся леммой о факгорнзацнн 193) 1~Б(зсо)1 "Б(ссо)~Б( ум)=йБ(л)1РБ( 5)1ь Поскольку -2 1 1 1 А ь 2с 2ь 2ь 1+ — '" 1+ —,„—,„1+(-1)" — ' х /е 1 1+(-1)" рзь (2.28) Фильтр, у которого квадрат А ЧХ определяется последней формулой, называется филыпром Баттерворса.

Комплексный коэффициент передачи фильтра Баттерворса будем обозначать через 1гв (ссо) . На рнс. 2.3 н 2.4 приведены АЧХ фильтров, передаточные функции которых определяются зависимостью (2.27) прн различных значениях п . 58 Методы синтеза САУ по заданным показателям качества. Часть П то полюсы последней зависимости определяются из уравнения ге +1 причем (+) соответствует нечетным значениям л, а (-) — четным. (2.29) го зо 40 од 2 3 4 Рис.

2.4. Логарифмическая амплитулио-частотиаа характеристика фильтроа Баттераорса Представляя единицу в комплексной форме, получим р„= + сов гре + у в1п фе, (2.30) где «(2гг 411 при четном л гре =(-!) ~ ~я; ге=0,1,2,...,(л-!); 2л при нечетном л гре =(-1) Лл; ге=0,1,2,...,(л-1). е(у ) (2.31) Таблица 2.! Таким образом, полюсы лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Фильтр Баттерворса, из известных соображений, должен иметь полюсы в левой полуплоскости, поэтому полюсы такого фильтра определяются зависимостью Р„= - совР» + У в 1п гре. (2. 32) Численные значения полюсов представлены в табл. 2.1.