Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 49

е к нему ее от и анп р ц яф вело бы Заметилп что исчнсяенне предикатов, по с е является лишь переносом на и а осом на произвольные области р д законов, сн аве лнв л .. б лспено па самом дел . ластеи.. го и было вылс е 9 . Действительно, если для области нить выражение (х) Р (х) на Р(«,) 6 Р' «, б ... вырюкейие (Вх) Р (х) на Р («,) л/...,' пра ила исчисления СТЫЕ СЛЕТСТВИЯ СИСТСЧЫ ! ия предикатов п в атя системы а~геном ис»ис;миня выскавании. ак, аксиома (х) Р (х) -л Р (у) обратится в совокупность формул: Р («,) й Р («л) й . Й Г (« ) — л Г («,), (1 = 1, 2, ..., и), каждая из которых получается по и авил п ковки из всегда-истинной фо м л инно формулы исчисления выска- АлбА,б...йА« — лАь (1=1,2, ..., л), р .

атривать как обобщение форму, которую молсно асом формулы вида: в о у, позволяющее перейти от всякой доказан о ни л — л6(х). где фо м ла Я ф р у Я не содержит переменной х, к формуле Й вЂ” + (х) З (х), в области ф являе тся непосредственным следствием Кочмен«мр«н л й 10 п~реалга г~«лк нз правила исчпс.чсння высказываний Я вЂ” +3, лд — > В, 1-Ел Ф вЂ” л3,6В,й...

В6„, позволяющего перейти от совокупности л доказанных формул й — л 9, (1 = 1, 2,...,л) к одной формуле т( -+ З, й ... й 6„. (Это правило, в свою очередь, вытекает яз обобщения всегда-истинной формулы (Л вЂ” л В) — л ((А — л С) — + (Л вЂ” л В й С)) . ) Поэтому неудивительно, что все выводимые формулы исчисления преднкатов являются всегда. истиннымн формулами для любой конечной области индивидуумов. Если бы имело место и обратное, т.

е. все формулы, всегда-истинные в любой конечной области, были адновреиенно и выводимыми в исчислении предикагов, то последнее потеря|1о бы право на существование. Действительно, в таком случае к нему нельзя было бы присоединить определения бесконечной области, т. е. какой-нибудь формулы О, не выполняющейся пи в какой конечной области индивидуумов. Ведь отрицание этой формулы было бы всегла-истинным в любой конечной области индивидуумов и, следовательно, 0 была бы выводимой формулой исчисления предикатов. Присоединение формулы В приводило бы, таким образом, к противоречию.

Молино доказать, однако (см., например, В. Н((аегг ппд Р. Ветл«уз, Слгнпб!апеп бег Ма(пеша(11с, т. 1, Я 5, б, сгр. 199— 207, 299 — 2б5], что: 1) если формула Ф, содержащая только предикатиые переменные, зависящие ат одного аргумента, всегда истинна в любой конечной области, то она выводима в исчислении преднкатов; 2) в исчислении предикатов существуют всегда- истинные в любой конечной области формулы О, не выводимые в этом исчислении. Ори»оженит 11 Таким образом ясно, что, оставаясь в ооласти логики, имеющей дело, подобно логике Аристотеля, только со свойствами, т. е.

предикатами, зависацини от одного аргумента, нельзя дать определения бесконечной области индивидуумов, совместного с исчислением предикнтоп. Наоборот, вводя в рассмотрение шпон!ения, т. с. предикаты, зависящие от двух или бпльщего числа аргу«>ептов, можно определить такую область, о которой, хозя опа и содержит бесконечное !испо индивидуумов, можно рассуждать по правилзч исчисления нредикатов, отвлеченным, как мы видели, нз изучения конечных областей предметов. Распространенный н математике способ обращения с бесконечными множествами предметов так, как если бы опн были конечнымп и в готовом ниде лежали перед нами, подобно списку избирателей на участке, сам но себе оказывается, таким образом, не ли>пенным смысла. Исчисление же предикатов приобретает право на самостоятельное существование, так кок в применении к бесконечным областям его аксиомы и правила вывода перестают быть следствиями нз системы аксиом исчисления высказываний.

Однако сформулировать на «язьгкее исчисления прсликатов формулу, ко«орая была бы вообще выполнимой, но ие выполнялась бы ни в какой Рюнечной илн счетной бесконечной области индивидуумов н могла бы, таким образом, служить определением для несчетной бесконечной области, как цы уже видели, невозможно.

Иными словзмн, о таких свойствах' бесконечных множеств, которыми не обладают никакие конечные илн счетные множества, нельзя с полной свободой рассу>кдать по правилац, экстраполированным от оперирования с конечпымн множествзчи предметов. ~ В более ивнеи с и»спе 'того с.тово сг!Неси >и! 13.РАТ> РЫ Из пкяе про»зщдсннд, ввотпшнх в чогечотнческую пош»ку »ы пазовея сведующие.

Веашопп, и., месьешо1ж нпб )омн. 3.«3рз>б, 1927. Сампер я., ЛЬг!В бег !.ой1«Ш», >у!сп, !929. СГЕГ»пзтаг, !... 1.'В>З«ЬГЕ бс 1« >Ой!Ч»»с. РОГ!«, 1995. (СУШС. стнует русский персона л. кутюра, Ллгсорв логики, с допол- нениями С. С. Шотуно»ского и И. Снеш>>нскога.) ьсню с. !. ппд с. 13. ьог>з(еги, яупщо)!с ьорс.

Мек уогй, 1932. г!Мпс И. у., Л бумегп о! !.оМ«йс. Свшьг!ихе (Маек), !934. Яг»мел В., 2>пыьгипб и> Ще ше1Ьешай«све РЬИоеорюс. (Немецкий перевод Сишьера н Согбоп'в). Мйпсйеп, — н А.лг им!саша, х>пюьгипв )п ще >пащешвнесье 1.о833» !пю шп)сиипб бег Рг)пс)р1а ма1ьешопсо) (Немецкий перевод Н Мозге). Магкьеп.

Вегйп, 1932, Дпя более поен»зо изучения су>цественны: !!Лагг! О, ипб Р. Вегпоуе, Стипл!озеп Оег МагЬ«гпа1Ю, 1. Вегйп, !934. (В нестоящее время существует н второй том, содермлшнй более новые результаты.— Рса.). 2 пзл.,! т., 19251 И д 111 т., !927, Из чнспв боли анарыд произведений, кое еше нс утерявших оночення, нвзовеи сдедугошне: Ргебс с., Вейг>пеесьг)м> е>пе бег ш!«ьпесесьеп пасьдеь31- ое1е Гогшемргвсье аю ге1пеп Оепкепе. ноле, 1879.

Ргебе С., О3е Сгипщеб*п бег Лг>1Ьше1!й; Б>пе )ой)той- >пел>ешне!шье спсегеисьипй йьег цеп Вейг1п бег хоы. Вге«1»ц, 1884. — сгипазес«1«е бег Агиьше!ю, ьсхгшеес)к11н!сь пьйе!егге1. )епо, !893 — 1993. Ргаы с., 1чо1анане бе!ощчие >па«ьешапчие, )п1гш>ион г оа Рогпш1е)ге ае мвщбп>огщже. Тцг1и, 1, 1894, Сниг ь .шюграшурм Реалы В., Регию|а|ге це Ма!Ьеша||бцее. 1895--1905. Решсе С. 5'., Соцес1сб Рарегэ, иаданные С.

Нпгмаеглг, и Р. Д'с!и (да настоящего времени появились тт. 1 — !'т). Бсшббгг и., рог(еецпйеп Оьег ще А18е|ма цег ьой!к (ехай!е ! облк), 3 точа. !.е!Рт|й, !890 в 1905. Длн озпагшмлснин с шелрелшке-Ммлшгслмгяными а глрл сели, находящимися в тесной связи с логнлгой, укт кем иа Рлаглгге( .4., Е!пйя1ппй !и йе Мспбеп1еЬге, 3 е нзд. Вегдп, 1928. Впошю нсчерпыва|ощего списка очень разросшеися спепнальиой логической литературы мы не можЕм дать и ог ылаем на этот счет к ценной работе: Сонма А., А В!Ы!ойгарйу о1 Бушьойс Ьо(дс (тйе 2онгпа! о| Бушбо1|с Сад|с, т.

1, стр. !21 — 218), содержащей полнын хронолюгичес|ги расположеннмй сшюок всей литературы по натематической лщнке, доведенный до 1935 г, (продолжение этого списка см. в т»е 2оцгпа( о1 Бушьщ!с ьой!с, т. 3, стр. !78 — 212— лрп ч, ред.). пРедметный ЕНАВАтсль Льснома выбора 167, 1ЫБ Лкснома свертывания (Кошргейепйопеах|ош) 190. Акоповы объемности (Ех1епа|- опа81д1зах|оше) 198. Лксцоиы исчвслепия высказываний 49 и д. -"» — узкого исчислении прелнкатоп 96 и д. » — всчислснвп предннашв нторой ступени !66 — !67, — г — ступенчатого не шслсния 195 и д.

Аристотелева логика 73 и д. Ассоциатапный закон конь. юнкции н днзъюнкдии 23. Верхняя граница, теорема о 203. Взаимнооднозначное соответствие 181. Вполне уиорядогенное множество 182 †!83. Всегда-истинные сложные нысказыяалня 32 и д. Всеобщие суждения 69, 84 35. Вывод правил и формул в исчислении высказываний 53 и д. — »- следствий нз данных аксиом в исчислении высказываний 44 п д, Вывод правил и формул в исчислении предикатов 190 и л. — *.— следствий из данных аксиом в исчислении ореди! лгов !33 и д. Выцолнпная формула !46, 166.

Выполнимости цроблеи» 41, 147,165. Греческие буквы (нх употребление) 133. Дедекиндоао сечение 200, 218, 223 и д. Действнгельиые числа (обоснование) 200, 2!8, 223 и л. Дизыопкция 24. Дистрибутивный закон исчисления высказываний 23. Заключении схема 50, 98. Замены правила 108. Знак существования 85, 16|. Иерархия типов 209. Излишек основных логических связей 2?, !!аи — вли 20. Иьгпликация 24.

Индивидуальные знаки 133. — е — переменные 83. Индивидуумы 83. Исчисление в~лсказыванггтг 19 и л. Пргщчппный \эоьэшгаь Предмсьлный улагэльем Исчисление кшссов Г8 и д. — » — преднкзгов второй ступени 161 н л. — » — — » — олночсстнпс 68, !54 и д., 169. — » — — » — расширенное !61 и Л. — э — — » — узкое 81 н .ь.

Каэпторы 85. Количественное число — сто логическое введение П4 и д. Коммутатнвный закон исчисления высказываний 23. Коиституенты 39. Коньюнкцвя 24. Латинские буквы (цх упоьрсбление) 93, 133. Логвчесиэя сумма 23. Многообразие с.ьожных «показываний М. Множество вцплнс упорядоченное !82-183. — — упорядоченное 18'. — — всех,"частичных множеств 181 — 1Ь2.

Натуральный ряд чисел, его свойства 88-М!. Независимость аксноьь исчисления высказываний 63. -» — — » — — » — предика»он П8ил. Нечецкне буквы (нх употребление) 34, 95 — 96. Непротиворечивости прсблеыа 61, П7 и д, 146, В9. Нормальная фор»ьа в исчислю нни высказываний дизь. юнктнвная 35 и д. 1(ормазьиан форма в по щсченпп высказываний коьгыопкпьвнзя 29 и д., 36. — — — » — - С всршснаая 39 40. — — ььредварсинв ь П2 — » — — —. Сколепа 114.