Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 45

е. высказынания, которые либо истинны, лкбо ложны, н прсшам н цременно адно нз двух), а псл знакамн е э, «бэ, с)/«в отрицание и связки, соответствующие, хотя не полностью, союзаи «но н «нлнэ разговорной речи. Однако в аксисматическом цостроеннн мы не пользовались тем, что буквы Х, У, Л,... обозначают именно предл'же!сия, а по!ические ссонсташы ° э, «сх.. <'„э и др— отрицание и связки меж„у предлйженияэсн, Построенная аксиаматнчески система допускает и этому и дру'гие истолкования входящих в нее симвслсв. Одни«! нз таких является следующее: будем понимать под буквами Х, У, Я...

не предложен!!я, а предвкаты, которые могут быть приписаны са смыслом пред«стаи той илн иной сбластн исследований. Так, если речь идет о вещах, имесащнх окраску, то пред>!к!стао>н ьссгут быть «белыйэ, «красгыйэ, «зелегыйэ и т. и. Если речь грет о целых числах, то предикатамн будут, например: «чети! е числ! э, ««рашн е трен«, «бс лыое 7«, «про отсе число«' н т. и. Будучи пргп>.снн пронзвгльнсму предмету нз области, для которо й он имеет смысл, преднкат и!рождает предо! >конке: кстиннсе илн лсжнсе. Так, приписав преднкат «прссже чссслс» чкслу 7, мы ' Простым я«слоя яозняо«с«я ток«е, которое яе имеет Л«яяг«лоа, отяяяны» от ! я о«ного себя. получим истинное предло>кение: «7 простое числом Приписав же его числу 15, мы получим ложное предложение «15 простое числаэ. Наоборот, приписав преднкат «больше 7» числу 15, мы получим истинное предложение с)5 больше 7>, приписав же его числу 7,— лажное: «7 больше 7«.

Заметим, что все рассмотренные здесь предикаты каждым приведенным нами предло>кеннем приписываются только одному субъекту. В дальнейшем мы будем называть подобные преднкаты «свойсгвамнэ. Предикатыже, которые порождают предложение (истинное или ложное), только будучи приписаны паре или большему числу субъектов, будут называться «отношениямиэ. Так, «большсэ — это отношение, ибо выражение «7 большее не является предложением. Выражение же «7 больше Зэ — предложение и притом истинное.

Выражение «5 больше 7э — тоже предложение, но только лажное. Аналогично, выражения: «чнсло 7 лежи!я .ч«жду чнсламн 5 и 12« и «число 5 лежню между числами 7 и !2« — предложения, из которых первое истинное, а второе ложное. На в отличие от отношения «больше«, связывающего два предмета, отношение «лежит между> связывает уже три предмета. По числу субъектов, которым они могут быть со смыслом приписаны одним и тем же предложением (истннным или ложным), предикаты разделяются на одноместные, двуместные, трехместные и т. д. «Свойстве« являются, таким образом, одноместными предикатами. В качестве дальнейших примеров одноместных преднкатсв приведем еще такие понятия, как «человек«, «старец«, «слон«, «сестра Ириныэ.

Понятие же «сестраэ (в смысле отнсшения родства> является уже двуместным предикатам, Во второй главе рассматриваются только одноместные предикагы. Заметим тут же, что вместо одноместных предикатов для целей этой главы с тем же успехом можно рассмат. ривать соответствующие им классы предметсв, обладающих выражаемым данным пред!!катом «свс йстнамэ, или подпадающих, иначе говоря, под обеем выражаемого им понятия.

Исчисление одноместных >Е о,,„,„,,а„ 274 Гури»»гке ггг«11 К»ММСНЛЮРиб Н и 1 и 3 ипороб стоек Зтб преднкатов называется поэтому иначе еисчислением классг.вэ. Если понимать теперь под буквами Х, У 3„.. одноместные пуедпкаты, то выражения Х, Х Хг У, Хб»У также можно рассматривать как одноьтестные предикаты или как соответствующие им классы предметов. Так, под Х мы будем понимать общее свойство всех тех предметов, прппнсыванне которым преднката Х порождает не нсгнннае, а ложное предложение, нли класс всех предметов, которые не сбладают свойств« м Х. В курсах лсгнкн класс предметсв, обладаю.

щнх свг йством Х, 1бгзначается 1бычно х. Клаас предмет«в, не обладаюгщгх свгйСтнг и Х, называется дгпалненг см к классу х и обозначается иногда: — х. Если псд Х, например, будем наш»мать предпкат «четв е число», то Х будет обоз. ачать предикьт «нечетное чнслсэ, плн соотне;сгвугонщй ему класс нечетных чисел. Под Х гг У мы будем понимать общее свойство всех тех предметов, которые гбладнют, пп меньшей мере, однни кз двух свойств: Х или У; нли класс предметов, сашаящнй нз всех (различных) элементов обоих класс«в х и у.

Такой класс называется обычно оуммол Кпаееан Хи у Н СбаэиаЧастея: Х+у, ИЛИ Х «1 у. ЕСЛИ Пад Х мы будем понимать нредикат «делнтсл на 2», нли класс Всех четных чисел, а под У вЂ” преднкат «делится на 3», или класс всех чисел, кратных трем, то Х гг' У будет предикатам, обозначающни сбщее свойство чисел, делящихся на 2 илн на 3, которому соответствует класс, состоящий из всех четных чисел и всех нечетных чисел, кратных трем. Хбгу принимается как предикат, соответствующий общему свсйству всех предметен, г:бладаюших одновременно оболмн свойствами Х и У, нлн соответствующий ему класс предметов, состоящяй нз тех элементов класссл х и у, которые принадлежат одновременно обоим классам Такай класс называется сбычно пересечением классг,н х н у и ьбозначаетсн х у. Из рассмотренных н предыдущем при»гере предикатов; Х(ггделится на 2») и У(ггделится на 3») с помощью связки «йэ получается новый предикат Х бг Уг «делится на 2 и делится на Зэ, равносильный в арифметике предикату «делится на бэ и определяющий соответствующий ему класс чисел, делящихся как на 2, так и на 3, Так как знаки « — >э и е э рассматриваются авторами лишь как сокращения, т.

е. сводятся к ум<с рассмотренным нами знакам, та мы на них останадливаться не будем. Нетрудно убедиться теперь, что всегда-истинные формулы исчисления высказываний при таком истолковании обращаются в предикаты, выполняющиеся для всех предметов рассматриваемой сбласти, или в так называемый унио«реальный класс, который мы будем обозначать в дальнейшем буквой Проверим зто, например, длл аксиомы а) Х т/ Х вЂ” »Х. С этой целью нсклгечнм сначала эпок ° °, пользулсь тем, что, по ппределенню, Х У есть сокращение длн Хг«'У.

Мы оолучнм; Х'т'Х гг'Х заменим затем н этой формуле преднкэты клессанн н операцнн н»д преднкатамн операциями с клесс»мн. Мы получим формулу — 1х+х) +х, оэнлчающую теперь не предло«сине )н нс препнкат), а не- который класс прелметое. Испольэул то обстолтельстно, чтгг длл слаженно классон онест места тоны«стео: х +л=л, предстаеляююееся содержа- ~ельно понлтным потому, что атласах+ х, по определению сла- женно клшсон, содержит зсе тс н только теэлеленты, которые плодят по крайней мере и один нэ леул клэссоа: л нлн х, мы получаем далее сонпадеюп нй с предыдущем клесс: — х+х Наконец, так как — л по опр«делению содержит осе те пр влеты нашей области, которые н«входят в х, а — э+лесть — н силу определ«ннн слон<елин классов — класс всех тех Гп только тех) предметов, которые нходнт по крайней мерв н один нэ двух кллссон; — х нлн х, то — х+х-г.

— л Ге+э)+ х н есть, таким образом, уннаерсальный класс. 18* Прелом«ение 1! Комментарий к О 1 и 2 етореб геп«и уй 1 Аналогичную прсверку для аксиомы )») Х-»Х»у У выполним, иллюстрируя ее посредством кругов Эйлера. Соответствующий этой аксиоме класс — х+(х+у) можно изобразить графически; Нару»кный «круг> соответствует здесь универсальному классу 1, заполненная тачками часть ега поверхности— классу — х; заштрихованная часть поверхнасти — классу х-)-у, И ясно, что ва всем универсальном классе нет ни одной точки, которая не входила бы по крайней мере в один нз двух классон: — х илн х+у. Суммой их, следовательно, является универсальный класс.

Для строгого доказательства нашего утнерждения по отношению ко всем вообще всегда-истинным формулам логики высказываний достаточно заметить, как это и сделано авторами, что определенные нами операции исчисления классов обладают всеми свойствами а)) †),которыми характеризуются операции исчнсле. ння высказываний. Так, сяо,кение и пересечение классОв обпадают оба свойстие ян ееии у тити оп ест и, « осе аи«п»и«ности и си«трпа) питие»пт [Одно отноентеяьно другого). Лоподненне к пересечению двух классов к н у есть сумма нк доно«пеняй — х н — у, т.

е. — (х ° у) -х+ ( — у) Кемдое нз этих двух еырялсеннй, соединенных знаком равенства, мо кет быть заменено полому другим. Анадогнчно — (х ау) "— х ( — 2'). ыаконеп, доподиенне к дополнению х соппадает с х, т. е. — ( — к) я, а епекн «, «» унотребпяются кек сокращения точно так я е, как я н исчислении высказываний Поэтому формулы исчисления предикатон (илн нсчнслен)ея классов) можно совершенно так же приводить к нормальной форме, как это делается в исчислении высказываний: каждый шаг в процессе приведения будет заменять выражаемый формулой класс сонпадающим с ним классом.

Но все всегда-истинные формулы исчисления высказываний, будучи приведены к нормальной конъюнктввной форме, представляют собой конъюнкцию, каждый член которой содержит по крайней мере одну пару одинаковых букв, из которых одна снабжена знаком отрицания, а другая — нет, н которые связаны друг с другам знакоде «»/е, т.

е. представляют в сумме универсальный класс. Непосредственным следствием отсюда и является то обстоятельство,что и все всегда-истинные формулы исчисления высказываний, в исчислении классов превращаются в формулы, представляющие универсальный класс при любой подстановке в них на место переменных каких-нибудь индивидуальных классов. Наоборот, если хотя бы один член конъюнктивнай нормальной формы не содержит одрюоремеш»о ни одной буквы вместе с ее атрицаниеь», то существует такая подстановка индивидуальных кдассов, при которой рассматриваемая формула уже не представляет собой универсального класса. Есин определить аперапни нед классами не содеркетедьно, кек мы ею с;»епе:и, е еисноматнпескн, полн,нип и основу систему акс»юм, непосредственно не соепедающу»о поппостыо с ореонпами а») — ее), то докеептельстпо того, что и пооом нсеоякооеннн всякая есегда-нстннная формула исчисления 279 Кгчмгчшарай х Я ! л 2 г«лгр«й г.ыгы Приггхсглш 11 высказываний лреврашается всегда н универсальный класс, уяабнее пронести иначе.