Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 46

Аналогнчыо тому, как это б |ло сде- лано, опир«чсь на та,кдестза х-';х- х и — хфх 1, для аксиомы а), достаточно проверить сначала, опираясь на аксиомы, опрсделяюшие операции с классами, что зообше нее аксноиы а) — й) исчисления зысказыааыий представляют в на- шей ннтсрыретации ун|геерсальн «й класс. А затем показать, что села какие.ныоудь фоРмулы прелстаалнют унннерсзльныы класс, то и (!«ор»»улы, получена е из пих по правилам аывола исчнслелия нысказыяаинй, дол кны так,ке представлять уни- версальный класс, Ыескочько раз»и«ыых спасобоя выбора системы независи- иых аксиом для исчисления классон, или так называемой алгебры Вуля, «итатель мо,кет найти а стат~е Хаклгингшгка (Е. Ъ'.

Нилл«»11»п, Ыен эс1» о) !пйсгепйепс ро»1а!аееэ гог 1Ье а!йеьга аг !ой!с, тгапэ. Аш. ма1ьепт. Вас., 1. 25 (!953), стр. 207 — 304, и нспраячсние ошибки таи же, стр. 557 — З). Весил»а простой из такого рода систем является следуюшая, лтинелент ная н стат е Егс Вугле, Тно Ьгай 1агпш!амаль о1 Воо!сап а!йеЬга, ВШ!. Аш. Ма1Ьсш.

Зас., 1. б2 (194б), рр. 259 — 272» Мыокестео (или область лредиетаз) А называется гул«в- ской алгеброй откос~«те«»~на олерааий, обозиачаечых через г.» и « — », есчн выполнены следуюшие услааияг Аг)«Если х5л, то ы ( — х) 5 А (знак «б» читается как «прн- надае кит» илл «является эленентои»). А»2: ясли хбд н убА, тг и х УЕАЧ Ааа: (х.у) г =х ° (у.г). Ае4: х ° у=у ° хк А»5«х ( — у) г ( — г) ратко«илько х.у=х. Рагглстгг 1 = и при этом рассматривается как эшиентарное высказывание. Кроые того, дабааляется правило, а силу которого р(!) Е(ы), если г=ы'.

' Аксиомы Ал! и Ал2 выражают иногда иначе, говор», что шгожестзо А гамхыутг относительно операций ч-» и г-». Оны соатаетстиуют пранилаи образования формул, абазначаюших препьюты (шгрмгг). ' Аксиомами Ала н Аг4 выражаются, нныыи словами, асса«(аашлгность и лгммушатлгнгсш~ аперацин «.» ! счисление классон получается из этой снесены аксиом прл иста,.копании операции «.» как ы смысле ай», так, н а сиыслс Ю ». Рзыенст«о ! = 1 рассматривается как показанное. Мы убедились таким образом, что в новом истолковании всякая всегда-истинная, нли (что означает здесь то же самое> доказуеиая формула исчисления высказываний превращается всегда в предикат, выполняющийся для всех предметов, или в соответствующий такому предикату универсальный класс. Пазгому. вполне естественно поставить н соответствие каждому такому предикату предложение, констатирующее зго обстоятельство и утзеры<дающес, слсдовзтсльно, что некоторый преднкат выполняется для гсгх лргдмгшаг, или чтп соответствующий ему класс совладает с 1.

Еслественно, далее, сопоставить такое предложение и другим предикатам, заметив, что если, например, такой-топредикат не выполняется для всех предметов,то соответствующее предложение, утверждающее его выполнение для всех предметов, ложно. Каждому предикату Х при атом будет поставлено в соответствие предложение, которое авторы обознача!от )Х)и которое утверждает, что предикат Х принадлежит всем предмелгйм рассматриваемой области. Это предложение мажет быть как истинным, так н ложным, но если на место Х мы подставим в него предикат»Д, формально так же образованный нз переменных предикатов Х, У, Х,..., как какое-нибудь всегда-истинное высказывание из переменных высказываний Х, У, Л,..., то предло>кение ) й) будет тоже всегда-истинным.

Но только теперь уже при произвольных подстановках вместо Х, Г, ь... не предложений, а преднкатов. Оно будет утверждать именно, что полученный такиы образом предикат выполняется для всех лргд.игала, — и зто будет правдой Заметим, что теперь в нашем распоряжении окажется некоторый запас предложений, как истинных, так ы ложных, которые не будутужс нерасчлененными целыми, несьтотря на то, что не будут составлены из других предложений. Мнсш!е из ннх будутслпжными образонаниямв, ссставленнымн, однако, нс из злементарйых (ген!нных) пуедл жен!!й, а из злемснтарных предикатов, н, несмсйря на свсю сложнссть, Колл«ни«рва в О 1 и Э вы«рой гневи пп При<»звени« П г«а являющимися поэтому в целом элементарными предл<жениями. Так, если Х обозначает свсйство вженщинаэ (или «быть женщин<я»), а У вЂ” вмужчинаэ (или «быть мужчнн<йэ), а рассматриваемой областью предмет<в будут л>оди.

то ) Х у У ~ представляет собой предл<женке (А): «Все люди либо женщины, либо мужчины». В дальнейшем мы увидим, что благодаря их сл<жн<стн(точнее, <пираясь на сп<ссб их <бразснання) иекст<рые элекетарные предложения теперь можно будет заменять рави<сильными им сложными (т. е. с<ставленными из других предлсжений). Однако в данн<м случае п<пытка представи>ь полученное нами прела<женке в виде дизъюикции (Б); «Все л<адн— женщины или все люди — мужчиныэ, будет явно неудачи й. Оба предл<жения: вВсе люди — женщииыэ и «Все люди — мужчиныэ,— л<жны.

Предло>кение (Б) поэт<му ложно, между' тем как (А) истинно. Не сл> шксм ли беден, сдцзко, запас истинных элементарных предл< жений, которые мы мажем выразить таким <брав<и? Ведь с нх пам<щыо мы м<жем высказать чтс-н>.будь л>.шь о всех сразу предметах <бласти! В действвпельш сти запас этот все же шире, чем может и<казаться па первый взгляд. Во всяком случае его д<статсчно, чт<бы выразить все сбщие, как утвердительные, так и отрицательные предло>кения, т.

е, суждения типсв А и Е традиционной лагш<и. Действительно, такие суждения нетрудно заменить эквивалентными им суждениями о»сех предметах рассл<атриваем<й сбласти. Поясним это сначала на примерах. Я х<,чу сказать: «Все сгветские женщины уравнены в правах с ссветскими мум<чинамиэ. Могу ли я, не искажая смысла, заменить это высказывание равносильным ему высказыванием о <сех предметах <бласти,— в данном случае, естественно, о всех людях? — Оказывзется, магу. Стоит толы<о заметить, что утвер>кденге м<е рави< сильно высказыванию: «Для «сяного лредмелчп (или «для всякого человека») верно, »<то если этот предмет есть советская женщина, гло он уравнен в правах с советскими мужчинами», чтобы отыскать спас<6 такого выражения. Если мы обозначим индивидуальный (конкретный, данный) предикат «советская женшина» через «СЖ», предикат «уравнен в правах с советскими му>кчинамиэ через «УП», то сложный предикат «СЖ вЂ” УП», или иначе: вбЖ <г УП», будет справедлив уже для всех прелметав рассматриваемой <бласти, в данном случае для ещх людей.

Действительно, согласно нашему определению операций «» и «Уэ в применения к предикатам, предикат «СЖ» выполняется для всех предметов, не являющихся вссветсннми женшинами», предикат же «СЖ <> Уϻ— для всех предметов, либо не являющихся всанетскими женщинамнэ, либо «уравненных в правах с советскими мужчинамив. Но всякий человек нли не всоветская женщинаэ, или, если человек, о котором идет речь,— с<ветская женщина, то он заведомо уравнен в правах с ссветскимн мужчинамнэ, Аналогично, если я хочу сказат»н «Никакое нечетное число не делится на б» то, об,*значив предикат «нечетное числ<» через «Нчэ, предикзт «делится на бэ через «Длб», мы можем заменить это высказывание следующим равносильным ему высказыванием а вих числах: ~Йч <> Длб, т.

е. «всякое число либо четное, либо не делится на б». Ипил>н словами, если оно нечетное, та оио уже во всяком случае не делится на б. Вообще, всякое суждение типа А: «Все Х суть У» может быть заменено суждением о всех лредлваих, имеющим вид «) Х - у)», или «~ Х у у (», и ознгчаюи,им в новом истолковании, что «Всякий предмет илн не Х. или )'», т. е, если он обладает свойством Х, то обладает н свойствам У. В применении к классам такое суждение записывается обычно в виде «х у» и читается «х включен в уэ, или «х есть подкласс класса у», или «класс х есть часть класса у». Аналогично, всякое суждение типа Е: «Никакое Х не есть У», может быть заменено суждением о всех предмен<ах, т«еющим вид «)Х вЂ” »у'», или «) Х у у 1», Приложении 11 и означающюч теперь, что «Всякий предмет или не-Х, или не-У» т.

е. всякий предмет, обладающий свой. ствпм Х, не обладает свойством У. Для классов это можно записать в виде «х~ — у» и прочесть как «х включен в дополнение к у», на такое выражение встречается довольно редко. Обычно это выражают несколько иначе, и мы расска>кем сейчас, как именно. Прежде всего заметим, что знак «~ », в отличие ат знакпв «.», «+» (или «>/»), ве является знаком для операции с классами, порождающей из одних классов другие. Он появляется лишь после того, как сложному классу « вЂ” х+у» уже поставлено в соответствие утверждение, что он совпадает с универсальным классом, н есть поэтому лишь другое выражение для формулы — х+у= 1, выражающей некоторое ааиашенив между классами.

Поэтому и говорят обычно. что знак ог» есть знак не операции, а отношения. Мы можем сказать, что, но определению, хс:у -х+у=1. Но в таком случае: х~ — у -х+( — у) =1, нли, так как> — х+(-у) = — (х у), хс:.— у ° вЂ” (х ° у) =.1. Но если дополнение к какпму-нибудь классу а совпадает с универсальным классом, то класс а не содержит ни одного элемента или есть, как говарлт, пустой класс, обозначаемый обычна знзкпм «О». Так как и, наоборот, пустой класс есть дополнение к универ- Комм«>ел>олий о Ц 1 и 3 «мороз «линн сальному, та последнюю формулу можно записать в виде: х~ — у х у=О. Правая часть этой формулы и служит обычно выражением для суждения типа Ео «Никакое Х не есть У».