Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988), страница 8

Так определяется переходный процесс, когда точка с,.сз находится па липки Пз. Предельное (нижнее) положение исходпой точки ~1о, прп котором зто справедливо, найдется из диаграммы (ряс. ЗЛ8) при (уо( = О, как показало штриховой лпппей. Это будет значение уо . Следовательно, прп ордпнате уо ( уо исходной точки ~',1 выражение (3.30) надо заменить другим. Здесь последующая точка К (рис.

3.17) определяется абсцпссой хь Поскольку в точке К имеем у = О, то из (3.23) и (3.28) находим ГЛАВА 4 АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА в 4 1. Исходные положения метода гармонической линеарязацни где Аг —— — ~ с' (а ып ыС) с)1г г (4.3) В предыдущих главах исследовались переходные процессы и автоколебання в нелинейных системах второго порядка. Этот материал весьма важен для получения наглядного представления о некоторых особенностях поведения нелинейных систем по сравнению с линейными. Однако большинство реальных систем автоматического управления и регулирования описывается уравнениямп более высокого порядка.

В связи с этим в данной и в следующих главах будут рассмотреныметоды исследования нелинейных систем выше второго порядка. Наиболее распространенным на практике для этих целей является метод гармонической линеаригации (метод гармонического баланса). Основу того приближенного метода составляют следующие положения. Пусть имеется нелинейное звено с характеристикой у = с" (х) (4.1) любого иа видов, укааанных в ~ 1.1 (например, на рис. 1.1 — 1.5).

Подадим на вход этого звена гармонический сигнал х = а з1п Ы. На выходе получим у = = с (а з1п ы1). На рис. 4.1 даи пример графического представления функции с(аз!пы1) (рис. 4.1, б) для заданной нелинейной характеристики с (х) (рис. 4А, а). Этот периодический выходной сигнал нелинейного авена можно разложить в ряд Фурье Аг у=с" (аг1ПСгт)= — "+ 7,(Аггсэиюг+Вза1ПНЫ1), (4.2) Будем рассматривать нелинейную автоматическую систему любой сложности по структуре, но с одной неиинейностью р = Р(х). Тогда, выделив эту нелинейность — (,~~я) Рвс. 4Л. в отдельное звено, можно всю остальную часть системы, какую бы сложную структуру она ни имела, объединить в единый блок — линейную часть (рггс.

4.2). Передаточнуго функциго линейной части обозначим И'„(г) =— // (в) 4/М (4 .б) н будем считать, что степень мпогочлена Н(э) в числителе меньше, чем степень многочлепа ~',)(э) в знаменателе, Тогда амплитудная частотная характеристика линейной части гу,(~й) (рис. 4.3) будет стремиться к нулю при Й -э оо. Начало втой частотной характеристики может д в Йд ГО Рис. 43. Рис. 4.2.

иметь два варианта (1, 2, рнс. 4.3) в зависимости от того, имеется или нет нулевой полюс в передаточной функции (4.5). Допустим, что в данной замкнутой системе возможны собственные периодические колебания (автоколебания). Отметим на оси абсцисс (рпс. 4.3) частоту первой гармоники этих колебаний в и высшие гармоники 2в, Зв„... Предположим, что наша система обладает тем свойством,что величина амплитудной характеристики на частотах высших гармоник значительно меньше, чем для первои: ~М,Цпв) ~ й (И',(ув) ~, и= 2, 3, ... Это свойство называется свойством фильтра линейной части системы. При наличии свойства фильтра линейная часть системы (рис.

4.2) будет хорошо пропускать первую гармонику нелпнейпых колебаний р и ослаблять все высшие гармоники. Поэтому переменпая х на входе нелинейного звена окажется близкой к синусоиде: х ж аэшвй (4.6)' Это обстоятельство усиливается егце тем фактом, что, как правило, амплитуды высших гармоник (4.4) переменной у хотя и не малы, но все же меньше, чем первой. Прп несимметричных колебаниях появится еще постоянная составляющая хе: х хз+ авшай (4.7) Итак, базируясь па свойстве фильтра линейной части системы, будем считать, что собственные периодические колебания замкнутой нелинейной системы на входе нелинейного авена х в первом приближении моя~но полагать сппусопдальнымн (4.6) или (4.7).

Выходную же величину у нелинейного звена, содержащую в себе заметные высшие гармоники, надо определять при этом либо графически, как на рпс. 4.1, либо аналитически — по формуле (4.2). В итоге вся задача сводится к определению двух неизвестных: частоты ы п амплитуды а перзоп гармоники колебаний переменной х в случае симметричных колебаний (4.8). В случае же несимметричных колебаний (4.7) речь будет пдти о трех неизвестных: а, ы п постоянной составляющей хс. Для решения втой задачи необходимо исследовать только прохождение первой гармоники по всей замкнутой цепи, не учитывая пока высших гармоник переменной у, нбо в первом приближении считается,что они не проходят на выход х линейной части системы. Запишем выражение первой гармоники переменной у согласно (4.2): Аз у= — "+ А,совы~+В в1пв~, (4.8) отбросив высшие гармоники не потому, что онн малы, а потому что онп не пужны для определения первого приближения х в виде (4.7).

(При необходимости мол(но будет учесть и влияние высших гармоник (22].) Симметричные колебания. При этом в (4.8) Аз = О. Обозначим Вт А — = у (а), — = д' (а). Тогда (4.8)' запишется в виде у = у(а) а вш ыг + д'(а) а сов юй Но, заметив, что рх / й '1 ав1псоГ =-х асовы8 = — ~р = — ~, 3 ы' (, си)' получим у = с" (х) = ~д (а) + — р ~ х, г' 00 (4.10) где, обозначив ф= сос, согласно (4.9) и (4.4), имеем (4.11) д' = „~ ~ с" (аз(пф)совий~.

о Представление (4.10) называется гармонической линеаризацией нелинейности, а величины ч(а) и ч'(а)— козффициентами гармонической линеаризации. Правая часть выражения (4.10) линейна при а = = сопзФ, т. е. только для данного конкретного периодического решения. Но в целом она сохраняет нелинейные свойства, так как коэффициенты данного периодического решения аависят от искомого решения (от величины амплптуды колебаний переменной х). Эта особенность гармонической линеариаации и поаволит нам в дальнейшем исследовать с ее помощью основные свойства и особенности процессов в нелинейных автоматических системах. Гармонически линеазироеанная передаточная функция нелинейного звена имеет вид И'з(а, г) =у~' =д(а)+г г.

(4 12) Амплитудно-фазоеая характеристика нелинейного авена в реаультате подстановки г = 1ю выражается в форме И',(а) = д(а) +)о'(а). (4АЗ) Следовательно, амплитудно-фааовая характеристика нелинейности с'(х) зависит только от амплитуды и не зависит от частоты, в противоположность характеристикам линейных звеньев.

Для динамических нелинейностей, где имеется явная аависнмость от скорости, т. е. для нелинейностей вида Р(х, рх), коеффициеиты о, о', а значит, и характеристика РУ,(1ю) будут зависеть от амплитуды а и от частоты сз. Существуют и такие нелинейности, для которых д, д" н К', не вавпсят от амплитуды, а аависят только от частоты ю. Однако характер этой зависимости принципиально пной, чем для линейных звеньев. Такие нелинейные звенья называются лсевдолинебнььии (см. 1 7.3). В данной книге мы ограничимся только системами с нелннейностями тппа Р(х). Об исследовании систем с более сложными нелянеяностямп см. (22).

Несимметричные колебания. Прн атом, согласно (4.7), будем иметь х = хе+ хе, х* = а з)п Ы. (4.14) Поэтому в результате гармонической линеаризации вместо (4.10) — (4.11), согласно (4.8), (4.3) в (4.4), получим р = Р(х) = Ре(хе а)+ ~д(а, хе)+е ' р]х*„(4.15) где Рз = — ) Р (хз + а з!и ~р) Ыф Г о (4 16) сз д — — Р(х + аыпф) з~п~рдф Г е д' = — ~ Р (хе -(- а з(п $) соз ф йр. о (4.17) Как видно из (4.15), выходная величина нелинейности р содержит постоянную составляющую Рз н периодическую составляющую, выраженную через хе = аз1п юй Однако каждая из них зависит не только от соответствующей составляющей входа (т. е. Рэ зависит не только ог хе и периодическая — не только от а), но от обеих сразу.

Это является существенным отличием нелинейного звена от линейпого и обусловливает неприменимость адесь принципа суперпозиции, который составлял важное свойство линейных систем, в 4.2. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации причем при вычислении д (411) можно ограничиться интегрированием на четверти периода, учетверив результат, а именно о= — ) г (ав)пф) в1п фг(ф 4 Г о (4.19) Для петлевой нелинейности г(х) (нечетно-симметричной) будет иметь место полное выражение (4.10) г' (х) = ~д (а) + ~~ р|х, (4.20) причем можно пользоваться формулами д = — ) г'(аз(пор) ып фдфо 2 1 о д' = — „~Г (ав1пф) сов фглР, о (4.21) т.

с. удвоением результата интегрирования на полупер иоде. П р им е р 1. Исследуем кубическую нелинейность (рнс. 4.4, а): Г(х) = й~х + йохо, о/а г+ юм,) о т' )' т г 4 (4.22) о' = О, Проиллюстрируем вычисление коэффициентов гармонической линеарнзацни на нескольких примерах: сначала для симметричных колебаний, а затем для несимметричных. Предварительно заметим, что если нечетно-симметричная нелинейность г'(х) однозначна, то, согласно (4.11) и (4.10), получаем д' = О, г" (х) = о(а) х, 3))висимость о(а) показана на рис. 4.4, б.

Из рис. 4.4, а видно, что при заданной амплитуде а прямая д(а)х осредняет криволинейную зависимость т'(х) на данном Ряс. 4.4. участке — а < х ( а. Естественно, что крутизна д(а) наклона этой осредняющей прямой д(а) х увеличивается с увеличением амплитуды а (для кубической характеристики это увеличение происходит по кзалратичиоиу закону). . зс лэ 4 В1 Рис. 4.5. Пример 2. Исследуем петлевую релейную характеристику (рис. 4.5, а). На рнс. 4.5, б представлена подынтегральнаи функция Р(а з1п $) для формул (4.21). Переключение реле имеет место при )х~ = Ь.

Поэтому в момент переключения величина ф определяется выражением зшф = Ь/а. По формулам (4.21) получаем (для а > Ь) Фз Д вЂ” ) ( — с) з)п ф дф + ) с э)п ф дф = — ~ ~ 1 — -„ о э~ та Л г) Г Г 1 аь д = — ( — с) соз ф байр+ с соз $ йр о эч (4.23) На рнс. 4.5, в изображены графики д(а) и о'(а).