Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988), страница 7

Определение последующих точек по заданным исходным на отрезке АВ и называется точечным преобразованием отрезка АВ самого в себя. Ввиду непрерывности Рвс. 3.5. расположения фазовых траекторий исходные и последующие точки заполняют весь отрезок. Однако кая«дая точка отрезка АВ не обязательно имеет последующую внутри этого отрезка. Фазовые траектории, пересекающие отреаок, могут п не возвращаться к нему. Возможен такой случай, что последующая точка у' совпадает с исходной О, т. е. Дз) =в =в*. Прн этом мы получаем замкнутую фазовую траекторию (рис. 3.5): предельный цикл ялв кривую, соответствующу»о особой точке типа «центр», н т.

п. Последнее выясняется из хода соседних фааовых траекторий. Случай (ЗА4) нааывается точечным преобразованием точки Д самой в себя. Это неподвижная точка в общем точечном преобразовании отрезка АВ. Изобразим графически функцию последования з'= = )(з) (рпс. 3.6). Проведем из начала координат наклонпую прямую под углом 45' (биссектрису координатного угла), Если она пересечется с кривой ~(з), то эта точка пересечения даст координату е* (рис. З.б) аамкнутой фазовой траектории.

Ход точечного преобразования прослеживается на этом графике следующим образом. Возьмем исходную точку е правее точки ее (рис. З.б). Точке е соответствует определенное значение е' (точка У) на кривой ~(е). Таким рв . З.В. %) (Злб) образом, мы нашли координату последующей точки. Теперь примем ее за новую исходную точку.

Для этого достаточно снести полученную точку )г' по гориаонтали )ЧМ (рис. 3.6) на биссектрису. Проведя далее ив точки М вертикаль МЕ, найдем значение координаты е' новой последующей точки и т. д. Из этого простого построения видно, что в данном случае процесс сходится к предельному циклу е*.

Воэьмем тепорь исходную точку е левее е* и точно тем иге способом проследим ход точечного преобравования, как покаэано стрелками на рис. 3.6. Очевидно, этот процесс тоже сходится к тому гке предельному циклу е*. Следовательно, здесь мы имеем устойчивый предельный цикл (автоколебания). Отсюда условие устойчивости лредельноео цикла имеет вид В противном случае, изобрагкенном на рис. 3.7, а (где стрелками показан ход точечного преобразования), получается неустойчивый предельный цикл. На других графиках рис.

3.7 показаны: б) случай двух предельных г7 г' г д г* вг а) ф г г) в) Рвс. 3.7. циклов, из которых один неустойчивый, а второй устойчивый; в) случай расходящихся колебаний; г) случай затухающих колебаний. Такого типа графики (рис. 3.6, 3.7) нааываются диаграгшаши точечного иргобрагования. Изобраягение хода точечного преобразования на такой диаграмме эквивалентно сопрягкению начальных и концевых условий соседних участков в методе прнпасовывання. Но производится это специальным и довольно простым геометрическим построением. Это будет видно нагляднее на примерах а 3.3.

з Основным в методе является нахоягдение функции последования г = 1(г) на основе решения уравнений динамики системы (3.12). Иайти зту функцию в явной форме не всегда легко. В болыпинстве случаев бывает легче представить фунф г=Г1,~ я'/ кцию последования в параметрической форме. гь~~ф Параметрическая форма точечного преобра- 1111 зевания в качестве па раметра содержит вре. мя т прохождения изо- 1 11111 бражающей точки по 1 11111 1 11111 фазовой траектории от г исходной точки '(рис.

3.5) до ее последующей Ч'. Через этот Р т) тг Т параметр т на основании решения урав- Рзс. ЗЯ. нений (3 12) выражаются координаты точек ч' и ~1, а именно г=Л(т), г =Ь(т). (3.16) Строится графики этих функций (рис. 3.8). Точка пересечения их дает координату г' = г = гч замкнутой фазовой траектории (предельного цикла), причем абсцисса этой точки определяет период Т соответствующих колебаний системы.

Условие устойчивости предельного цикла сохраняется в виде (3.15), но с дифференцированием г' и г по параметру т в (316). Иаображенный на рис. 3.8 случай соответствует устойчивому предельному циклу. Ход точечного преобразования на такой параметрической диаграмме прослеживается следующим образом. Берем некоторую исходную точку на кривой г (рис.

3.8). Перемещаемся по вертикали до кривой г', находя тем самым последующую точку при том же значении параметра т = т1 (это будет время движения изображающей точки по фазовой траектории от ~ до у' на рис. 3.5). Затем найденную последующую точку принимаем за новую исходную, для чего по горизонтали (рис. 3.8) переносим ее / на кривую е. После этого переходим снова на кривую г уже при новом зиаченнк т = тз и т. д. Весь ход точечного преобразования нокаэан на ряс. 3.8 стрелками.

е) Рзс. 3.9. Рис. 3.9 иллюстрирует параметрические диаграммы точечного преобразовання для тех же четырех случаев, что и на рис. 3.7. з 3.3. 11римеры точечного преобразования В качестве первого примера рассмотрим ту л~е систему, что н при разборе метода припасовывапия ($ 3.1). Уравнения объекта и регулятора имеют вид (Т~р+ 1)х = — 7г,хи рх, = Г(х), где Р(х) — гистереэисная релейная характеристика (рис. ЗЛО).

Эту систему уравнений перепишем в виде Т, — ~+ у =- — йгг(х)„— = у. (ЗЛ7) На фаэовой плоскости (х, у) нанесем линии переключения, соответствугощне заданной нелинейной харантеристггке (рис. 3.10): х= Ь при у ) О, х = — Ь приу (О.Это (э7 будут полупрямые Пе и П1 ,(рис. ЗЛ1). Ввиду нечетной симметрии характеристики г'(х) можно рассматривать только участок фаэовой траектории ~1ф, идущий от полупрямой П, до Пп так как закон возвращения -Ю этой траектории к линии Пэ будет аналогичен. Таким обра- Рис. 3.10. эом, будем рассматривать точечное преобразование полупрямой Пе в полупрямую П~ (а не саму Пэ в себя, как ранее). При этом исходная точка Ч имеет последующую Рь Пусть в точке ч будет г = О, а в точке ф обозначим г = т. На участке фаэовой траектории Дф имеем Р(х) = = с.

Поэтому уравнения (3.17) принимают вид Т вЂ” + у= — йс — = у. эу ех г лг " си Интегрирование их дает у = С,е-ят — й,с, (3. 18) х = — Т,С,е-пт — й,се+ С,. (ЗЛ9) Испольэуем здесь параметрический способ точечного преобраэовапия. Обоэиачпм ордпиаты точек (~ и ч1 череэ уэ и у~ соответственно. Закон точечного преобраэования будем искать в виде функций уе(т), у~(т).

При начальных условиях (точка ч) $ = О, х= Ь, у = уэ определяются произвольные постоянные в (ЗЛ8) и (3.19): С~ = ус+ йенс, Сэ —— Ь+ Т~(ус+ й,с), В точке Д( имеем 1 = т, х = — Ь, у = у(. Подставляя зти величины в уравнение (3.18), получаем уг = (уз+ й,с) е-т(т, й,с, (3.20) Ркс, 3.11. а подстановка в уравнение (3.19) дает — Ь = — Т, (У + й,с) е-'(т1 — й,сг + Ь + Т, (Уо + й,с). Из последнего уравнения непосредственно находим Ь ст — 2Ь (3.21) Т (1 — е е(т') Тогда из (3.20) с учетом (3.21) получим й ет — 2Ь ( е-е(~т -йс. Т (1 — е е(т') (3.22) 1 Формулы (3.21) и (3.22) и являются искомым законом точечного преобразования в нараметрачесной форме. Построим диаграмму (рпс. 3.12) точечного преобрааования в виде кривых уо(т) и у((т).

(Переменная у( берется по абсолютному значению, так как оиа отрицательна). Здесь в одном графике отралоено все протекание переходного процесса (обозначено стрелками) и периоди- ческое решение — точка пересечения кривых. При атом в переходном процессе найдены последовательные аиачения ординат рз и уп а также времеиа т дзшксния на Рис. 3.13. каждом участке, а в периодическом релшме — амплитуда у* и полупериод Т. На рис.

3.13 показаны точки образующей переходных колебаний, взятые из диаграммы точечных преобразова ний (рис. 3.12). Дальше эти точки соединяются экспонентами (ряс. 3.14) согласно уравнению (3.18). Таким образом, в виде единого простого геометрического построения здесь решается вся задача прппасовыванпя решений по Ркс. ЗЛ4. Ркс. 3.15. участкам для переменной р. Затем, имея длины участков ть тз, тз, ... и знал, что на границах участков х = ~Ь, легко по уравнению (3.19) построить также и кривую ореходного процесса для перемепвой х (рис.

3 15, где х* — амплитуда автоколебавпй). Аналогично получается и затухающий процесс (выше точки у*, рис. 3 12), В качестве второго прпмера возьмем ту дке систему (3.17), но с релейной характеристикой общего вида (рис. 3.16). Здесь на фазовой плоскости получаем четыре линии переключения (рис. 3.17). Ввиду нечетной симметрии характеристики е" (х) достаточно рассмотреть Рас. 3.16.

Рас. 3.17. участок фааовой траектории Щади идущий от линии Пс через П, до линни Пи При атом часть гддчдд фаэовой траектории будет прямолинейная, так как там е'(х) = О, и в силу (3.17) Иу 1 дх уд у= — —, +С,. (3.23) Т Итак, будем рассматривать точечное преобрааование полупрямои Пс в полупрямую Пд лри условии, что последующая точка (,дд находится на линии Пд. Но существуют фазовые траектории д,д 0дд,дд у которых последующая точка К находится не на линии Пм а на отрезке — Ьд ( л ( бь Следовательно, надо будет такгке рассмотреть точечное преобразование части полупрямой Пс н в этот отрезок. Начнем с первого случая (ЩДд).

На участке чдчдд, где г (х) = с, имеем решения уравнений (3.17) в.виде у С,е — Утд — 'л с, х = — ТдСде-дат — 7ддсГ + С,. (3.24) В силу начальных условий Ь = О, х = Ьп у = уе находим С~ — — ус+ У~с, Сэ = Ьэ+ Т~(ус+ К~с). В точке ф имеем: 1 = тп л — Ьп у = уа Поэтому из (3.24) получаем у = (у + загс) е-гдг — й с, Ьг — — — Т, (уо + й,с) с-т ~г — )сгстг + Ьэ + Т, (уо + йгс), откуда находим ьет +ь — ь т (1 -тпг) г ' г ь,ст +ь — ь у,= ' ' ' . 'е-"/т — йс. т, (1 — -'"') (3.25) (3.26) Используем далее уравнение (3.23) для участка траектории ~фэ.

С учетом начальных условий (3.27)' с=Ья $ = тп найдем произвольную постоянную ь1 С,— у,+ —,. 1 (3.28) В точке ~э имеем 1= т, х= — Ьп у = уэ. Поэтому из (3.23) получаем ь, + ь, Уэ = Уг+ т, (3.29) или, согласно (3.26), а,ст, + ь, — ь, ь +ьа (3.30) Мы получили параметрические выражения (через параметр т~) ординат исходной ус (3.25) н последующей уэ (3.30) точек. Это позволяет построить диаграмму точечного преобразования в параметрической форме (рис.

3.18) . Параметр т~ в данном случае обозначает не все время движения от ф до ~7э, а лишь время движения для траектории (Р(),). Рис. 838 хз = Тсу! + Ьс. (3.32)' Следовательно, для кансдойс точки кривой уо(тД, лежащей на диаграмме (рис. ЗЛ8) ниже точки уо берем на оси абсцисс значенпе ть Для него по формуле (3.26) вьгп|сляем уп а затем хз (3.32). Если при атом окажется (хз( « Ь„ то процесс заканчивается равновесным состоянием системы внутри зоны нечувствительности релейной характеристики.

Чтобы определить время для всей траектории Я>сук решим первое уравнение (3.17) на участке с)фз, где г (х) = О. Получим у= Се-пт. Из начальных условий (3.27) уо следует С =уе-сгт М а з точке ~1з ., е-ос-пут, уя ус о откуда ос 'г = тс + Тс 1п —, Уй' или, согласно (3.29), г, о= т,+ Т,1п 1+ ~с! зз! ~ (3.31) Зная из диаграммы (рис. ЗЛ8)' значения уз и т~ дал каждого шага точечного преобразоваиия, можем по формуле (3.31) подсчитать и время т для етого шага.