Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988), страница 3

для каждой изоклины охзЫт1 — — с. Поэтому уравнение .нзоклины, согласно (1.6),имеет вид ч (1.10) Следовательно, любая прямая хз = йих~ будет изоклиной с соответствующим значением постоянной с. Задаваясь определенной величиной й„(рис. 118), согласно (1.10) находим зм + зита с= з + Нанеся несколько изоклин и зная для каждой из иих крутизну наклона с пересекающих ее фазовых траекторий, можно уточнить всю картину фааовых траекторий. Случай равных вещественных корней: )1 — — 4. В атом случае получается вырожденный узел, устойчивый при ц, э ( О и неустойчивый прк Х1 э ) О (фазовые траектории показаны в координатах уь уэ на рис.

1.19,а, б), Рнс. !Л9, Случай комплексных корней ),ьэ. Переходный процесс — колебательный. Пусть Хьэ = арф. (1А1) Решения (1.7) принимают комплексный вид у, = С,е"'(совр!+ !в!яр!), уз = Сэе"' (сов р! — ! в!и р!). Введя новые переменные с помощью подстановни у1 = з1+ )зз, уэ = з, — !зэ, преобразуем решение к вещественной форме з, = Ае"'сов(~1-(- (), зэ —— Ае"' в!п(р!+ у), где А и ( — произвольные постоянные. Перейдем к по- парным координатам (г, <р). Тогда т ='т з«+ з', = Ае", а~ (1.12) М р= =МФ1+у) ! «Р=Р«+У+Йя й=О ~1 ~2 Эти выражения описывают логарифмическую спираль, изображенную на рис.

1.20,а для случая а(0 и на рис. 1.20, 6 для а ) О. а) Ркс. 120. В случае комплексных корней с отрицательной вещественной частью (рнс. 1.20,а) особая точка 0 называется точкой типа «устойчивый фокус». В случае комплексных корней с положительной вещественной частью (рис. 1.20, 6) особая точка 0 называется точкой типа «неустойчивый фокус». Для преобразования полученных фавовых портретов в исходную систему координат (хи хз) воспользуемся методом наоклин. Пусть, например, задана система х+ 2к+ бк= О, (1.13) Корни характеристического уравнения Лп з = — 1 ~ )2. Обозначив х=хь х=ха, приведем систему к виду Из Йз — '= х„— '= — 2х,— 5х,. а ю и (1.14) Дифференциальное уравнение фазовых траекторий Иу зФ вЂ” = — 2 — 5-.

~Ь„ '3' (1.15) Для иаоклины хз = й,х~ отсюда находим Ь с= — 2 — —. ~~и Возьмем четыре значени». з, = О, 1, оо, — 1; тогда с= — оо, — 7, — 2, 3. Соответствующие направления ка- Рвс. ь21. сательпых к фазовым траекториям показаны на рис. 1.21 стрелками. Ориентируясь по ним, вычерчиваем фазовые траектории. Одна из иих изображена на рис.

1.21. Как частный случай (1Л1), при а= О, т. е. для чисто мнимых корней Хи» = ~у~3, из (1.12) в полярных координатах на плоскости (ги гг) получаем г = А = = секес. Фазовые траектории имеют вид окружностей (рис. 1.22). При переходе к походным координатам Рас. 1.23. Рис. 1.22. (хи хг) получатся эллипсовидные замкнутые кривые '(рис. 1.23).

Это соответствует периоднчесннм во времени процессам. В случае чисто мнимых корней особая точка О (рис. 1.22 и 1.23) называется точкой типа чцентр». $1.4. Особые точки и фазовые портреты нелинейных систем Рассмотрим фазовые траектории нелинейной системы второго порядка — = Ф,(х, у), — „"= Ф»(х, у). (1,16) Особые точки, отвечающие равновесным состояниям системы, определяются из условия Ф~(х, у) = О, Фг(х, у) = О.

(117)' Для выявления типа каждой особой точки уравнения (1Л6) линеаризуются при малых отклонениях координат в окрестности особой точки. Затем определяются корня характеристического уравнения линеарязовапной системы, по которым, согласно 1 1.3, и устанавливается тнп особой точки, Проведем рассмотрение етого вопроса на примере. Пусть заданы уравнения нелинейной системы — = — х(1+ т») — 2у, зУ = х+ у. (1Л8) Уравнение фазовых траекторий имеет вид ду ъ+у — *(~ +.") — 2у' (1.19) Найдем особые точки согласно условиям (1Л7) х(1+ х»)+ 2у = О, х+ у = О, откуда получаем три решения: 1) х=О, у=О, 2) х=1, у= — 1, 8) х= — 1, у=1.

Характеристическое уравнение: 2 ~=)Р+ 1= 0 Корни ьь» = ~у — чисто мнимые. Следовательно, зто особая точка типа «центр». 2. В окрестности точки х = 1, у = — 1 вводим малые отклонения в коорднпатал ь = х — 1, т) = у + 1. Подставляя в уравнения (1Л8) х = в+1, у = и — 1 и отбрасывая нелинейные члены, получим линеаризованную систему —; = — 4$ — 2ть — „, = $+ Ч. лл Характеристическое уравнение имеет вид Следовательно, система имеет три возмо»нных равновесных состояния.

Исследуем характер особых точек. 1. В окрестности точки х = О, у = О линеариаованные уравнения имеют вид = — х — 2у»=х+у лу л» а» Корни характеристического уравнения З ГГ7 ),»= — — ~ 2 г 4 вещественны и имеют равные знаки. Следовательно, зто особая точка типа «седло». 3. Рассматривая линеаризованную систему в окрестности точки х = — 1, у = 1, подстановкой в уравнение (1.18) х = $ — 1, у = ц + 1 приходим к тому же уравнению, что и в предыдущем случае. Следовательно, адесь тоже особая точка типа «седло».

Найдем асимптоты фазовых траекторий з седловых точках. Полояскв») = = Ц, из уравнения фазовых траекторий Лп йч:Ч л» -4$-2~ получим — 4 — 2й' илн й/Р+бй+ 1 = О, откуда находим — 5 — г'Г7 й,= — 5+ 1/Г7 4 Рис. 1.24. На рис. 1.24 зти асимптоты показаны в окрестностях соответствующих особых точек. Точка же (О, О) типа «центр» должна быть окружена замкнутымк кривыми. Исхода из етого, па рвс. 1.28 нзобра»коп примерный ход фазовых траекторий па всей плоскости. Для определения напразлсивя движения изображающей точки по фазовым траекториям достаточно исследовать какую-либо одну точку. Возьмем, например, точку х= О, у = 1.

Согласно уразнениам (1.18) в атой точке имеем дх/«й = — 2, г(у/г)1 = 1, т. е. х иаменяется в сторону уменьшения, а у — в сторону увеличения. В соответствии с атим и поставлена стрелка на фазовой траекто- рни, проходящей через точку (О, 1), а так как система непрерывна, в ту же сторону будут направлены и все соседние фазовые траектории. Таким обрааом выясняется качественная картина фааовых траекторий. Отметим, что в данном примере ни одно иа трех возможных равновесных состояний системы не является устойчивым. Рвс.

1.25. Методом иаоклнн можно уточнить очертания фазовых траекторий. Уравнение паоклины, согласно (1.19), имеет внд =с, (1.20) — И+ ') — гк где с — крутнана наклона (Ирах) пересекающих нзоклину фааовых траекторий. Например, значению с = 1, т. е. углу наклона траекторий, равному 45', соответствует, согласно (1.20), нзоклина, описываемая уравнением у =- — — "(2+ х'). 3 Она проходит через все три особые точки (глтриховая линия на рис. 1.25).

В отличие от линейных систем, здесь изоклина криволинейная. Отметим теперь некоторые общие особенности процессов в нелинейных системах. Прежде всего, это возмож- в) Рвс. б26. ность наличия двух илн нескольких равновесных состояний (особых точек), как уже было видно на приведенном примере. В соответствии с этим на фазовой плоскости получаются области с различными типами фазовых траекторий.

На рис. 1.25, например, эти области разделены жирно обозначенными кривыми. Такие особые кривые, разделяющие области с равными типами фазовых траекторий, называются сепаратрис ни. Существуют и другого типа особые кривые. Важным типом особых кривых являются иредельные циклы— замкнутые кривые, соответствующие периодическим процессам, в окрестности которых имеют место колебательные переходные процессы.

Если эти фазовые траектории а) Рис. 1.27. изнутри и снаружи сходятся к данному предельному циклу (рис. 1.26, а), то мы имеем устойчивый предельный цикл, Если же они удаляются в обе стороны (рис. 1.26, б),— неустойчивый предельный цикл. Возможен и случай двух предельных циклов (рис. 1.26,в), из которых один устойчивый (в данном случае внешний), а второй неустойчивый. Особая точка О на рпс. 1.26 представляет собой в первом случае неустойчивое равновесное состояние, а во втором и третьем — устойчивое.

1(артина процессов во времени, соответству1ощая рис. 1.26,а,б, иаображена на рис. 1.27,а,б. Физический смысл устойчивого периодического процесса, отвечающего предельному циклу,— автоколебанил системы. Это собственные периодические колебания, происходнщие при отсутствии внешнего периодического воздействия, причем амплитуда н частота автоколебаний не зависит от начальных условий, а определяется внутренними свойствами системы. Лвтоколебанпя могут возникать только в нелинейных системах, с1то же касается линейных систем, то в пих собственные периодические колебания возможны только на границе устойчивости (Х~,«= ~1«»), причем амплитуда их определяется начальными условиями (см.

Рис. 1.23). Физический смысл неустойчивого предельного цикла совсем иной. Как видно ив рис. 1.26, б, неустойчивый предельный цикл — зто враница областей начальных условий. При начальных условиях х(1«), у(8«), лежащих внутри неустойчивого предельного цикла, получается затухающий переходный процесс, если л«е опи лежат снаружи — расходящийся. Следовательно, равновесное состояние О в данном случае устойчиво при небольших начальных отклонениях, а при больших — система неустойчива.

Говорят: спстема устойчива «в малом» н неустойчива «в большом». 3десь важно отметить, что, в отличие от линейных систем, типы динамических процессов нелинейных систем могут существенно зависеть от начальных условий. Интересно далее отметить, что в первом случае (рис. 1.26,а) единственным устойчивым установившимся состоянием системы является автоколебательный режим. Во втором случае (рис. 1.26,б) — равновесное состояние О. В третьем же случае система имеет два устойчивых установившихся состояния: равновесное О, и автоколебания с большой амплитудой (внешний предельный цикл). Какой из них установится, зависит от начальных условий.

В первом случае говорят, что имеет место «мнгкое возбуждение» автоколебаний (т. е. при любых начальных условиях), а в третьем случае — «н<есткое возбуждение» автоколебаний, так как, чтобы система вышла па них, необходимо начальные условия «забросить» за пределы внутреннего пеустойчивого предельного цикла. Все зто будет проиллюстрировано в последующих главах на примерах систем автоматического регулирования.