Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления (1988), страница 11

(452)' Уравнение (4.51) определяет искомые амплитуду а и частоту ю периодического решения. Это уравнение решается графически следующим образом. На комплексной плоскости (П, У) зычерчивается ' амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части И»„(уы) (рис. 4.22), а также обратная амплитудно-фазовая характеристика нелинейности с обратным знаком — 1/И»„(а) . Точка В их пересечения (рас. 4.22) и определяет величины и и ю, причем значение а отсчитывается по кривой — 1/И»„(а), а аначевие ю — по кривой И»,()ю), Вместо этого можно пользоваться двумя скалярными уравнениями, вытекающими на (4.51) н (4.52): ( И'л (!го) ) =, (4.53) 'г' а'( )+ !т'( ))з агп Р)'„()го) = — 180' — агс(а ~ ), (4.54) д (а) ' которые также определяют две искомые велпчипы а в оь Последними двумя уравнеппямп удобнее пользоваться в логарифмвческом масштабе, привлекая логарифмпческне частотные харвктерпстиви линейной части.

Тогда вместо (4.53) и (4.54) будем иметь следующие два урав- ЖОМ пения: о' ?лп,(ю) = = — 2018 ф'дз (а) + (д' (а))г (4,55) г Й(,(л го (со) = — 180 — агс(к— Д (а) д(ю ' Рлс. 4.22. (4.56) На рнс. 4.23 слева изображены графики левых частей уравнений (4.55) н (4.56), а справа — правых частей этих уравнений. При агом по осп абсцисс слева часмл та го откладывается, как обычно, в логарифмическ гв масштабе, а справа — амплитуда а в натуральном масштабе. Решением этих уравпеной будут такие значения а и го, чтобы при ннх одновременно соблюдались оба равенства: (4.55) н (4.56) .

Такое решение показано на рвс. 4,23 тонкими линиями в виде прямоугольника. Очевидно, что сразу угадать это решение не удасгсз. Повтому делаются попытки, показанные штриховыми линиямн. Последние точки этих пробных прямоугольников М и М~ не попадают на фазовую характеристику нелинейности. Но если они расположены по обе стороны характеристики, как на рис. 4.23, то решение находится интерполяцией — путем проведения прямой ММь Нахождение периодического решения упрощается в случае однозначной нелинейности Р(х). Тогда о' = 0 и уравнения (4.55) и (4.56) принимают еид Ьш„(ге) =- — 20)ц д(а), гр„(гс) = — 180'.

(4.57) Решение показано на рис. 4.24. реп 4.23. Рлс. 4.24. После определения периодического решения надо исследовать его устойчивость, Как уже говорилось, перно- дическое решение имеет место в случае, котла амплитупно-фавовая характеристика разомкнутой цепи РУ(/гз, а) = тр„(/гз) )У,(а) ! ту,(/ге)И'.(а+ +ба)! (1 при Ла ) О, или т !)Ул()ю))(( ьу ~ + Рве. 4 25 Отсюда следует, что яа рцс. 4.22 положительный отсчет амплитуды а вдоль кривой — 1/И'.(а) дол|кон быть направлен изнутри вовне через кривую тУ„(/ы), как там и показано стрелков.

Б противном случае периодическое решение неустойчиво. Рассмотрим примеры. Пусть а следящей системе (рпс. 4.13, а) усилитель имеет релейную характеристику (рис. 4.17, а). На рнс. 4.17, б для нее показан график ковффицнента гармонической линеаризации ц(а), причем й'(а) = О.

Для определения периодического решения частотным способом, согласно рпс. 4.22, надо исследовать вырангение 1 1 Й~а) д (а) проходит через точку — 1. Дедки амплитуде отклонение йа. Система будет возвращаться к периодическому решению, если прн Ла ) О колебания затухают, а прп Ла ( Π— расходятся. Следовательно, прн Ьа ) О характеристика РУ(~ге,а) должна деформироваться У (рис. 4.25) так, чтобы йри Ьа ) О критерий устойчивости Найквиста соблюдался, а при Ла ( Π— нарушался. Аа< Итак требуется, что- бы на данной частоте ге было Иэ формулы (4.24) получаем для данной нелинейности ла 4с) ба~ — Ьа График этой функции иэображен на рис.

4.26. Передаточная функцнл линейной части, согласно примеру 1 а 4.3, имеет вид Ь б (б' б + т)(Т б + 1) хЬ сс ~а() Ь Ь или 1 л -„б,б .лЬ )у„~а) 4с б 4с ' Амплитудно-фаэовая характеристика для нее приведена на рис. 4.27. Функцияже — 1/И'с(а), являясь в данном случае вещественной (рис. 4.26), укладывается вся на отрица- лба тельной части вещественной б Ь т оси (рис.

4.27). При атом на )) л участке иаменения амплитуды Ь<а«Ь):2 амплитуда отсчитывается слева иевне внутрь Ь кривой И',()ю), а на участке а > Ь)' 2 — в обратную сторону. Следовательно, первая точка пересечения (а,) дает неустойчивое периодическое решение, Риа 4М. а вторая (аа) — устойчивое (ав- токолебания). Это согласуется с прежним решением (пример 2 $4.3). Рассмотрим также случай истлевай характеристики реле (ряс.

4.28, а) в той же следящей системе (рпс. 4.13, а). Амплитудно-фаэовая частотная характеристика линейной части та же (рис. 4.28, 6). Выражение же для кривой — 1/И' (а), согласно (4.52) и (4.23), при- нимает вид Это — прямая, параллельная оси абсцисс (рпс. 4.28, б), с отсчетом амплитуды а справа налево. Пересечение дает устойчивое периодическое рснхенпе (автоколебания). Чтобы получить графпкн зависимости амплитуды и час- Рнс. 4,зт.

Ркс. 423. готы ог к, представленные на рнс. 4.20, нунозо на рнс. 4.28 построить серою кривых И'„()ы) для каждой величины Й„н найти в их точках пересечения с прямой — 1/)т'„(а) соответствуюгцне знвчсииа а и го, 5 4.5. Е1есимметричные автоколебания. Постоянные ошибки Обратимся к нелинейной системе с внешним воздействием Д~) (рис. 4.29). Тогда уравнение динамики замкнутой системы будет иметь вид Я(р) л+ Щр) Цх) = Я(р)Д~), (458) где операторный многочлен Б(р) аависнт от места приложения внешнего воадействия. Полоя1им правую часть уравнения (4.58) постоянной: Я(р)Д~) = Сь (4.59) и Зто может быть в двух случаях: а) Щ = сопят = ~з, С~ —— , = Б(0) га, б) (Я = го+с~ при Б(р) = =рЮ,(р), С,=сБ~(0), т.

е. Рис. 4.29. соответственно для систем без астатизма и с астатизмом, Итак, рассмотрим уравнение системы в виде Яр) л + Л(р) г (х) = Сь В атом случае аа счет постоянной правой части уравнения появится постоянная составляющая в периодическом решении (несимметричные автоколебания). Поэтому решение ищется в виде л=хз+яе, и* =азшюй (4.61) Величина ао характериаует постоянную статическую или скоростную ошибку системы.

Однако несимметричные колебания могут иметь место и при отсутствии внешнего воздействия, т. е. в системе ч(р)*+ В(р)Р(~) = О, (4.62) если г'(я) — несимметричная нслвнейность. Зто проиллюстрировано на рис. 4.30, где постоянная составляющая гз на выходе нелинейности возникает даже при симметричном входе х = аз1п ай Затем постоянная сосгавляю- щая, вообще говоря, пройдет и на вход х через линейную часть системы я приведет к решению вида (4.61). Следовательно, статическая ошибка в нелинейной системе может иметь место и беа внешнего воадействня — за счет несимметрии нелинейности.

и51п(а Рве. 4.30. Гармоническая лпнеарпзацпя в случае несиммегрнчньгх колебаний имеет впд (4.15), г. е. гг (х) = Го (х", а) + ~д (е, хо) -(- Ч ' * р~ х*, (4 63) где ха — постоянная составляющая (4.16), с и и' — коэффициенты гармонической лннеарвзацви (4.17).

Их вычисление покааано в примерах 6 — 10 $ 4.2, Подставим искомое решение (4.61) и реаультат гармонической ливеаривацви нелинейности (4.63) в заданное уравнение системы (4.60): ~',1(р)(х + ) + гг(ф'+(д+ ~ р~х'"~ = С. Выделим отсюда уравнение для постоянных составляюших: 0 0 ха+ е( 0 Гз(хз, а) = Ср (4.64) () () и уравнение для периодических составляющих: )Д(р)+ Л(р) [у(а, хо) + Ч( ' ) р1~х* — 0 (4 65) Видно, что настоянная составляющая (х') и колебательная (а, ю) определяются не в отдельности, а только путем совместного решения зтнх уравнений.

Сначала из алгебраического уравнения (4.64) можно определить аавпспмость хо о(а) (4.66) Затем подставить зту зависимость в выражении д(а, хз) и д'(а, хз), имеющиеся для заданной нелинейности. Тогда получатся новые выраженпя и графини для д(а) и д'(а), включающие зависимость (4.66). В результате уравнение (4.65) приводится к виду (4.38). Методика решения задачи по определениюа и ы остается прежней (з 4.3 или т 4.4), но с новыми выражениями и графпкамп для Ч(а) и ч (а).

Заметим, что определение функции (4.66) упрощается в двух случаях, а именно: а) прн несимметричной нелинейности и беа внешнего воздействии вместо (4.64) имеем ч (0)хо+ н(0)Рз(хз а) О б) при наличии нулевого полюса в передаточной функции линейной части, когда Д(р) = рР1(р), вместо (4.64) в общем случае получим В(0)Р'(хз, а) = Си а беа внешнего воадействпя, при несимметричной нелинейности Ро(хо, а) = О. Например, при несимметричной нелинейности вида рис. 4.12, а в системе со свойством 0(р) = рР~(р), согласно примеру 10 з 4.2, получпм Этим определяется зависимость между величиной смещения хо н амплитудой а, после чего используется уравнение (4.65).

Определение иа уравнения (4.65) периодической составляющей х*, т. е. величин а и ес, упрощается в случае однозначной нечетно-симметричной нелинейности г'(х). В атом случае, согласно (4.65), характеристическое уравнение получает вид ч(с) +7((Х)~~(а то) =0 (4.67) а после подстановки ) =)со аналогично (4.40а) придем к уравнениям Х, (со) д(а о) Хв (со)' Хо(со) Уо(со) — Уо(со)Хо(со) = О. Сравнив зтп уравнения с (4.40а), получаем с7(а, хо) = д,(а,), (4.68) где с7„(а,) относится к симметричпьпс автоколебаниям в той же системе, определяемым согласно з 4.3. Сделав подстановку (4.66), будем иметь уравнение а (а) = с7, (а,), (4.69) где с((а) — новое выражение или график, учитывающий зависимость (4.66) .