Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ, страница 14

Вырагкденнан матрица А: ° не имеет обратной А '; ° пиющивает абьемы (да нуля); ° любые п линейно независимых векторов леревадит в линейно зависимые векторы; ° имеет (вбязательна) линейно зависимые вектор-строки и линейно завиеииые вектор-стслбцы; Объем этого параллелепипеда назовем коэффициентам искаэкения абьема матрицы А, и обозначим б(А).

С тем же коэффициентом искажения объема происходит преобразование йк«бого тела й. Действительно, 1«можно разбить на Ф мелких кубиков (со стороной е и объемом е"), и тем самым сколь угодно точно приблизить объем й величиной «1Г е". Каждый кубик под действием матрицы А перейдет в параллелепипед объема б(А) е". Поэтому ясно, чта матрица А искалсает обеем любого тела в б(А) раз. Коэффициент искажения объема с точностью до знака равен детерминанту дег А, определяемому как 84 Глава 4.

Функции и переменных ° приводит к уравнению Ах = Ь, которое не решаемая нри Ь ~ О, а нри Ь = О— имеет бесконечно мною решений. Вообще Ах = О представляет собой и равенств Апи х = О, где АЮ— 1-я вектор-строка. Каждое уравнение А!,! ° х = О описывает (и — !)-мерную плоскость с вектором нормали А!,!. Когда плоскости (нормали) находятся, как говорят, а ситуации общею нололсенин, что определяется условием де! А ~ О, то они пересекаются в единственной точке (в нуле). Если плоскости сдвигаются (параллельно самим себе), А!!! х = Ьг, то факт пересечения в единственной точке остается, откуда следует существование и единственность решения Ах = Ь при любом Ь. 4.11. Эквивалентные нормы Норма может определяться не только как )!х)! = Дх, х). Вообще нормой вектора х б Вн называют положительное число ))х)), удовлетворяющее следующим требованиям: 1.

))х)) =б «=ь х = О; 2. !)х + у)! < !)х)! + )!у)) (неравенство треугольника); 3. ))ах)) = )а) !)х)) для любого а б ( — оо, оо). Всякая норма порождает метрику р(х, у) = ))х — у!!. Помимо евклидовой нормы часто используются еще две нормы: !)х!(га = шах (х!) и !)х((! = ,'у !хг!. !ЬЦ В плоском случае единичные шары для этих норм, )(х((га < 1 (квадрат) и ))х!)! < 1 (ромб), изображены на рис.

4.5. Норма однозначно определяется указанием единичного шара, в качестве которого может быть «назначено» любое выпуклое центрально-симметричное тело. Многообразие норм обеспечивает удобства. Выбор нормы «под задачу», как правило, существенно облегчает решение.

Основу свободного манипулирования нормами дает следующее утверждение. 85 4.11. Эквивалентные нормы 4.11.1. В Вп все нормы эквивалентны (с точки зрения сходиыости), т.е. длялюбыхдвухнорм (! (!1, (! !!т мозкно указать такиеконстанты а и,у, что )!х))1 ~ (гт)(х!(2 ((х))т ~ ()з()х!)! нри любом х б лтп. м Для доказательства уместно вспомнить, что норма однозначно определяется заданием единичного шара. Функция !р(х) = !!х!!! на множестве !!х!!з = 1 достигает своих минимального (у > О) и максимального (б > О) значений'е!.

Поэтому 7)!х)!з < !)х!!~ < б!!х!!! при любом х Е и". В силу 4.11.1 сходимость по одной норме эквивалентна сходи- мости по любой другой норме (речь только об лап!). Поэтому для решаемой задачи можно выбирать наиболее подходящую норму без всяких предосторожностей. Нормой матрацы А называют положительное число !!А!!, удовлетворяющее тем же самым условиям 1-3, если в них векторы заменить на матрицы. Поскольку матрицы — зто по существу линейные операторы в и", дополнительно необходимо согласование норм векторов и матриц, чтобы бьша возможность оценки обраюв Ах.

Норма матрицы !!А!! называется соеласааанпай с нормой вектора !!х!!, если для любых А и х !!Ах(! < !!А)! . (!х!!, и для любых матриц А и В выполняется неравенство !!АВ!! < !!А!! !!В!!. Чтобы неравенство !!Ах!!<!!А)! !!х!! давало хорошую оценку, онодпюкно быть неулучшаемо. Это мотивирует выделение в самостоятельное понятие подчиненной нормы матрицы: !!А)! = шах !!Ах!!. )!ьз=! Нормам !! ° !!ы и !! !!! подчинены, соответственно, и !!А!! = шах ~ !а!.! (страчпая норма), ! з=1 !!А!!! = шах ~ !и! ! (сталбцааая норма). ! с=! Евклидовой норме подчинена так называемая спектральная норма матрицы, равная квадратному корню из максимального модуля собственного числа матрицы А А.

С вычислительной точки зрения это не совсем удобно — поэтому т ! 1 В бесконечномерных пространствах зто не так. Глава 4. Функции гз переменных 86 в «евклидовом случае» чапе используют согласованную норму !!А!! = 1/Я а;~, где суммирование идет по всем г„у. Если !!х!! — некоторая норма, а М вЂ” невырожденная матрица, то !!х!!м = !!М 'х!! — также норма. 1. Норма матрицы, подчиненная норме !(х!(и, определяется влк !)А!(и = !!М ~АМ!!. 2. В случае М = 4!ай(ры..., р„), р< > О, !!А!! м — — птах — ~~~, ру!щ;!, 1 г р~ 1 !!А(!гм = гпах рг ~~ — !он!. 1 !!х!!мм —— шах — !хг(, г рч 1 !!х!!~м — — ~ — )х; !, гьм 4.12.

ПрвзнЦйзп сжзлмаиу1Цизг Отображюнйй Ряд принципиальных математических проблем сводится к разрешимости уравнения х = /(х) (х б Х). (4.14) Точку х', удовлетворяющую (4.14) называют ненодвиасной точкой оператора /. Пару (Х, р), где р(х, р) = !!х — р!), называют нолным метрическим нргютранством, если любая последовательность Коши сходится. Другими словами, (Х, р) полно, если из р(х„, хм) -ь О вьпекает сушествование предела у последовательности х„.

4.12.2. Всякое сзкимающее отобразкение /, действующее в полном метрическом нространстве, имеет ненодвижную точку х', которая единственна. Последователь- ные нрибвижения х" +' = /(х ) сходятся к х' независимо от хь. Доказательство несложно. Покажем, что любая последовательность хь, определяемая итерационной процедурой х +' = /(х"), является последователь- ностью Коши.

Очевидно, !!х" — х"!! < !!х" — /(х )!!+ (!/(х") — /(х )!!+ !!/(х") — х"!!, 4.12.1. Отобрамсение /, действующее в метрическом нространстве (Х,р), называется слсимающим (слсатием), если существует такое Л < 1, что р(/(х) /(р)) < Лр(х, р) для любых х, р Е Х. (4.15) 4.13. Неподвижные точки раарывнык операторов 87 т.е.

!!х" — х !! < !!уг(х")(~+ Л!!х" — х~!1+ !!гр(х )!1, где уг(х) = р(х 1(х)) Следовательно, 1М" — х !!< -+О (п,п)-+оо). р(Хп) + уг(Хы) 1 — Л Здесь мы воспользовались тем, что уг(х) на любой последовательности хь+' = 1(хь) убывает ло нуля, поскольку р(х +') 4 Л!а(х ), что вытекает из (4.15). Остается заметить, что пространство (Х, р) полно. Поэтому хь -+ х'.

В силу (4.15) оператор 1 непрерывен. Следовательно, х* = 1(х'). Двух неподвижных точек быть не может, благодаря тому же неравенству (4.15). Замечание. Принцип сжимающих отображений 4.12.2 остается в силе, если метрика р(х, у) определяется не обязательно с помощью нормы. 4.13. Неподвижные точки разрывных операторов Оператор 1(х) = (11(х),..., 1„(х)), лействуюший в й", 'называют монотонным, если все 1,(хн..., х„) монотонно возрастают (по каждой координате хг).

Вообще говоря, монотонность определяется более универсальным способом на базе полу- упорядоченности. Последнюю удобно вводить с помощью конусной идеологии. Замкнутое выпуклое миагкггтва К С 21" иаэываетгя каиусам, если х б К, х )ь О влечет эа собой -х к К и ах б К при а > О. Простейший пример конуса— неотрипательный ортант К" (множество точек х б 12" с неотрицательными координатами). Конус К позволяет ввести палуупарлдочеииасть: х > у, если х — у б К. Монотонность 1(х) теперь означает, что 1(х) > 1(у), если х > у. Запись х > й интерпретируется как х > у, где у — любой элемент из множества й.

При этом х считается верхней гранью й. В случае К = К~+ любое ограниченное множество й имеет точную верхнюю грань н) эир й. 4.13.1. Принцип Бир!!тофа — Тарского. Если маиатаииыв оператор 1 отабрагхает в себя иекоторог аграиичвииов замкнутое миоигество М, и существует точка хв б М, которая идет вперед, т. г. 1(хс) > хю то у 1 па М существует ивподвиигиая точка х', 1(х*) = х . Уникальность этого результата заключается в том, что непрерывность 1 не предполагается (1) — хотя, казалось бы, возможность переопределения 1(х) в любых точках (коль разрывы допускаются) позволяет ликвидировать все решения уравнения 1(х) = х. Однако нельзя нарушать монотонность 1(х) — и это меняет дело. и) То есть наименьшую точную грань.

Другими словамн, если и > й, то й < юр й < и. 88 Глава 4. Функции и переменных Докаэагельспю. Обозначим через й множеспю тех элементов х Е М, которые идут вперед, т. е. у (х) > х. В силу г(хэ) > хэ множество й не пусто. В наиболее распространенном случае К = Д~ неподвижной точкой будет а = зцр П.

Действительно, из л > х (х б П) и монотонности Г' следует Г(а) > у(х) > х. Это говорит о том, что Да) — одна из верхних граней П. Но тогда у(а) > а (посколысу л — наименьшая верхняя грань), а значит л б й. С другой стороны, в силу монотонности у, У(а) > л =ь У(г(а)) > г(з), что нлечет за собой г(х) е Гг, но тогда г(а) < а. два противоположных неравенства дают у(а) = а. Для произвольного конуса К доказательство ненамного сложнее, но там приходится ссылаться на так называемую лемму церна 'П, которая опосредованно гарантирует существование в Гг максимального элемента, т. е, такого элемента х' Е й, что х ф х' дая любого х Е й, х ~ х*. Если такой элемент х' Е й существует, то у (х') Е й в силу у(у (х')) > у (х'), но тогда из максимальности х' вытекает Г(х') = х'. м 4.14.

Дифференцирование оператора Оглядываясь назад, можно отметить, что дифференцируемость до сих пор сводилась к возможности линейной аппроксимации гз,г = А Ьх+ о(йсгхй) (4.16) приращения функции ) (х) в окрестности рассматриваемой точки. В одномерном случае А было численным коэффициентом, равным у'(х). Для функции и переменных внешне все осталось тем же самым.