Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ, страница 13

ТЕОрЕМа. Если функция и = /(хм..., х„) имеет в области Х нгпргрывныг првизвадныг да ш-го порядка включительна, та любая гп-я смешанная производная д в Вх~ ' ...Вх~" ив зависит ат порядка дифференцирования. (ш) Если говорить о дифференциалах высших порядков, то идеологически нового здесь ничего нет. Дифференциал от дифференциала дает второй дифференциал: д У=д(ВУ) =д~Š— дх!) =Ед~ — ) дхг, '!, . Вх; '.У' . ~В,.У' "=~-'-В "'"~-В д В'|, д'г \ Вх,' ' ..

Вх;Вхт 'г' ' Обвгая формула такова: дх, ' ... Вх~" где суммирование а ведется по всем ш, +... + гп„= гп. Соответственно, разложение Тэйлора получается таким: ь В" чго в самостоятельном доказательстве не нуждается, поскольку может быть получено разложением Тэйлора в нуле функции. одной переменной р(т) = г(х+ т Щ, где !лх = тххи. 4.7. г1задиент Калгаая область нуждается в подходящих категориях мышления.

изучение функ'ций большого числа переменных на базе скрупулезного покоординатного описания — это рытье котлована зубочисткой. Внутреннюю жизнь пространства и измерений определяют укрупненные понятия, разглядывание которых под микроскопом не позволяет видеть панораму. С координатных представлений можно начинать, но затем надо подниматься на уровень укрупненного манипулирования. Одним из инструментов следующего уровня является как раз градиент. Производная функции и = )(х, и) вдоль направления единичного вектора в = (в„ву) равна и, = пв — — — Д(х + Ввк, у + Вву) = — вх + — ву.

(4.9) дх * дв 78 Глава 4. Функции п переменных Вектор называют градиентом функции 7'. Для градиента используют так- же обозначение ~77' (читается «набла зф»), Из (4.9) следует, что производную по направлению в можно записать как скалярное произведение и', = в ° 8габ7'. (4.10) Максимум (410), в силу в 8гао7' = сову. ййгабД, достигается, когда <р = 0 (т. е. единичный вектор в совпадает по направлению с градиен- У агаа 7 том) и равен, соответственно, ))~7Д. Таким образом, градиент ~77 — это вектор скорости максимального роста функции 7.

Следовательно, в каждой точке поверхности 7(х,у) = = сопят градиент 17у перпендикулярен этой поверхРис. 4.3 ности (направлен по нормали). Таким образом, касательная плоскость — проходящая через точку (хо, уо) — к линиям постоянного уровня функции и = 7(х, у), описывается уравнением (на рис. 4.3 это пунктирная прямая) д7 д7 — (х — хо) + — (у — уо) = О. дх ду Если интерес представляет касательная плоскость к поверхности графика функции и = 7(х, у), то это сводится к предыдущему случаю рассмотрением функции о = и — 7(х, у) трех переменных.

Ее градиент Поэтому касательная плоскость к поверхности и = 7"(х, у) в точке (ио,хо„ уо) определяется уравнением ду дУ и — ио = — (х — хо) + — (у — уо). дх ду 4.9. Векторнозначные функции 79 Отталкиваясь от двумерного случая, легко записать касательные плоскости в общем случае и = ~(х), х Е В". Причем, по упомянутым в начале раздела причинам, делать это надо в векторных обозначениях. Уравнение касательной плоскости в В" к поверхности постоянного уровня в точке хе.' Уравнение касательной плоскости в Я"+1 к поверхности графика и =,)(х) в точке (ие, хе), ие = ~(хе): Для обживания территории зт" очень полезно переписать формулы предыдущего раздела в векторном виде.

Например, формула конечного приращения в векторных обозначениях приобретает вид Ьн = ~7У(х). Ьх+ оЩЬх0). 4.8. Теорема о среднем Применение теоремы Лагранжа 3.6.3 к функции скалярного аргумента х(т) = у(х+ т(у — х)) дает 1О(1) — р(0) = р'(д) = ,'1 (у; — х;) = Чу(ю) ° (у — х), дУ(к) дх; 1 где л = х+ д(у — х) при некотором д Е (О, 1). Таким образом, 4.9. Векторнозначные функции Довольно часто в приложениях приходится рассматривать совокупности функций у1 = Л(Х1 . Хк) (4.11) во Глава 4. Функции и переменных которые вектору х = (хп..., Хп) сопоставляют вектор у (уп...,уп). Примером может служить частица, имеющая скорость у = (уп у2 уэ) функционально зависящую от положения Х = (Хп Х2, Хз).

Громоздкое описание (4.11) обычно заменяют на и говорят, что оператор Г отображает х в у, называя Г' также отображением или функцией, и считая х и у векторами одного и того же пространства й) Вп. Замена «длинной простыни» (4.11) коротким описанием у =,) (х) — очень важный шаг, характерный для математики вообще. Внешняя сторона дела здесь сводится к стенографическому трюку — и говорить вроде бы не о чем. Ио главное заключается не в том, что экономится место и перестает рябить в глазах от формул. Главное в там, что возникает новая категория мышления, а для этого— помимо декларации на бумаге — должно «щелкнуть в голове», что само по себе не происходит. Требуются известные усилия — иначе не получается.

Сколько про матрицы ни читай — нузкно время, чтобы они (матрицы) начали восприниматься как нечто структурно единое. И это, кстати, нормально. Инстинкт не дает ходу скороспелым абстракциям. Иначе голова окажется полна обобщениями, которые цитрамоном не лечатся. Что касается теории пределов и непрерывности таких векторнозначных функций Г', то в обычных определениях модули меняются на нормы — вот и вся разница.

Об этом уже говорилось в разделе 4.4, но там соответствующая замена происходила лишь наполовину, поскольку функция векторного аргумента сама оставалась скалярной. Теперь метаморфоза полная. Для иллюстрации приведем две дефиниции. 4.9.1. ОПрЕдЕЛЕНИЕ. Вектор А называется пределам отобропсяппя р: д"-+ лх" прп а стремящемся к а (т.

е. 7(х) -+ А пря к -ь а), если по любому е > 0 З Несмотря на то, что переменные я, у имеют обычно разный физический смысл, их монне считать векторами олното пространства в рамках обшей системы измерений. 4.10, Линейный анализ 81 мохсно указать такое б, что ~~7(х) — А!~ < е, если !!х — а() < б.

4.9.2. ОПрЕдЕЛЕНИЕ. Оператор у: гг" -Ь 22" называют непрерывным в точке х = а, ес«и но любому е > О мозкно указать такое б, что (ц(х) — з(а))) < е, если Ох — аО < б, Н ненрерывнын на мнозкестве Х, если он непрерывен в любой точке Х. 4.10. Линейный анализ Линейная функция (скалярная) у = а х = а1х1+ ... + апх„ принимает постоянные значения а х = )э на «плоскостях» паралдельных плоскости а х = О. Действительно, из а п=,з, а о=)г следует а (а-х) = О, Рис.

4.4 т.е. вектор н — о параллелен плоскости а. х = 0 (рис.4.4). Такие «плоскости» называют гиперплоскостямиэ), чтобы подчеркнуть, что они не являются линейными пространствами, которым положено вместе с векторами содержать их сумму. Другими словами, гиперплоскость — это плоскость, не проходящая через начало координат. Важную роль в анализе играет понятие линейного оператора, сопоставляющего вектору х = тхп..., хп) вектор у = (уы" Уп) по правилу: у1 = апхг+а1гхг+ .. +аьнхп, уг = аггх1 + аггХ2 + ° ° .

+ а2пХп Уп ап1х1 + ап2Х2 + . + аппхи ° з) А иногда — и просто плоскостями, допуская вольность терминологии. 82 Глава 4. Функции и переменных Таблицу коэффициентов А = ]а;1], ац а12 ... аг„ 921 О22 ° ° ° а2и а„г а„г ...аии называют мапгрицей, и коротко пишут у = Ах. Линейный оператор характеризуется двумя свойствами: АЛх = ЛАх, А(х+ у) = Ах+ Ау, которые в данном случае очевидны. Ниже приводятся некоторые сведения о матрицах, но надо иметь в виду, что знакомиться с этой кухней необходимо в рамках курса линейной алгебры.

Не потому, что там говорится нечто эксклюзивно дополнительное, а потому, что всему свое место. Умножение матрицы на скавяр у и сложение А = [а; ] и В = [Ьо] определяются так: уА = [уан], А+В = [во+ Ьу]. Перемножение А и В лает матрицу С = АВ с элементами п су = у ааЬьн (4.12) ь=1 Правило умножения матриц возникает автоматически, если на матрицы смотреть как на линейные операторы.

Вектор х под действием оператора В переходит в х = Вх, а вектор х под действием оператора А переходит в р = Ах. Результируюшее преобразование х в р определяется матрицей С = АВ с элементами су, формула вмчислення которых (4.12) определяется обыкновенным приведением подобных. Матрица Ат с элементами аг = ах называется триисиоиираиаииии к А. Обратиай к А называюгматрицу А ' такую, что А 'А=АА ' =1, где 1 — так называемая едииичиаи матрица, О1...О определяющая тождественное преобразование 1х и х.

Иногда используют обозначение 1 = 61аа(1,..., 1). Единичный куб, построенный на векторах (ребрах) е' = (1,0,...,0), е~ =(0,1,...,0), ..., е" = (О,о,...,п), 4,10. Линейный анализ 83 под действием матрицы (оператора) А = [а«г) переходит в параллелепипед, построенный на вектор-столбцах Ацг =:, ..., А1"1 = дег А = ~~(-1)«е ам1«1аг,ш... а 1„1, «(») (4.13) где «г = («г(1),..., «г(п)) пробегает множество и1 перестановок чисел (1,..., и), в 1(а) обозначает число транснипиций (перемен местами какой-либо пары чисел) во. Определения типа (4.13) разлрюкаог значительную часть населения, которая, безусловно, права в естественном стремлении к наглядности.

Если бы не знак, то определение детерминанта как коэффициента искажения обьема было бы предпочтительнее. Но даже факт равенства ~~~» «~ б«««) для ориентации в детерминантах дает, пожалуй, больше, чем формальное определение (4. 13). Например, для коэффициента искажения объема очевидно б(АВ) б(А)б(В), откуда сразу следует 1де«АВ~ = «де«А) «де«В!, хотя, как известно, модули можно опустить: дег АВ = дег А дег В. Детерминанты в линейном анализе играют важную роль в первую очередь потому, что позволяют отличить выралсденную матрицу, для которой дег А = О, от иевыраэсденнай (дег А ~ 0).