Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ, страница 10

Оговорка насчет действительности корней Лс, Лз не принципиальна, поскольку все остается в силе и в случае комплексных корней, но при этом нужна готовность манипулировать формулой Эйлера еср = соз из+ с сйп оз. Можно обойтись также без выхода в комплексную плоскость, опираясь на первоначальный поиск решений в виде х(ь) = Ссео созса8+ Сте~ 81псл8, либо, что эквивалентно, х(ь) = Се"с соз (ис8 + о). Константы определяются аналогично предыдущему, из начальных или граничных условий.

Рис.3.8 Пример Веревка длины С перекинута через блок (рис.3.8). В начальный момент один из свисающих концов длиннее другого на И. Найти х в момент С. Трение отсутствует. 3.10. Раскрытие неопределенностей 61 При плотности веревки (на единицу длины) равной р еес длины х будет Вех, а масса всей веревки В1. Закон движения (Нью'юна) принимает вид 1 2в В1-х = рех, т.е. В = — х. 2 ' 1 Подстановка х = Сем, в итоге приводит (с учетом начальных условий х(0) = )г, х(0) = О) к результату х(!) = — е~/~ +е з/~ ) . 2 1, 3.10. Раскрытие неопределенностей 3.10.1. Неопределенностью О/О называют ситуацию, в которой ии(ется предел отношения /(х)/д(х) стремян(ихся к нулю функций (лри х -ь а).

Если у обеих функций в точке а существуют конечные производные /г(а), д'(а), то /(х) = / (а)(х — а) + о(х — а), д(х) = д (а)(х — а) + о(х — а), поскольку у(а) = д(а) = О. Поэтому У(т) У'(а) + Ь о(х — а) д(х) д'(а) + Ь ' х — а что, при условии неравенства нулю хотя бы одной из производных уг(а), д'(а), — влечет за собой справедливость правила Лвнитаея: В случае /г(а) ~ О, д'(а) = О, предел бесконечен.

Маленький пример: 1п (! + х) 1/(1+ х)1 1пп = 1. г 0 Х 1 Идея Лопиталя работает в более широких условиях. Если / и е в точке и обрашаются в нуль вместе со своими х — ! производными, и /О (и) (или д1е1(а)) — первая ненулевая производная, то ряды Тэйлора / и р начинаются с я-х членов. Поэтому г /(*) 1(*1(') г а р(х) да)(а) 62 Глава 3. Дифференцирование Случай бесконечного а не исключается. Надо лишь отношение производных заменить их пределом Н (разумеется, в предположении, что он существует): При доказательстве замена переменной х = !/х сводит ситуацию к предыду- щей. Доказательство правила Лопиталя с использованием разложений Тэйлора, 1(х) = 1(а) + о(.), д(х) = ...

требует, вообще говоря, чтобы 1 и у в точке а были ава раза дифференцируемы. И на первом этапе обучения это проще предполагать, тем более, что все примеры в задачнике удовлетворяют этому условию. С другой стороны, можно обойтись существованием одной производной, причем доказательство так же просто. В силу 1(а) = у(а) = О 1(х) - 1(а) 1(х) х-а у(х) д(х) — у(а) ' х — а что после перехода к пределу (х -ь а) сразу дает «то, что ну:кно». Такой способ даже выглядит в каком-то отношении предпочтительным. Но он влечет за собой необходимость принятия требования д'(а) ~ О, которое в первом случае не обязательно (а это, кстати, солидный процент задач). Но речь сейчас не о процентах, а о большом ветвлении вариантов и уточнений, которое возникает во многих математических направлениях.

В данном случае «виновато» слишком либеральное определение производной, которое считает дифференцируемыми (в нуле) функции типа х~ з1п (1/х). Скверная природа таких функций портит (или украшает — кому как больше нравится) столбовую дар«ну анализа бесконечными закоулками. Если бы не это, — курс Фихтенгольца был бы намного тоньше.

3.10.2. Неопределенностью оо/оо называют ситуацию, в которой ищется предел отногиеиия 1(х)/д(х) стремящихся к бесконечности функций (при х — у а). Правило Лопиталя работает и в этом случае, принимая следугоШий вид. 3.10.3. Если 1(х),д(х) -+ оо и существует предел отношения ,1«(х)/д'(х), то Н Нетрудно сообразить, что зто аналог теоремы Штольца (2Л.2). 3.10. Раскрытие неопределенностей 63 НЕПРВВИЛЬНОЕ ДОКВЗВТВЛЬСТВО. Естественной выглядит идея свести не- определенность оо/со к предыдущему случаю: У .

(1/р)', -(р'/р') /. /'1' . р' !! — = 1!ш, = !!ш (/,//, = ~!! — ~ 1! /,, На практике встречаются неопределенности и других видов, ио они легко сводятся к уже рассмотренным. Скажем, 0 0 0 со <==> — <===» 1/оо 0 В ситуациях «Оо, сос, 1ос» выручает логарифмирование. Вместо ур рассматривается 1и ~(х)У(*) = д(х) 1п Ях), что во всех перечисленных случаях дает неопределенность вида 0 оо. Ситуация *оо — оо» предлагается в качестве уцрюкнения. Примеры 1 2х —— 2»/х 1 2з/х х — т/х (х — з/х)' 1. 1'пп = 1пп , =!цп »- ~ »/х — 1 * 1 (з/х — 1) еа» ел» гово» дел» ! 2. 1пп = ~ =а — р. * о х 1 3.

Во многих случаях наиболее эффективно непосредственное использование формулы Тэйлора. Например, 3 З1 ( ) 3 1 1ош — 1пп » о х' * о хз хз хз 31 2 1п (1+ х) — х+ — х — — + — + о(х ) — х+— 2 2 3 2 что после сокращения на 1!ш(//д) и «переворачивания дробей» вроде бы дает желаемое. Главный (но не единственный) порок рассуждения здесь состоит в использовании предела 1!ш (//р), существование которого надо еще доказать. Тем не менее, идея вполне здравая, и ее можно доработать (в качестве упражнения). Вообще доказательство трудных и неясных утверждений дюкс целесообразно начинать с макимально простых идей, не обращая внимания на ошибки реализации.

Это, как правило, лает понимание общей картины. Недоделки устранять можно потом. 64 Глава 3. Диффвренцирование 3.11. КОНТРПРИВОЕРЫ Дифференцируемая функция обладает свойством Коти: ее производная принимает все промежуточные значения (теорема Дарбу). Это гарантирует, что разрмвная функция з)кп х не может быть производной, т. е. невозможно /'(х) = якп х, если /(х) дифференцируема. Ошушение банальности этого факта подталкивает к выводу, что в случае дифференцируемости /(х) на [и, Ь[ производная /'(х) обязана быть непрерывной функцией. Да и свойство Коши представляется эквивалентом непрерывности.

Зта нвнравильиа. Производная везде дифференцируемой функции»1 /(х) = х з)п (1/х), равная нулю при х = 0 и 1 1 / (х) = 2х яп — — соз — при х ~ О, х разрывна в точке х = 0 (но обладает свойством Коши). Рассмотренный пример в каком-то смысле задает эталон возможных неприятностей в дифференциальном исчислении. При ориентации «диверсии» на точку х = 0 ядром замысла обычно является произведение двух функций, одна из которых подходящим образом обнуляется в нуле, а другая, типа яп (1/х), быстро колеблется, «ускоряясь» по мере приближения к х = О.

Если интенсивности колебаний не хватает, то вместо з!п (1/х) берется что-нибудь вроде з!п (1/х"), й ) 1. Скажем, везде дифференцируемая функция /(х) = х з)п— » х' имеет неограниченную разрывную в нуле производную, /~(0) = 0 и 1 2 1 /(х) = 2хз»п — — — соз — при х зй О. х' х х» Функция /(х) = х+ х' яп(1/х') имеет производную /'(0) = 1, но не монотонна в окрестности нуля. А функция /(х) = 2х'+ х' яп(1/х') имеет в нуле строгий минимум и равную нулю производную, но ее производная в сколь угодно малой окрестности нуля принимает, как положительные, так и отрицательные значения (сколь угодно большие).

Такие примеры реабилитируют многие на вид малополезные нредосторохсности и придают иную окраску тривиальным доказательствам. Другая проблема — сама дифференцируемость. Воображение предлагает обычно в качестве непрерывных гладкие функции. В крайнем случае — с одним или несколькими изломами типа [х[. Тем не менее, большинство (в некотором смысле) функций не дифференцируемы. Исторически первый пример нигде «1 Здесь и далее функции доопределяются по непрерывности. В данном случае /(О) = О, поскольку /(х) » О прп х — » О. 3.11. Конгрприьгеры 65 не дифференцируемой функции построил Вейерштрасс, показав, что таковой является ОР е(х) = ~~~ с" соа (ш" хх), (3.6) п=е где целое гп нечетно, 0 < с < 1 и гпс ) 1+ Зх/2. В свое время это был выдающийся трюк, сильно изменивший математическое мировоззрение.