Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ, страница 11

Теперь, конечно, другие времена. Многое прояснилось, давние находки поблекли — и уже не так интересно разбирать, почему е(х) не дифференцируема. Поэтому сегодня мимо с(х) можно пробежать, слегка оглянувшись и не вникая в детали. Однако без эмоций процесс обучения теряет эффективность — и потому иногда имеет смысл загнать себя в позу заблуждения, разобрать пример (3.6), а потом искренне ахнуть. Детали можно найти в любом толстом учебнике. Гпава 4 Функции и переменных 4.1. Пространство и измерений В случае функциональной зависимости и = У(Х1 Х2, ° ° ° Хя) переменные х1,...,х„называют координатами, комплект х = (хм х„) — вектором. Д"" векторов х = (х1,..., хяЬ у = (уп..., у„) обычно вводятся операции: умножение на скаллр Л: ЛХ = (ЛХ1,..., ЛХя), сложение/вычитание: и скалярное ироизведение, с помощью которого задается длина вектора (норма), В некоторых ситуациях, чтобы подчеркнуть, что речь идет о векторах, при записи используется полужирный шрифт, х = (х1,...,хя), и специальное обозначение (х,у) для скалярного произведения векторов х и у.

Где ясно, о чем речь, скалярное произведение обозначается максимально просто, ху. Множество векторов, на которых введены перечисленные операции, называют и-мерным евклидовым пространством и обозначают яв. При и = 2, 3 умножение на число растягивает (1Л! > 1) или сжимает ()Л) с 1) вектор, не меняя направления при Л > О, и меняет его на противоположное при 67 4.1. Пространство гк намерений Рмс. 4.1 Л < О.

Сложение соответствует обычному правилу сложения векторов по правилу параллелограмма, эквивалентом которого является лравило тйеуаиьниха. Преимущества последнего становятся очевидны при сложении нескольких векторов (рис.4.1): каждый следующий слагаемый вектор приставляется началом к концу предыдущего — замыкающий вектор дает сумму. Вычитание выводится иэ сложения: Ь вЂ” а определяется как вектор, который в сумме с а дает Ь. Этому соответствует простой геометрический трюк: начала а и Ь совмещаются, а концы соединякпся отрезком, направленным к Ь, что и лает разность Ь вЂ” а. Описываемые манипуляции подчеркивают то очевидное обстоятельство, что в данном случае используется лдеаюглл евойедиых аеюиоров, которые подразумеваются незакрепленными.

Другими словами, векторы, имеющие одинаковую ддину и одинаковое направление, считаются одним и тем же вектором. Все, что сказано пока — по части геометрической интерпретации — никакого существенного значения для случая и ) 3 не имеет. Можно, конечно, говорить об и-мерном пространстве (благо, все операции определены для любого п), но это не выходит за рамки малосодержательной условности. Кардинально меняет ситуацию понятие скалярного произведения. Разумеется, это происходит постепенно. Шаг за шагом выясняется, что малые выгоды влекут за собой большие последствия.

Процесс в целом приватизирован линейной ах° Вйрой, однако первоначальный этап остается всеобщим достоянием. 2л — у На плоскости скалярному произведению соответствует перемножение длин векторов на косинус угла между ними 1 (рис.4.2), О У, Рмс.

4.2 х у = 'вх(~ 'вулсозу, чго легко проверяется. Полезна также еще одна интерпретация: скалярное произведение х ° у есть произведение длины х на проекцию вектора у на вектор х, т.е. х у =ху,. ~1Из-за четности косинуса и периодичности, сок(2л — у) = соку, ие важно, ках измеряется угол. Глава 4. Функции и переменных В общем случае такая интерпретация может быть сохранена благодаря известному неравенству Коши — Буняковского, х у < 1)х)1. ))у)), т.

е. х!у! +... + х„у„( х', +... + х'„у', +... + у„', которое дает возмозкность определить косинус угла между векторами при любом и, х у 1)х)) . ))У)1 В результате векторы х, у определяют как ортогональяые, если их скалярное произведение равно нулю, х у = О. Вюкная роль ортогональности заключается в том, что с ее помощью опреде- ляется понятие гтоскости, как множества векторов х, ортогональных некоторому вектору а, задающему плоскость' ), а ° х = О, т.

е. а,х, +... + а„х„= О. (4.1) Кстати, введенное понятие ортогональности реально не ну:кдается в каких- то неучтенных аналогиях с визуальным опытом в физическом мире. Плоскость Р (линейное подпространство) может быть определена как мно;кество, содержащее вместе с любыми векторами х, у б Р их сумму х+у и прямую Лх вместе с любым вектором х. Легко видеть, что этому условию удовлетворяет множество решений х уравнения (4.1). Говорят, что множество векторов (х,..., х») линейно зависимо, если существуют такие коэффициенты Л„..., Л», не все равные нулю, что Л~ х' +...

+ Л»х" = О. Коллииеариые векторы ), например, — всегда линейно зависимы. 3) Линейно независимое множество (е',..., е") называют базисом, если любой вектор х можно представить в виде линейной комбинации х = Л, е' +... + Л„е". Стандартный базис Л": е' = (1, О,..., 0), е' = (О, 1,..., 0), ..., е" = (О, О,..., и). Число н векторов, составляющих базис (и не зависящее от выбора последнего), определяет размерность пространства. 4.2.

Подводные рифы многомерности Говорить о неожиданностях и контрпримерах, как о главной особенности математики, — нереалистично. Наоборот, в повседневной практике приходится сталкиваться в основном с интуитивно ожидаемыми и понятными вещами. 2) При условии ))а)) = 1 вектор а называют нормалью плоскости. з) Коллинсвриыми называют векторы, лежащие иа одной прямой, т.е. векторы, которые одинаково или противоположно направлены. 4.3. Предел и непрерывность Но езда проторенными дорогами имеет свои побочные эффекты. Иллюзия безопасности ведет к потере бдительности.

Функции нескольких переменных — как раз тот объект, где необходима осторожность. Возьмем обыкновенное понятие разрыва. При наличии нескольких переменных аномалии возникают очень легко. Рядовая функция ХГХ2 если хг,х2 Ф О; 2(ХГ»Х2) = ! 2 (4.2) О, если хг =ХЗ= О имеет разрыв в нуле, причем, с точки зрения обыкновенного жизненного опыта — довольно экзотический: ° Предела у у(х) при х = (хн Х2) у О нет, но при стремлении х к нулю вдоль любой прямой хг = ЙХ2 значение у(х) имеет предел Й/(1+ Й2), зависящий от Й. ° Несмотря на разрыв, при любом фиксированном Х2 (в том числе нулевом) функция гр(хт) = у(хг, сопл)) — непрерывнаа).

Разумеется, контрпримеры — штука приятная. Но когда их слишком много, то зто уже из оперы «хорошая болезнь склероз» (ничего не болит, и каждый день новости). Многочисленные «неожиданности» в области функций п переменных дают повод задуматься о причинах «новостей». 4.3.

Предел и непрерывность Пока речь идет о функциях и = у(хг,..., Х„), принимающих чис- ловые значения. 4.3.1. Определение. Число А называется пределом функции и = у(х) при х стремящемся к а (т. е. у(х) — + А при х — у а), если по любому е > О мозкпо указать такое д, что )Дх) — А) < е, если ))х — а)) < б. Легко видеть, что вся разница с определением 2.6.1 предела функции одной переменной заключается в замене меры близости: Ч Забегая вперед, можно добавить, что функция Г(я) имеет частные производные всюду, в том числе в нуле, т.е. в точке разрыва! 70 Глава 4.

Функции п переменных )х — а! на Ох — ай, — поскольку х и а теперь не числа, а векторы. Все остальные определения претерпевают аналогичные изменения. Стремление х -+ в в многомерном случае означает 1)х — а(1 -г О, что, в свою очередь, равносильно одновременному выполнению и условий )х, — и;1 -г О. Соответственно, в определении 4.3.1 неравенство 11х — о!1 < б можно было бы заменить и неравенствами 1х; — и;1 < б.

4.3.2. Определение. Число А называется пределом функции а = З (х) при х -+ оо, если по любому е > О можно указать такое М > О, что 1у(х) — А( < е, как только )~х~) > М. Вместо А = 1пп у(х) чаще используют обозначение А = 1пп у(х). 1И-гсо В частном случае функции и = Дп, гл) двух переменных, принимающих дискретные значения и, тп = 1, 2,..., возникает стандартная на практике ситуация числовой последовательности иа элементы которой нумеруются двумя параметрами.

4.3.3. Определение. Число А называется пределом числовой последовательности иа,„при и, тл -+ оо, если по любому е > О мозкно указать такое М > О, что ~иа га — А~ < е, если п и пт больше М одновременно. Вернемся теперь к общей ситуации и = З (х), где х Е Яа. 4.3.4. Определение. Функцию з (х) называют непрерывной в точке х= а, если 7(х) — у у(а) при х-ь а, и непрерывной на множестве Х, если она непрерывна в любой точке Х.

Вариант е, б-определения отличается от одномерного лишь заменой модуля нормой. 4.3.5. Эквивалентное 4.3.4 определение. Функция у(х) называется непрерывной в точке х = а, если по любому е > О можно указать такое б, что 17(х) — у(а)) < е, если Ох — аО < б. 71 4.4. Повторные пределы 4.3.6. Определение. Функция у(х), непрерывная па множестве Х, называется равномерно непрерывной на Х, если по любому е > О можно указать такое б, что 1у(х) — у(у)! < е, если 11х — у11 < б для любых х,у б Х.

Аналогия с одномерным случаем сохраняется не только в части определений, но и результатов. Такую же роль играют последовательности Коши (модуль меняется на норму, слова — те же). Точно так же, если установлено существование предела 7(х) о А при х -о о, то /(хо) -+ А на любой подпоследовательности хо -о о. И так далее. Упражнения !. Если функция н = 7(х) определена и непрерывна в связной области Х, и принимает в двух точках х' = (х'„ х,) и х = (х,, хз) значения разных знаков, то существует точка х' б Х, в которой /(х') = О.