Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ, страница 12

2. Из любой ограниченной последовательности хо можно извлечь сходящуюся подпоследовательность (лемма Болоцано — Вейерщтрасса, см. 2ль2). 3. Непрерывная на ограниченном замкнуюм множестве функция и = т(х) ограничена снизу и сверху (теорема Вейерштрасса, см. 2.7.4). 4. Функция 7(х), непрерывная на ограниченном замкнутом множестве Х, автоматически равномерно непрерывна на Х (теорема Кантора, см. 2.7.6). 4.4. Повторные пределы Повторные пределы в вопросах сходимости служат основным источником головной боли.

При этом в качестве мотивировки часто выдвигается ложная причина 5). Дескать, предел удобно вычислять последовательно. Сначала по одной переменной, потом — по другой. Но повторные пределы не всегда равны. А если равны, то нет гарантии, что они совпадают с искомым, как говорят, двойным пределом. Вот пример, в котором повторные пределы могут не совпадать: ох+ су и ах+ су с 1нп 11ш 1пп Вш * оо- обг+оу б' о-о* обх+о(у о' 1 О настоящих причинах см. палее. 72 Глава 4. Функции и переменных У функции г(х, р) = ха!п(1/у) при (х -ь О, р -ь О) существует двойной предел, но только один из повторных.

А у функции (4.2) в нуле существуют и равны оба повторных предела, но двойного — вообще нет. Богатую палитру возможных неприятностей несколько скрашивает следующий результат. 4.4.1. Теорема. Если функция Дх, у) нри х — ь а, у -у Ь имеет (двойной) предел А (конечный или бесконечный), и лри любом у из некоторой окрестности точки Ь существует предел 1пп 7(х, у), х-ю то существует !цп!цп г(х, у) = А. у-+а х-гв Другой повторный предел, как следует из приведенного выше примера, может не существовать. Если, однако, в дополнение к условиям теоремы, при любом х из некоторой окрестности точки а существует предел 1пп у(х, у), то оба повторных предела у-+Ь существуют и равны двойному. Доказательство теоремы несложно.

По е > О можно указать такое д > О, что !х - а! < 6 !д-Ь! <д !у(х,р) — А! < е ю !у(у) — А! < е, где р(у) = 1нп Г(х, р). Поэтому !1шр(у) = А. у.чу учу Нетрудно сообразить, что теорема 4.4.1 никакого особого выигрыша при вычислении предела не дает, поскольку, если уж существование двойного предела установлено, то его обычно проще найти, полагая х = у и вьгчисяяя пределу! г(х, х).

Повторные пределы вообще могут показаться надуманной вещью (дпя задачника). Но это не так. Вазкиая роль повторных пределов в анализе проявляется в завуалированном виде. Есть такие понятия как производная, интеграл (и. 5), в которых от предельных переходов, лезкати» в истоках, иа поверхности ничего ие остается. А вот изменение их порядка — часто требуется, что и упирается, ло сути, в равенство повторных пределов.

Мозкно ли менять порядок дифференцирования, дифференцировать интеграл по параметру под знаком интеграла, — это вопросы равенства повторных пределов. 6! Либо подыскивая более вмгодную, с точки зрения вычислений, связь между х н у. 4.4. Повторные пределы допустим, последовательность функций У„(х) поточечно сходится к функции У(х), т. е. У„(х) -ь У(х) при каждом фиксированном х. В качестве У„(х) згфмчно выступают частичные суммы какого-либо ряда ~ ~рь(х).

Здесь возникают стандартные вопросы наследования функцией У(х) тех нли нных свойств функций У„(х). Например, непрерывна ли У(х) в точке хь, если .Уч(х) непрерывны в аь? Легко видетгч что положительный ответ эквивалентен (завенству йпг Уч(х) = 11гп 1гш Уч(х) е *ь. чч Р ечеь В этом случае вопрос равенства повторных пределов имеет самостоятельное значение, а проблема сушествования двойного предела даже не возникает.

Ключом к решению в такого рода задачах является, как правило, та или иная разновидность равномерной сходимости. 4;4.2. ОПВВДепенме. Последовательность функций У„(х), поточечно слодлзцихся к У(х) дея любого х б Х, сгодится равномерно, егли по любому е > О мозкно указать такое?ч, что [Уч(х) — У(хН < е Йы всех и > ?гг и х 6 Х.

Идея равномерной сходимости может принимать разные облики. Поэтому важно ошушать саму идею, чтобы не запоминать слишком много определений. Вместо дискретного параметра и, например, может фигурировать непрерывный у, а вместо У„(х) -ь У(х) при и -ь оо — предельный переход У(х, у) — ь 1р(х) при у -г уь. 4.4.3. ТЕ01лЕМВ. Если ткледовательность непрерывных функций У„(х) сходится к У(х) равномерно на замкнутом ограниченном мнолсестве Х, то функция У(х) непрерывна на Х.

доказательство. Сходимость У„(х) к У(х) означает У(х) = У„(х) + уз„(х), где уч(х) равномерно стремится к нулю. Поэтому [У(х) — У(уН < [У. (х) — У.(уН+ М.(хН + [уч(уН. Теперь по заданному е > О можно так выбрать и, что (в силу равномерного стремления рч(х) к нулю) е М.(хН <— 3 для любого я б Х. Затем для выбранного и можно указать такое б (в силу непрерывности функций У„(х)), что из [х — у[ < б будет следовать [У„(х) — У„(у) [ < е/3, н в итоге [У(х) — У(уН < е. Последовательность У„(х) = х" прн любом фиксированном х б (О, 1) сходится к О, при х = 1 — к 1. Иными словами, последовательность функций х" на [О, 1[ поточечно сходится к разрывной функции.

Глава 4. Функции и переменных 74 Причина такой «иеприятиости» заключается в существенно различной скорости сходимости х" при разных х (в неравномерной сходимости). Вот еще один общий результат (близкий по духу к теореме 4.4.1), который удобен иа практике. 4.4.4. Пусть нри любом х из некоторой окрестности точки о существует предел 1пп у(х, у) = у»(х), а нри казкдом у из окрестности Ь существует предел у-~ь !пп Г(х, у) = гй(у).

Если нри этом у(х, у) стремится к р(х) равномерно но х, ню » "»« оба повторных предела существуют и равны друг другу. (т) 4.5. Частные производные и дифференциал Для лучшей обозримости формул ограничимся случаем функции двух переменных и = 7(х, у). 4.5.1. Определение. Частной производной функции и = Г(х,у) по х в точке (х, у) называется предел Для дугдх используется также ряд эквивалентных обозначений ди/дх, и', Рхи. Аналогично определяется и',. Таким образом, частная производная — это обыкновенная производная по выбранной переменной, когда другие переменные фиксированы. Само по себе частное дифференцирование ничего нового по сравнению с обычным дифференцированием не представляет.

Примерм Ви = у Вх Ви — = 2ху; Ву и = ху Роль и специфика частных производных выявляется, когда речь заходит о полном приращении функции г."хи = 7(х + схх, у + сху) — 7" (х, у). т Р=Л— х = а!П(юг+ !р) Л Рт = х, т ю доз(ы1+ !о), т р =-)à —; гег хе — соз (юг+ Р). 4.5. Частные производные и дифференциал 75 Очевидно, зан— зв(х +»х, у+ гз«у) — г»(х, у+ злу) /(х, у + Ьу) — 7(х, у) Гззх + ' гзу, гзх ху Откуда ясно, что г1и = 7»'(х, у + Ьу) гХх + о(за) + ~„'(х, у) Ьу + о(Ьу) И, как следствие, (4.3) но при условии, скажем, лелрермвлосмц производной /,' в окрестности (х, у), что Обеспечивает /»(х, у + Ьу) — з Гз(х, у) при ззу -+ О.

ФЛ.2. Теорема. Если функция а = ) (х) имеет непрерывные в окрестности точки х = (хн..., х„) частные производные, то справедлива формула приращения (4.4) Требование непрерывности частных производных, вообще говоря, не обязательно. Но так или иначе, просто наличия производных, как в одномерном случае, уже недостаточно. 4.5.3.

Опраделенме. Функция н = ~(х), полное приращение которой представимо в виде (4.4), называется дифференцируемой в точке х=(хн...,хя), алинейную часть приращения (4.4) называют полньию дифференциалаы и записывают в виде (4.5) Дополнительная характеристика «полный» здесь появляется В свЯзи с тем, что выРажениЯ 7хг,.(х) г(х; тРактУютсЯ как частные дифференциалы т).

О пользе дифференциалов см. разд. 3.5. Правила частного дифференцирования обычны. Производная суммы равна сумме производных и т.д. Особо надо сказать о дифференцировании сложной ~ Есть и другая причала. В термодинамике, иацример, изучаются диффереициальиые амрюкеияя 2 р,(х) Вх;, ие являюшиеся полными дифференциалами. 76 Глава 4. Функции тс переменнык функции (композицин функций). Здесь может возникать ситуация изменения размерности. Например, функция двух переменных и = С(х, У) может рассматриваться на параметрически заданной кривой (х(С), У(С)) как функция одной переменной С.

После перехода к пределу в <2 и ~(х + Ьх, у + Ьу) — 1(х, у+ Ьу) Ьх ~(х, у+ Ьу) — ~(х, у) С<у ЬС <."ьх <ьС ЬУ й<С ' получаем й< = С,х, + уру<. В общем случае и = 7(х<, *хь) х< = х<(У<," ° Ум) ди дх< и дх< Вус (4.б) У(Сх<,..., Сх„) = С~1(х<,..., х„). (4.7 Величину т считают степенью однородности. Однородные функции довольно широко распространены. Примеры: х = х' — ху+ у' (щ = 2), х = у" ~/хз + У' (рл = я), л = ип — (гп = 0). У С(ифференцирование (4.7) по С с учетом (4.6) приводит к ,У У/,'<(Сх,,..., Сх„)х< = и<С" '7(х<,..., х„), < что при С = ! дает формулу Эйлера (4.8) 4.6. Дифференциалы высших порядков и ряд Тэйлора Частные производные можно снова дифференцировать, получая частные производные все более высокого порядка.

Например, двя и = ху~ имеем В~и В Ви д'и д ди — = — — =О, — = — — = 2х, Вх' дх дх ' ду' Ву ду д'и д ди д'и В ди — = — — =2У, — = — — =2У. дхВУ Вх ду ВуВх ду Вх факт совпадения смешанных производных (последняя строчка) — вещь характерная, хотя и необязательная. Равенство Ври д'и дхВУ дудх ОДИОРОДиые фУикции. таковыми называют функции, удовлетворяющие тождеству ) 4.7. Градиент по своей природе является равенствам повторных пределов и попадает в сферу действия теоремы 4.4Л. Справедлив следующий общий результат. 4.6.1.