Вейль - О философии математики - 1934, страница 2

А. Ваепш!ег и М. 5Нюйег. б идеи и приемы математической логики, аксиоматический метод, учение о числе, об иррациональных числах и идеи интуициониэма и формализма. В последней, наконец, содержатся систематическое и подробное развитие интуиционистских воззрений, как их понимает Вефь '). Нелээя, однако, не отметить, что при упомянутых достоинствах работ Вейля, онн страдают одним недостатком, вина за который лежит отнгодь не на авторе.

Все три статьи были напечатаны до 1927 г. Между тем ва последние годы в области. обоснования математики был получен ряд новых и выдающихся результатов. Скончавшийся в 1930 г. английский математик Ф. Рамзей внес ряд сун!ественных изменений в систему Ресселя, имевших целью построение математики без „расширенной теории типов" и допущение так называемого непредикативного образования понятий в). А. Хейтинг разработал иптуиционистскую систему логики сунщенийв). Но особенно замечательные открытия принадлежат К. Геделю. Главные его результаты в общих чертах таковы.

Во-первых, он нашел, что для всякой формальной системы математики котино сформулировать в ее же терминах такие арифметические положения, которые неразрешимы ее средствами, т. е. что невозможна „полнота" такой формалЬной сйстемы. Во-вторых ему, удалось показать, что суждение о непротиворечивости всякой такой системы принадлежит к числу неразрешимых в ее рзмках положений. Таким образом невозможно доказать непротиворечивость математики и логики при помощи чистой математики г и логики и нельзя доказать непротиворечивость любой формальной системы, включающей учение о натуральных числах, при помощи средств, принадлежащих только к самой этой системе. Кроме того Геделю удалось установить соответствие между предложениями классического и интуиционистского исчислений суждений, при котором первое †включ и закон исключенного третьего — превращается в часть интуиционизмав).

Наконец, А. Н. Колмогоров опубликовал интересную работу по вопросу о возможной интерпретации интуиционистской логики, как исчисления задача). И эти исследования нужно осветить перед нашим читателем. От марксистски образованного читателя можно, разумеется, ожидать критического подхода к публикуемым ниже работам Вейля, ибо основные принципы и идеи иятуиционизма носят ярко идеалистический характер. Таково уже самое понятие сверхопытной и сверхлогической праинтуиции натурального числа и понятие произвольно становящейся посредством актов 'свободного выбора последовательности, лежащге '),ОЬег гйе пене Сгнпй!айепкг!ве йег Майтешайк', Ма!Ь. Ее!ЫсЬг.

10, 1921. в) См, кратное, но доступное изложение у примыкающего с некоторыми оговорками к Рамзею Р. Каркала: П. Сагпар, .О!е1ой!а!вйвспебшпй1ейпгтй йег Мз!Ьещайк", Егкепп!п!в, 1931, № 2. ') См. А. Н е у ! ! п й, „Р1е 1п!пИ!оп!впвсЬе Сгппй!ейнпй йег Магпеща!!К', ЕгКепп!п!в, 1931, № 2 (популярное изложение) и его же статьи,1)!е !о!гав!еп Пе* . Р'.' е!п йег !пЬгИ!гоп!в!!всЬеп Код!К' и „1)!е Мппа1еп Еейе1п йег !п!пй!оп!в!!всЬеп агЬета!!К* .в Яйл — Вег. йег Ргепзв.

АКай. за 1930 г. в) См. заметку Геделя н ЕгКепп!пм, 1931, № 2, и его статьи „Р!е Чойвтапй!ПКеИ йег Ах!оше йев 1оя!всЬеп Рппк!!опенка)Кй)в',Мона!впе!!е 1. Ма!Ь. и. РЬув. 1930, „ОЬег !оппа1 ппеп)вспе!йЬаге Бжзе йег Рг!пс!р!а Ма№етапса, !Ь. 1931 и популярное изложение У К. Мелке г, .Ие пепе 1ля!К" в,Кг!ве ппй Хенан)Ьап !п йеп ехаК!еп Ма!пгж!ввепвсЬа!!ей. Рйп! ж!епег Чог!гайе", 1933. в),Янг Реп!ппй йег !п!п)!!оп!в!!всйеп Ьой!К', Майи ЕепвсЬг., 1931. 6 в фундаменте броуероаского учения о континууме.

Я полагаю также, что голое отрицание интуиционистами закона исключенного третьего н так называемых,доказательств существования" носит совершенно не- диалектический характер; оно приводит иитуиционистов к отчетливому агностицизму в математике и к разрушению ряда важных ее отделав. Втот идеализм в философии математики полностью согласуется с гуссерлианством Вейля и с субъективным идеализмом и волюнтаризмом Броуера, декларированным последним, например, в его докладе в Вене, в котором он, в частности, рассматривает мир как творение нашей воли и утверждает индетерминированность его. Чтобы дать читателю несколько более яркое представление о сущности этого махрового идеализма, достаточно привести несколько цитат из етого доклада Броуера ').

„Среди математических рассмотрений, навязанных всем людям совокупной волей всего человечества, †пиш Броуер, — надо прежде всего назвать предпосылку гипотетического «объективного пространственно-временного мирза'. „Само собой разумеется, что все существование какой-нибудь каузальной последовательности заключается в том, что она является коррелятом некоторой, вызывающей математические акции, установки человеческой воли; не может быть н речи о сунгествовании каузальной связи мира независимо от человека". Итак, объективный мир „навязан" нам какой-то „совокупной волей всего человечества", причинной связи независимо от человека не существует, а время (собственно говоря, у Броуера нет времени, а есть временная установка человека), порождающее с помощью интуиции натуральный ряд чисел, — вту первооснову математики — „есть не что иное, как интеллектуальный первофеномен распада какого-нибудь момента жизни на две качественно различные вещи, из которых одна ощущается, как уступающая место другой и тем не менее как утверждающаяся путем акта воспоминания.

Одновременно с этим распавшийся момент жизни обособляется от „Я" и перемещается сам по себе в мир, который можно назвать миром интуиции. Возникшую благодаря временной установке временную двоицу или двучлениую временную последовательность явлений можно в свою очередь рассматривать как один из членов новой двоицы, благодаря чему создается временная троица и т. д.".

И эта насквозь идеалистическая фантастика представляет собой филосбфскую установку одного из крупней1мйх математиков современности! Из настоящей работы читатель увидит все же, что интуиционизм ставил ряд важнейших вопросов в своей критике формально-логического направления в.математике и теории континуума. В этом иет, пожалуй, ничего удивительного. „Когда один идеаяист ругает другого, на этом выигрывает материализм" (Ленин).

И значение работ Вейля именно в этой их критической стороне. Пользуюсь случаем выразить дружескую благодарность С. А. Яновской, оказавшей мне помощь при выборе материала для сборника и прочитавшей настоящее предисловие, и Д. А. Райкову, сделавшему ряд ценных указаний при чтении корректур. А. Юшьезич. '),Ма1яеша11К, %1авеаасвай ввя йргасйе", Моя;Нейе й Майк я. Рпуа., 1929. 7 ОГЛАВЛЕНИВ я и ь!ате- 1П. О новом кризисе основ математик и А. Атомистическая концепция континуума, ........

1. Порочный круг 2. Коиструхция В, Континуум как среда свободного становления ..... 1. Основные идеи 2. Понятие функции . а) Рппс!!о б!зете!а Ь) Рппс!!о щ!хта с) Рппсйо сопйппа. 3. Матецатические теоремы, свойства и множества . 4. Континуум Предисловие С. А.

Яновской От переводчика 1. Современное состояние проблемы познани матике 1. От Анаксагора до Деде!гиндз 2. Теоретико-множественное обоснование мзтематнш!... 3. Антиномии и теория типов Ресселя............ 4, Интуитивная математика Броуера 5.

Символическая математика Гнльберта........... П. Философ на математики А. Математическая логика. Аксиоматика............. 1. Отношения и их соединение. Структура сун<депсй .. 2. Творческое определение в математике .......... 3. Логическое умозаключение 4. Аксиоматический метол. В. Число и континуум. Бесконечное . 5. Рациональные числа. Комплексные числа ..., .... 6. Натуральные числа 7. Иррациональность и бесконечно малое ..... 8.'Теория множеств 9. Интуитивная математика. 10.

Символическая математика 11. О сущности математического познания Сыр. 3 4 9 14 18 22 26 34 35 39 44 49 57 60 65 72 76 80 87 95 100 110 113 115 116 121 1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОЕЛЕМЫ ПОЗНАНИЯ В МАТЕМАТИКЕ 1. От Анакслговл до Дядяки идя Математика — это наука о бесконечном. Великим достижением греков было преобразование полярной противоположности конечного и бесконечного в мощное и плодотворное орудие познания действительности. Интуиция бесконечного, спокойное н не задающееся никакими вопросами признание его были присущи восточному миру. Но на востоке эта интуиция оставалась лишь чисто абстрактным сознанием, равнодушно оставлявшим существование рядом с собой неоформленного, необработанного конкретного многообразия вещей.

Это пришедшее с востока религиозное чувство бесконечного агареэ овладело греческой душой в предшествовавшую греко-персидским войнам дионисо-орфическую эпоху. Греко- персидские войны и в этом отношении знаменовали собой разрыв западного мира с восточным. С этого момента указанная полярность и стремление к ее преодолению стали для греков движущим мотивом познания. Но всякий раз, когда, казалось, уже удавалось достигнуть желанного синтеза, старое противоречие возникало вновь и притом в еще болей углубленном виде.

Противоречие это определяло собою вплоть до наших дней ход развития теоретического познания. Тот вид, в котором понятие бссконечности могло быть введено в науку, впервые ему придан был Анаксагором. В одном дошедшем до нас отрывке из его сочинений говорится: „В малом не существует наименьшего, но всегда имеется еще меньшее. Ибо то, что существует, не может исчезнуть, как бы далеко ни было продолжено деление". Речь здесь идет о пространстве или о теле; непрерывное, говорит Анаксагор, не может состоять из дискретных элементов, которые отделены друг от друга н как бы отрублены друг от друга ударами топора. Пространство бесконечно не только в том смысле, что в нем не имеется конца; оно кроме того в любом своем месте бесконечно, так сказать, во-внутрь, и точка в нем может быть определена лишь путем бесконечного и от раза к разу все точнее и точнее фиксирующего ее процесса деления.