Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003), страница 9

2.3. Векторное представление сигналов В современной теории радиотехнических систем для описания, анализа и преобразования сигналов широко используется геометрическое представление, при котором сигналы рассматриваются как элементы некоторого пространства, свойства сигналов — как свойства пространства, преобразование сигналов — как отображение одного пространства а другое. Введем понятие пространства снгнапоа. Пусть Я вЂ” множество сигналов, обладающих некоторым общим свойством. Элементы этого множества отличаются друг от друга теми или другими параметрами сигнала (амплитУлой, длительностью, частотой н т. д.). В общем случае различия между 43 2 Сигналы и помехи в радиотехнических системах с((х„х )йО, Ы(г„г )=а'(х,х,), гЕ(5„5г) ч а(во 5 )+ с((х, хг), с((г„г ) = 0 при в, = г . (2.12) Функционал, удовлетворяющий условиям (2.12), называется метрикой.

Множество Я с метрикой а' называется метрическии пространством. Сигналы можно алгебраическн суммировать. При этом результатом сложения является также сигнал. Сигналы можно усиливать или ослаблять. Все эти свойства выполняются, если в качестве пространства сигналов взять так называемое линейное, или векторное, пространство. Оно удовлетворяет следующим условиям: 1) для любых двух элементов пространства можно определить третий элемент, называемый суммой и входящий в данное пространство, такой, что вр+вг =гг +во г, +(йг+хА)=(гг+гг)+хА1 2) в пространстве сигналов имеется нулевой элемент 0 такой, что х, +О=в, для любого в,; 3) для любого элемента в, существует противоположный ему элемент — в„принадлежащий данному пространству, такой, что г, -~ ( — г,) = 0; 4) любой элемент пространства можно умножить на любой элемент, принадлежащий скалярному множеству (у,), на котором определены операции сложения и умножения с коммутатнвными и дистрибутивными свойствами и которое содержит в качестве элементов нуль и единицу, причем у,г также является элементом пространства сигналов, 1 в=в, (у, ~-у )г=увч-у,в, у,(в„~-г,)=у,в„+ух,, Элементы линейного пространства обычно называются векторами.

Практически все реальные сигналы можно рассматривать как векторы в не- двумя любыми элементами можно охарактеризовать некоторым положительным числом, которое трактуется как количественная мера различия сигналов и называется расстоянием. Множество сигналов $ с определенным подходящим образом расстоянием между элементами называется пространством сигналов. Для определения расстояния между сигналами используют некоторый функционал Ф, отображающий каждую пару элементов в, и ю, множества $ на действительную ось. Обычно функционал выбирается таким, чтобы выполнялись требования, являющиеся формализацией свойств, интуитивно связываемых с понятием расстояния: 2.3.

Векторное представление сигналов котором пространстве. Так, если сигналы представлены последовательное тями Ф действительных чисел, то такие сигналы можно представить Л!-мер ными векторами. Любой непрерывный сигнал также можно рассматривать в общем случае как бесконечномерный вектор. В векторном пространстве между элементами определены простые алгебраические взаимосвязи. В частности, любой сигнал я как вектор может быть представлен в виде комбинации независимых векторов еь !=1,2,...,Ф, т. е.

и я, =,) с,е,. (2.13) Представление (2.13) является единственным, если векторы еь ! =1, 2,..., !У, образуют линейно независимую систему. Множество всех линейных комбинаций 12.13) образует !У-мерное пространство. Множество линейно независимых векторов е„1=1,2,...,Ф, называется базисом этого пространства. Упорядоченную последовательность скаляров с, из формулы (2.13) обычно интерпретируют как координаты вектора я, в базисе е„! = 1, 2,..., Л!. При этом базис интерпретируют как некоторую систему координат, в общем случае косоугольную.

Любой сигнал можно описать действительной или комплексной функцией, определенной на интервале Т„который может быть и бесконечным. Множество таких функций образует также линейное пространство. Оно называется функциональным. В большинстве случаев функциональное пространство бесконечномерно. Для количественной характеристики сигналов в линейном пространстве вводят норму, определяющую длину вектора я„ обычно обозначаемую символом ~~я ~ и удовлетворяющую следующим условиям: )~я )(10; ~)я (~=0, если я =0; ~~я,л-я )(~()я,~(+()я )~; ()уя )(=Ц)(в !1!1, (2.14) 45 где Ц вЂ” модуль скаляра у.

Для Л!-мерного линейного пространства действительных или комплексных чисел 1я, =(л,„л,з,...,л,„)), ! =1,2,..., норма определяется следующим образом: 2 Сигналы и помехи е радиотехнических системах а для функционального пространства (2.15) При таком определении квадрат нормы представляет собой энергию сигнала В линейном нормированном пространстве в качестве метрики используется функционал с((я„я,) =!)я, — я,(!.

(2.16) Для У-мерного линейного пространства действительных или комплексных чисел с учетом выражений (2.14) и (2.16) получаем Гн 1!!2 ~2 л=! а для функционального пространства т, !!2 оК(л„х ) = Дх,(г) — х,(г)) й о (2.17) (х„х,) = ~х,(!)е,(г)й о (2.18) и в случае У-мерного линейного пространства — формулой (я ят)=,» хах2л л=! (2.19) где символом * обозначена комплексно-сопряженная функция или величина. В функциональном анализе доказывается, что в пространстве со скалярным произведением можно ввести норму, удовлетворяющую соотношению 46 Метрика (2.17) имеет определенный физический смысл: ее квадрат равен энергии разности двух сигналов, она полностью характеризует различие между сигналами (чем больше !2(хн х,), тем больше зто различие).

В линейном пространстве можно ввести понятие скалярного произведения двух элементов, которое часто используют при рассмотрении линейных способов обработки сигналов. Скалярное произведение определяют в случае функционального пространства формулой 2.4. Дискретизация непрерывных сигнаеов ()$,] = ($,,$, ) сУ(яо $ ) = 1$, — $ . '1' = ($; — $ ., $; — $ ) (2.20) и метрику (2.21) 1пп М $, — ~~ с,.е, =О. (2.22) В общем случае коэффициенты разложения с, коррелированные.

Решение многих задач существенно облегчается, если выбрать ортогональный базис, в котором эти коэффициенты оказываотся некоррелированными. Разложение случайного процесса по такому базису называется каноническим. Для стационарных процессов каноническое разложение всегда возможно. 2.4. Дискретизация непрерывных сигналов Дискретизация — это процесс представления непрерывного сигнала х($), заданного на интервале (О, Т, ), совокупностью координат сп сз, ..., с„. В общем случае процессы представления и восстановления сигналов описываются выражениями (2.23) (2.24) (с„сз, ..., сн) = А1х(1)], х(1) = А'](си сэр ...,сн)], где А — оператор дискретного представления, А' — оператор восстановле- ния, х(г) — восстановленный сигнал.

Итак, пространство со скалярным произведением всегда является нормированным и метрическим. Такое пространство при конечном )ц' называется евклидовым (обозначается Кн), а при бесконечном )н' — гильбертовым (обозначается Ьз). Структура пространств Кн и 1 з определяет основные свойства сигналов и их взаимосвязи, а введение понятий пространства, нормы, метрики, базиса позволяет формализовать процессы, связанные с передачей, преобразованием и приемом сигналов. Векторное представление применимо как для детерминированных функций, так и для случайных. Для последних скалярные произведения (2.18) и (2.19), норма (2.20) и расстояние (2.21) — случайные величины. Для случайных процессов также справедливо представление в виде (2.13).

При этом коэффициенты с, являются случайными величинами, а само разложение понимается в смысле среднеквадратической сходимости, т. е. 2. Сигналы и помехи е радиотехнических системах Операторы дискретного представления и восстановления бывают линейными и нелинейными. На практике обычно используют линейные операторы, как более простые в реализации.

При линейных процессах представления и восстановления сигналов выражения (2.23) и (2.24) можно записать в виде с, = ) х(г)ц~,. (~)аб 1 = 1, 2, ..., Ф, о х(с) = ~~, с,ср,. (г), (2.25) (2.26) где ~р,. (г) и <р, (г) — весовые и базисные (координатные) функции соответ- ственно. В зависимости от системы используемых весовых функций у,(г), 1= 1,2,...,Ф, различают дискретное временнде, дискретное обобщенное и 48 дискретное разностное представления сигналов. При дискретном временндм представлении используется система весовых функций 1р,. (г) = б(г — г,. ), 1 = 1, 2,..., У, где Ь(г — г, ) — дельта-функция. Координаты, как это видно из соотношения (2.25), определяются следующим образом: с,.

=х(г,), 1=1,2,...,1ч', т.е. совпадают с мгновенными значениями (отсчетами) непрерывной функции х(г) в дискретные моменты ~е Представление называется регулярным, если шаг дискретизации Т, = г,. — г,, является постоянным. В противном случае оно называется нерегулярным (адаптивным). Для представления сигналов регулярными отсчетами необходим выбор частоты дискретизации Г„=1/Т, и базисных функций р,. (г). Особенно важно найти минимальную частоту дискретизации, при которой еще имеется возможность восстановления непрерывного сигнала с заданной погрешностью.