Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003), страница 13

Пусть (а ) — М-последовательность памяти и, причем и — четное число. Тогда последовательность (аее), 1=0, 1,..., где И=2"' +1, является М-последовательностью памяти и/2. Рассмотрим корреляционные свойства М-последовательностей. Найдем сначала периодическую корреляционную функцию (ПКФ) Л',"(Ус)= ) а,Ь,,ы Ус=0,1,..., (2.49) геа предварительно отметив, что далее все результаты приводятся для последовательностей, которые получаются из последовательностей, состоящих из символов 1 и О, заменой 1 на -1, а 0 на 1.

Тогда с учетом соотношения (2.49) и свойств 4, 5 М-последовательностей получаем ) Ф, к=О(шоб 1х'), (-1, 7с ~ 0 (пкх1 1е'), где У вЂ” период М-последовательности. Таким образом, ПКФ М-последовательности оказалась двухуровневой со значением боковых лепестков, равным -1.

На рис. 2.9, б приведена ПКФ М-сигнала (рис. 2.9, а), представляющего собой последовательность видеоимпульсов, длительность которых равна т„а ой) хо 1 б Рис. 2.9. М-снгнал (а) н его ПФК (6) 66 2.б. Сложные сигналы полярность определяется М-последовательностью 111100010011010 (символу 1 соответствует видеоимпульс отрицательной полярности, а символу 0— видеоимпульс положительной полярности). На практике используются сигналы, получаемые фазовой манипуляцией высокочастотного колебания по закону М-последовательности.

У таких сигналов огибающие корреляционных функций совпадают с корреляционными функциями соответствующих М-сигналов. Периодическая взаимокорреляционная функция (ПВКФ) М-последовательностей (а,) и (Ь,) с периодами ЬС, и ЬСз соответственно имеет вид нок(но нд-~ Я,"»(/с) = Ч~ а,Ь„», на т. е. является периодической функцией с периодом, равным наименьшему общему кратному чисел )»с, и Ь7, (НОК (л1, лс ) ). Периодическая взаимокоррелирующая функция достаточно просто определяется только для М-последовательностей с взаимно простыми периодами. Можно показать, что для них Я,"~,(/с) =1 при всех 7с.

В других случаях ПВКФ не имеет общих закономерностей в своем поведении. На практике часто достаточно знать лишь максимальный уровень взаимной корреляции, а не детальное поведение ПВКФ. Укажем три подмножества М-последовательностей с определенным уровнем взаимной корреляции [16]. 1. Пусть (а,.) — некоторая характеристическая М-последовательность памяти и, где и — нечетное число. Образуем из нее М-последовательность (Ь,) =(анз); здесь (2.50) Ы=2'+1, (сИ,и) =1. Тогда ПВКФ последовательностей (а,) и (Ь,) определяется как 2.

Пусть (а,) — характеристическая М-последовательность. Образуем М-последовательность (Ь;) = (а„,); здесь 2~"'1 +1, если и — нечетное число; ос= 2»"' )' +1, если и — четное число, и~О (шос) 4). 67 2. Сигнавы и помехи в радиотехнических системах я,ь( ) О -1 Рис. 2.10. ПВКФ сигналов, соответствующих М-последовательностям Тогда ПВКФ удовлетворяет неравенству 2 ' +1, если и — нечетное число, (нн) 2 л ь(к) 2(н' )' +1, если п — четное число. 3. Пусть (а,) — характеристическая М-последовательность памяти и, причем пее0 (шоб 4)(7). Образуем последовательность (Ь,)=(а,.), где (л+2)1~ с(=2("'2) — 1.

Тогда ПВКФ последовательностей (а,) и (Ь,) принимают только следующие четыре значения: 2("' )' — 1, 2" — 1, -1, — (2"' +1). Таким образом, ~Я,"ь(/с)~ < 2("' ) — 1. На рис. 2.10 изображена ПВКФ сигналов, соответствующих М-последовательностям Сформулированные правила позволяют выбирать пары М-последовательностей с гарантированным уровнем взаимной корреляции, что имеет большое практическое значение.

Так, для и = 13 существует 630 М-последовательностей. Среди них имеются пары, для которых значения ПВКФ достигают 703. Однако согласно формуле (2.51) имеются также пары с максимальным значением ПВКФ, равным 129. В общем случае максимальный уровень боковых лепестков ПВКФ М-последовательностей одинакового периода лежит в пределах (1,5...6) ~~Ф (17). 2.б. Сложные сигналы Непериодическая корреляционная функция (НКФ) М-последовательности имеет вид Я,"(/~)= ~ а,а,,л.

Одной из ее характеристик является также максимальный уровень боковых лепестков. Для различных М-последовательностей он оказывается различным. Последовательности, для которых наибольший уровень боковых лепестков НКФ оказывается наименьшим, называются минимаксными. Для таких сигналов максимальное значение Р,"(1с), 7сы0, несколько меньше /Ф и стремится к этой величине с ростом Ф. Непериодическая корреляционная функция обладает следующими двумя свойствами: Непериодическая взаимокорреляционная функция (НВКФ) М-последовательностей не подчиняется каким-либо общим закономерностям.

Согласно [17) максимальный уровень лепестков НВКФ лежит в пределах (1,4...5,1) ~/Р . 2.6.2. Линейные рекуррентные последовательности немакснмальной длины Среди линейных последовательностей немаксимальной длины наибольшее значение имеют последовательности Голда и Касами [16). На их основе могут быть построены большие системы сигналов с малыми значениями периодических взанмокорреляционных функций. Последовательности Голда образуются следующим образом. Пусть 7,(х) н Ях) — пара примитивных многочленов степени и, порождающих соответственно М-последовательности (а,) и (Ь,) = (а,.), где число Ы удовлетворяет условию (2.50) или (2.52). Тогда многочлен 7"(х) = 7;(х) Ях) будет порождать 2" +1 различных последовательностей с периодом 2" — 1, ПВКФ любой пары (с,.) н (сЦ которых принимают те же значения, что и ПВКФ М-последовательностей (а,) и (Ь,).

Следовательно, они имеют трехуровневую ПВКФ, удовлетворяющую условию 2.6. Сложные сигналы Дх)=7",(х)~;(х) =(1Эх~Эх'И1Эх Эх'Эх'Эх')= = х Э х Э х Э х Э х Э х' Э1. В данном случае получается 33 сигнала с максимальным значением модуля ПВКФ, равным 9. При п ге О (пюд 4) можно образовать множество последовательностей типа Голда. Пусть 7, (х) и Г (х) — пара примитивных многочленов степени и -=О (пюд 4), порождающих соответственно М-последовательности (а,) и (Ь ) =(а,.), где И = 21"'~1~~ +1. Тогда многочлен 7(х) =/;(х)7" (х) порождает 2" различных последовательностей, которые и называются последовательностями типа Голда.

Любая пара (с,.) и ф,.) этих последовательностей характеризуются тем, что их ПВКФ принимает только следующие значения: -1, -(2"'~+1), (2"'~ — 1), -(21"'~)'~+1). Таким образом, для них ~Я,"д~ < < 21'н-2)/2 Последовательности Касами образуются следующим образом. Пусть (а, ) — характеристическая М-последовательность периода М = 2" — 1, порождаемая многочленом 7'; (х) степени п, причем и — четное число. Образуем последовательность (Ь,.)=(ал,.), где а=2"'~+1.

Полученная таким образом последовательность является М-последовательностью с периодом 2"'~ — 1. Пусть многочлен ~'(х) степени п!2 есть характеристический многочлен М-последовательности (Ь,.). Тогда многочлен Дх) = 1;(х)~~(х) степени Зп/2 порождает множество К, последовательностей с периодом 2" — 1, каждая из которых может быть получена почленным суммированием по модулю два циклических сдвигов последовательностей (а,.) и (Ь;). В множество К, входит также последовательность (а,). Образованное множество последовательностей называется малым множеством последовательностей Касами.

Последовательности Касами характеризуются тем, что нх ПВКФ принимаеттолько значения — 1, — (2ы'я+1) и 2"~~ — 1. Таким образом, для ннх ~Кп ~ < 2ыя +1 (2.55) Из выражений (2.53) и (2.55) находим, что для последовательностей Касами при небольших и значения ПВКФ существенно меньше, чем для последовательностей Голда. 71 2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах Определим класс последовательностей, носящий название большого множества последовательностей Косами. Пусть и — четное число, ~„(х)— примитивный многочлен степени и, порождающий М-последовательность (а,.), и ~~(х) — примитивный многочлен степени и, порождающий М-последовательность (Ь,.) =(а,„.), где 1=2("'2)'2+1, и 7';(х) — примитивный многочлен степени п(2, порождающий М-последовательность (с2) =(а,.), где ~1=2"'2+1.

Тогда многочлен Дх)=7;(х)Д0(х)~;(х) порождает множество К последовательностей с периодом 2" -1, каждая из которых может быть получена почленным суммированием по модулю два циклических сдвигов М-последовательностей (а,.), (Ь,.) и (с2). В множество К входят также все последовательности Голда при и ~ 0(пюд 4). Образованное множество последовательностей и называется большим множеством последовательностей Косами.