Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003), страница 12

Кроме простых двоичных кодов используют помехоустойчивые коды, позволяющие обнаруживать и исправлять ошибки, возникающие прн передаче дискретной информации. 2.6. Сложные сигналы Под слалсными (шумоподабными, широкополосными) сигналами понимают сигналы, для которых выполняется неравенство (2.43) В =РТ, ~1, 59 2. Сигналы и оомехи в радиотехнических системах где В, Г, и Т, — база, ширина спектра и длительность сигнала соответственно, Для простых (узкополосных) сигналов В м1, Сложные сигналы можно образовать модуляцией гармонического колебания Ассов(аог+(р(г)) по амплитуде (АМ), частоте (ЧМ) и фазе (ФМ) специальной функцией а(г), расширяюшей спектр. При этом сигналы представляются в виде а(г) Ао соя(а г + ср(г)) при АМ, в(г) = Ао соз(М ч. Ао>)а(г)й+ ~р(г)) при ЧМ, (2,44) Ав соя(гоог+ Луа(г) ч- ~р(г)) при ФМ, где Лв и Л<р — девиация частоты и фазы соответственно.

Расширяющие функции а(г) должны быть детерминированными. Это требование связано с необходимостью получения идентичных реализаций функции а(г) в передатчике и приемнике. Они должны обладать хорошими корреляционными и взаимно корреляционными свойствами. Именно эти свойства придают РТС, использующим сложные сигналы, такие характеристики, как высокую помехозашишенность, высокую точность измерений, подавление замираний в каналах с многолучевостью, обеспечение много- станционного доступа с одновременной работой многих РТС в одном и том же диапазоне частот, обеспечение электромагнитной совместимости с узкополосными РТС.

Количество расширяющих функций должно быть как можно ббльшим. Это обеспечивает структурную скрытность, имитостойкость, многостанционный доступ. Для образования сложных сигналов можно использовать как непрерывную (аналоговую), так и дискретную модуляции. Примером широкополосных сигналов, полученных непрерывной модуляцией, являются сигналы с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ-сигналы). Они нашли широкое применение в радиолокационных системах (см. гл. 4).

В системах передачи информации, как уже упоминалось, необходимо иметь большой ансамбль сложных сигналов, которые можно сформировать дискретной модуляцией гармонического колебания по частоте (дискретные частотно-модулированные (ДЧМ) сигналы) и по фазе (фазоманипулированные (ФМ) сигналы). При этом расширяющие функции а(г) представляют собой кодовые последовательности, обычно двоичные. В современных РТС в качестве кодовых последовательностей применяются линейные рекуррентные последовательности максимального периода (М-последовательности), последовательности Баркера, Голда, Касами и ряд других [12).

60 2.б. Сложные сигналы 2.6.1. Линейные рекуррентные последовательности максимальной длины Линейной рекуррентной последовательностью (ЛРП) называется последовательность символов (а, ) = ааа!аз..., удовлепюряющая рекуррент- ному правилу (2.45) сра, =с+с а!, +сза! з+...+с„а! „, (2.46) се а, = с, а, 9 с, а! з 9... 9 с„а, „. Из соотношения (2.46) следует, что для построения ЛРП необходимо в каждый тактовый момент запоминать и последних символов аь н а, „..., а! „последовательности (а,) и сУммиРовать их по модУлю два с весами с,, с,,...„с„. Эти операции осуществляют сдвигающим регистром с обратной связью (рис.

2.8). Любую ЛРП 1а,.) можно задать производящей функцией 6(х) (12), под которой понимается формальный степенной ряд О !х(х) = ~ а,.х', ю=а где а, — !-й символ последовательности (а!), а суммирование производится по модулю два. Пусть а,. =~) с.а! Тогда !=! Рис. 2.8. Схема сдвигающего регистра с обратной связью 61 где значения как символов последовательности (а, ), так и коэффициентов с и с, принадлежат некоторому алфавиту (О, 1,..., Š— 1), а операции сложения и умножения производятся гю модулю Е, причем Е предполагается простым числом.

Соотношение (2.45) называется правилом кодирования, число и — памятью последовательности, а число Š— ее основанием. В дальнейшем будем рассматривать только случай Е = 2. Без потери общности в выражении (2.45) коэффициент с можно положить равным нулю. Тогда рекуррентное правило запишется в виде 2. Сигналы и иомехи в радиотехнических системах =~с,хг~а, х' ~ 0(х) = ~ !=в О 6 а,х' =,),) с а, х' л=о !=! сх~ а х а9...9 з г=о а,х 9,) ах' ю=о л =,) с х~(а х а 9...9а !х ! 90(х)), (=! (2.47) где комбинация символов а,а „,...а, характеризует начальное состояние регистра сдвига, вырабатывающего последовательность (а,). Из выражения (2.47) с учетом того, что для рассматрнваемого случая все операции производятся по модулю два, можно получить и ,) с х~(а,х ~ 9...9а !х ') !) (х) Дх) и 19,~ с,х' г=! ',) Ф, =2". Пусть (а,) — ЛРП, соответствующая производящей функции 0(х) = = !7(х) l,! (х), где !7(х) н Ях) — взаимно простые многочлены.

Тогда можно 62 где !7(х) и Ях) — многочлены степени г < и и и соответственно. Многочлен Ях) полностью определяется рекуррентным правилом н называется характеристическим многочленом. Выбирая многочлены !7(х) нЯх) и производя нх деление, можно получить различные рекуррентные последовательности. Пусть, например, Дх) =19 х 9 х'. Тогда прн !7(х) = 1 получается последовательность (111110101001100010000)... с периодом 21; прн !7 (х) = 19 х 9 х' 9 х — последомтельность (1001011)... с периодом 7; прн !7(х) = 19 х~ 9 х' — последовательность (110)... с периодом 3 и, наконец, прн !7(х) = 0 — последовательность (О)...

с периодом 1. Таким образом, каждому характеристическому многочленуЯх) степенн и соответствует некоторое множество нз Й последовательностей длины Ф„прнчем 2.6. Сложные сигналы показать, что периодом последовательности (а) является наименьшее положительное целое число Ф, при которомЯх) делит двучлен 19 х Введем понятие неприводимого многочлена, под которым будем понимать многочлен степени и, не имеющий делителей, степень которых больше нуля, но меньше п. Рассмотрим порождающую функцию 0(х) = д(х)/Дх), где Ях) является неприводимым многочленом степени и. Тогда можно утверждать, что период последовательности, соответствующей порождающей функции б(х), не зависит от выбора многочлена д(х). Выбирая различные многочлены д(х), можно найти (2.48) 1с = (2" — 1)/Ф различных последовательностей с периодом Ф, соответствующих многочленуЯх).

Если в выражении (2.48) к = 1, то период последовательности (а ) равен 2" — 1. Такие последовательности называются линейными рекуррентными последовательностями максимальной длины (периода), или М-последовательностями. Очевидно, что характеристический многочлен М-после- 2"-1 довательности должен делить двучлен 19 х Неприводимость характеристического многочлена является необходимым, но не достаточным условием получения М-последовательности. Действительно, существуют неприводимые полиномы, которым соответствуют последовательности немаксимальной длины.

Например, многочлен Дх)=х 9х'91 является неприводимым. Однако максимальный период соответствующих ему ненулевых последовательностей равен 9. Найдем достаточное условие получения М-последовательности. Известно, что любой неприводимый многочлен Ях) степени и является делителем многочлена 19х~ '. Тогда, учитывая, что 19х~ ' делится также на любой многочлен 19х', если только л является делителем числа 2" — 1, можно утверждать, что период ЛРП с неприводимым характеристическим многочленом Ях) степени п должен совпадать с одним из делителей числа 2" — 1. Очевидно, что для получения М-последовательности характеристический многочлен Ях) степени и не должен делить никакой двучлен 19 х' при в <2" — 1. Неприводимые многочлены Ях) степени и, которые делят з"-ь двучлен 19х и не делят никакой двучлен 19х', в<2" — 1, называются примитивными.

Таким образом, необходимым и достаточным условием существования М-последовательности является примитивность характеристического многочлена. 63 2, Сигналы и помехи в радиотехничесаш системах Каждому примитивному многочлену соответствует вполне определенная М-последовательность. Соответственно, число различных М-последовательностей памяти и равно числу примитивных многочленов степени п, которое определяется как Д = д(2" — 1)/и, где р(1У) — функция Эйлера из теории чисел, равная количеству целых чисел, включая единицу, меньших числа Ю и взаимно простых с ним.

Приведем значения Д для некоторых и: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 11 12 13 14 15 1 1 2 2 6 6 18 16 48 60 176 144 630 756 1800 В работе 1141 даны все примитивные многочлены степени и < !6, а также примитивные многочлены с минимальным числом ненулевых коэффициентов степени 17 4 и ~ 34. В табл. 2.1 приведены примитивные много- члены по одному для и = 3,4,...,10. Таблица 21 Укажем основные структурные свойства М-последовательностей 112, 15 — 17).

1. Период М-последовательности равен 2" — 1, где и — степень ее характеристического многочлена. 2. М-последовательность имеет наибольший период среди ЛРП с равными степенями их характеристических многочленов. 3. В М-последовательности с периодом 2" — 1 содержатся все и-значиые двоичные комбинации, кроме комбинаций из одних нулей, причем каждая и -значная комбинация встречается один раз.

4. В М-последовательности число единичных символов равно 2" ', а число нулей равно 2 ' — 1, т. е, на единицу меньше. 5. Если М-последовательность (а;) сложить по модулю два с последовательностью (ане), образованной из (а ) циклическим сдвигом на 7с символов, то получим исходную М-последовательность, но с некоторым другим циклическим сдвигом.

64 2.6. Сложные сигналы б. Пусть (а) — М-последовательность памяти п, а Ы вЂ” любое положительное число. Тогда последовательность (агя), полученная из (а) выборкой ей'-х членов, 1=0, 1,..., имеет период, равный (2" — 1)/(2" — 1,И), где запись (2" — 1, с1) означает наибольший общий делитель чисел 2" — 1 и Ы. 7. Если (а;) — М-последовательность памяти и, а Ы вЂ” любое из чисел 1, 2, 4,..., 2" -1, то (а,.), 1 = 0,1,..., является исходной М-последователь- пастью с точностью до циклического сдвига. 8. Пусть (а ) — М-последовательность памяти п. Тогда существует ее циклический сдвиг (Ь,) =(а,, ) такой, что (Ьи) =(Ь,), где т — некоторое целое число. М-последовательности, инвариантные относительно операции, заключающейся в выборке 21-х членов последовательности, 1 = О, 1, 2,..., п — 1, называются характеристическими М-последоеательностями.

Очевидно, что для характеристических М-последовательностей равенство (Ь,) = (Ь,) остается справедливым для всех И = 2", где /е = 1, 2,..., и — 1. 9, Если (а,) — характеристическая М-последовательность, то ее производящая функция имеет вид ~(хДх)) ЮДх))/Дх) для четных степеней Дх), Й(х) = (х2"(х)) /Дх) для нечетных степеней Дх). В качестве примера в табл, 2.2 представлены производящие функции двух характеристических М-последовательностей, а также сами последовательности для п = 5. Таблица 2.2 10.

Пусть (а ) — М-последовательность с характеристическим многочленомЯх). Тогда последовательности (ам) являются М-последовательностями, если (2" — 1, е() = 1. Зто свойство позволяет по одной М-последовательности построить все М-последовательности того же периода. 11. Пусть (а ) — М-последовательность с характеристическим многочленом Ях) степени и и с( = е~, 2' (пкх1(2" — 1)), пРичем 4 и е(з — числа, вза- 65 2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах имно простые с 2" — 1. Тогда последовательности (аб,.~ и ~аб„.~ будут совпадать с точностью до циклического сдвига. 12.