Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003), страница 8

2.1. Виды сигналов: а — сигналы, непрерывные по величине и времени; б — сигналы, непрерывные по величине и дискретные по времени; е — сигналы, дискретные (квантованные) по величине и непрерывные по времени; г — сигналы, дискретные по величине и времени Любой сигнал является функцией времени х((). В зависимости от области определения и области возможных значений этой функции различают следующие типы сигналов: — непрерывные по величине и по времени (рис. 2.1, а); — непрерывные по величине и дискретные по времени (рис. 2.1, б); — дискретные (квантованные) по величине и непрерывные по времени (рис. 2.1, в); — дискретные по величине и по времени (рис. 2.1, г).

Сигналы первого типа задаются на конечном или бесконечном временнбм интервале и могут принимать любые значения в некотором диапазоне. Примером таких сигналов являются сигналы на выходах микрофона, датчиков температуры, давления, положения и т, п. Поскольку такие сигналы являются электрическими моделями физических величин„их называют аналоговыми.

Сигналы второго типа, называемые дискретными, задаются в определенные дискретные моменты времени и могут принимать любые значения в некотором диапазоне. Их можно получить из непрерывных сигналов„сформулировав последовательность отсчетов в определенные моменты времени. Это преобразование называется дискретшаг(ней. Шаг дискретизаг(ии Т, 2,2. Математические модели сигналов и помех (промежуток времени между двумя соседними отсчетами) может быть как постоянным, так и переменным.

Обычно его выбирают исходя из допустимой погрешности при восстановлении непрерывного сигнала по конечному числу его дискретных отсчетов. Сигналы третьего типа, называемые квантованными ло уровню, задаются на некотором временном интервале и характеризуются тем, что принимают только вполне определенные дискретные значения.

Их можно получить из непрерывных сигналов, применяя к ним операцию квантования по уровню. В результате этой операции непрерывный сигнал заменяется ступенчатой функцией. Шаг квантования съх (расстояние между двумя соседними разрешенными уровнями) может быть как постоянным, так и переменным. Его обычно выбирают из условия обеспечения требуемой точности восстановления непрерывного сигнала из квантованного. Сигналы четвертого типа задаются в определенные дискретные моменты времени и принимают определенные дискретные значения. Их можно получить из непрерывных сигналов, осуществляя операции дискретизации по времени и квантования по уровню.

Такие сигналы можно легко представить в цифровой форме, т. е. в виде чисел с конечным числом разрядов, в связи с чем их обычно называют цифровыми. Функции х(г), описывающие сигналы, могут принимать как вещественные, так и комплексные значения. Соответственно, различают вещественные и комплексные модели сигналов. Сигналы подразделяют на детерминированные и случайные. Детерминированные сигналы (колебания) — это сигналы, значения которых в любой момент времени известны, т.

е. предсказуемы с вероятностью, равной единице. Случайные сигналы — это сигналы, значения которых в любой момент времени невозможно предсказать с вероятностью, равной единице. Все сигналы, несущие информацию, являются случайными, так как полностью известный (детерминированный) сигнал информации не содержит (он может быть создан в месте приема без канала связи). Детерминированные сигналы применяют при изучении свойств линейных, нелинейных и параметрических цепей. Так, при анализе переходных процессов в линейных цепях часто используют единичный ступенчатый сигнал, синусоидальный сигнал, последовательности импульсов и др.

2.2. Математические модели сигналов и помех При решении задач анализа и синтеза РТС широко используют ма- тематические модели сигналов и помех. Они позволяют отвлечься от фи- зической природы сигналов и описывать только те свойства процессов, 39 2, Сигнахы и помехи е радиотехнических системах которые являются существенными для решаемой задачи.

В современной теории РТС общепринят вероятностный подход, прн котором отдельные сообщения рассматриваются как реализации случайного процесса. Математической моделью дискретных сигналов служит дискретная случайная последовательность 1Х, ) — случайный процесс, областью определения и областью значений которого являются дискретные множества. В дальнейшем будем считать, что случайная величина Х (элемент последовательности в момент 1,) принимает дискретные значения из множества а„аг,...,а .

Наиболее простой моделью является дискретная случайная последовательность с независимыми элементами (последовательность Бернулли). Для этой последовательности случайные величины Х независимы и принимают значения из алфавита а„аз,...,а„с вероятностями р(а,)=р„, г = 1, 2,..., т. Такая модель описывает сообщения дискретного источника без памяти. Более общая модель — дискретная случайная последовательность с зависимыми элементами. Она описывает сообщения дискретного источника с намятыа Модель задается вероятностями (а(2 0 а0.2) а(2 н)) "» . г ' ' "» . н (»»3) 1 1 (2»2)) (»»)) 1 1 (»»У)~ (си~-1) (»»~) 1 (2 1) (а ) (а ~а )...

(а ~а ... а определяемыми для всех последовательностей а"' ', а(" ), ..., а(" ' г» 1 ' »».2 '"' »»+н длины 1»( и для всех начальных моментов дискретного времени, где р(а~"~))а("г (', ..., а('") 1 — вероятность появления элемента а"+ ) в мо» мент времени 1„при условии, что предыдущими элементами были а(2 Я ') (1') а„,...,а г Источник называется стационарным, если его статистическое описание (2.1) не зависит от начала отсчета времени 1 . Математической моделью непрерывных сигналов является непрерывный случайный процесс Х(1), Наиболее полно описывается процесс и-мерной функцией распределения с (х(» х2» х»»» 1(» 12 1» ) = Р(Х(1, ) < х(» Х(12 ) < х2» Х(1»» ) < х»» ) (2.2) 40 2.2.

Матеиатическиемодели сигналов и пачек или п-мерной плотностью распределения вероятности д Р'(х„х„...,х»~1п!з - ~1,) и~»(хуанхэ~ ° ->х»1 1~ ~ 1з~ - ° 1») = ' " ' " (2.3) дх,дх,...дх„ т,(1) =М[Х(1)) = )хи(х; 1)с(х; (2.4) — дисперсия случайного процесса 0,(1) = М([Х(1) — т,(1))») = ~[х — т,(1))~и (х; 1)сй; (2 5) — корреляционная функ11ия случайного процесса А»Й~ 12)» М[[ХЙ) т»(1!))[Х(1з) — ™»(1г)1) = = ) /[х, — т„(1,)Цхг т»(1г))»ез(х„хз;1„1з)сй, Пхг' (2.6) 41 при и-+во, Многомерные функции, заданные выражениями (2.2) и (2.3), определить сложно, а зачастую и невозможно.

В то же время для решения многих практических задач, связанных с передачей сообщений, не требуется знания многомерных законов распределения. Поэтому в качестве моделей сообщений обычно используют случайные процессы, задаваемые одномерным и двумерным законами распределения, а во многих случаях — более простыми характеристиками — моментными функциями. Реальные сообщения, как правило, являются нестационарными. Соответственно, их модели — нестационарные случайные процессы.

Чаще всего нестационарные модели допускают квазистационарную трактовку: их можно считать практически стационарными на промежутках времени небольшой длительности. Переход к стационарной модели обусловлен тем, что решение задач с учетом нестационарности сообщений весьма затруднительно и требует сложного математического аппарата. На практике в качестве стационарных моделей сообщений и помех часто используют гауссовский случайный процесс [7, 8). Гауссовская модель достаточно хорошо описывает речевые и телевизионные сообщения, принимаемые радиолокационные сигналы, некоторые типы телеметрируемых процессов, а также шумы в каналах связи. Среди моментных функций наибольшее применение получили: — математическое ожидание случайного процесса 2 Сигналы и помехи е радиотехнических системах — ковариационная функция случайного процесса О О Кх( !' 2) ! ~ (~!) ! (22)! Г 1Х!Х2!'"2(Х3>Х2>~3>22) Х!С(Х2> где М12[ — математическое ожидание величины х, Для стационарных случайных процессов тх(!) = т„= сопвг, Р„(!) = Р„= сонм, )1.(2!>22)=)1х(22-2!)-)1х(т) Кл(2!>22)=Кх(23-22)-Кх(т) Иногда модель задается спектральной плотностью мощности, которая для стационарного центрированного процесса определяется следующим образом: О б„(ез) = ] Я„(т)ехр( †ао)сй.

(2.7) т т„= !пп — ] х(!)!22, т- 2Т -т т Р„= 1пп — 1 [х(!) — т„] аг, т 2Т т Я,(т) = 1пп — ] [х(!) — т„][х(2+ т) — т,]а!2, т- 2Т -т т К„(т) = 1пп — ] х(!)х(1+ т)11. т- 2Т -т (2.8) В ряде случаев достаточными для решения задач характеристиками непрерывных сигналов являются полоса частот ф„средняя мощность Р„ пик-фактор К„и динамический диапазон Р,. Полоса частот сигнала определяется следующим образом: 42 В качестве моделей сообщений, сигналов и помех часто используют зргодический случайный процесс.

Для него все характеристики, найденные статистическим усреднением (см., в частности, (2.4) — (2.6)), совпадают с характеристиками, найденными по его одной реализации х(!) усреднением по времени. Так, для эргодического процесса имеем 2.3. Векторное представление сигналов где Р; и Р„' — верхняя и нижняя частоты спектра сигнала. Средняя мощность сигнала находится усреднением мгновенной мощности р(г) = х' (г) за достаточно большой промежуток времени: 1 Р, = — [р(г) ап о Пик-фактор К„сигнала — это отношение его максимальной мгновенной мощности к средней: К„= Р (Р. (2.9) Часто пик-фактор выражается а децибелах: К„=10 1к(Р (Р,). (2.!О) Динамическим диапазоном называется отношение максимальной мгновенной мощности сообщения к минимальной мгновенной мощности, выраженное в децибелах: Р, =10 10(Р„7Р.,„).

(2.11) Например, для телефонного речевого сообщения установлены верхняя Р. = 3400 Гц и нижняя Р'„= 300 Гц частоты спектра, Р; = Р; — Р„= 3100 Гц, К„= 13...17 дБ, Р, = 35 ...40 дБ [9). При выборе модели необходимо учитывать содержание решаемой задачи, особенности математического аппарата, соответствующего данной модели, и ряд других факторов. Как правило, рациональной окажется наиболее простая модель, с помощью которой можно решить поставленную задачу с требуемой точностью.