Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 11
Текст из файла (страница 11)
корреляции процесса Х(!) (11). Другой важной задачей является выбор весовых и координатных функций. Вызывают интерес такие операторы А и А', которые обеспечивают минимальную погрешность б при заданном числе координат А! или минимальное число координат О при заданной погрешности Ь . 2 Пусть Х(г) — случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и непрерывной корреляционной функцией Я(2, Т). Тогда можно показать (8), что при представлении процесса Х(!) рядом (2.26) математическое ожидание интегральной среднеквадратической ошибки 2.
Сигналы и намели в радиотехнических системах процесса — статистически независимыми. Кроме того, при М(с,) = О дисперсия 27, координаты с, равна и,. г Если базисные функции ортонормированные, то математическое ожидание интегральной среднеквадратической ошибки (2.34), найденное на интервале представления Т„, имеет вид ег = — М /~Х(г) —,)„с,ср,(г)~ с!! Т, о г, = — [М[Х~(г)~с(г — — [ у М(с,Х(г)1!РЯй+ «о «о=! Та и Ф Ф + — ~~~~',М~с,с !1!Р,Я!р,(!)с1!=хг„— ~ ь),. «ох=! =! ! (2.36) !р,(г) =,~ (-1)~С~~Ь(г — г, + 1гТ,), Т, = 1, 2, ..., ! = 1, 2, ..., (2.37) л-о где Сс~ — число сочетаний из Ь по /с[11].
Как следует из (2.25), координа- тами с, являются конечные разности А-го порядка 54 Выражение (2.36) позволяет находить число координат Ф, при котором обеспечивается заданная погрешность дискретного представления сигнала. Разложение случайного процесса с непрерывной корреляционной функцией в ряд (2.26), в котором базисные функции являются собственными функциями уравнения (2,35), называется разложением Карунена — Лоэва. Хотя зто разложение обеспечивает минимальное число координат Ф при заданной погрешности дискретного представления случайного процесса е, его применение ограничено. Это обусловлено следующими причинами: корреляционная функция случайного процесса не всегда оказывается известной, процедура нахождения решения уравнения (2.35) в общем случае неизвестна, техническая реализация устройств разложения сигнала, за исключением случая, когда функции <р,(г) гармонические, сложная.
Поэтому на практике в качестве базисных часто используют ортогонапьные функции, при которых погрешность представления близка к минимальной при использовании сравнительно простой аппаратуры. К ним относятся тригонометрические функции, полиномы Чебышева и Лежандра, функции Уолша и др. [7, 12). При дискретном разнастном представлении сигнала в качестве весовых функций !р,(г) используют линейные комбинации дельта-функций: 2.4. Дискретизация непрерывных снгнаеав Е Л~х(с,) = ~„( — 1)~сь~х(ю, — ЗсТ„). В частности, при Е = 1 цЯ= 5~0 — ~,.)-Ь(~ — г,,), с, = Ах(г,) = х(г,) — х(г,,). е характеризует максимальную погрешность представления.
При адаптивной дискретизации отсчеты передаются в случайные моменты времени. Поэтому для восстановления непрерывного сообщения по отсчетам приемная сторона должна знать, к каким тактовым моментам относятся принятые отсчеты. В связи с этим на приемную сторону приходится передавать дополнительную служебную информацию. Такой информацией могут быть значения тактовых моментов, соответствующих существенным выборкам. При сравнении различх П) ных способов представления сигнала это обстоятельство необходимо учитывать. Адаптивные способы дискретизации широко применяют при отсутствии априорной информации о корреляционной функции или н 9 1 +ы спектральной плотности мощности непрерывных сообщений.
Рне. 2.4. Пример размещения существен ных выборок при линейной интерполяции При адаптивной дискретизации непрерывных сигналов координаты с; представляют мгновенные значения непрерывного сигнала в некоторых точках отсчета, не равноотстоящих друг от друга (рис. 2.4). На интервалах быстрого изменения значений сигнала отсчеты берутся чаще, а на интервалах медленного изменения — реже.
Для представления сигнала стараются использовать как можно меньшее число отсчетов, но достаточное для его восстановления с заданной погрешностью. Отсчеты, позволяющие восстановить непрерывный сигнал на приемной стороне с заданной точностью, называются обычно существенными.
Известны различные способы адаптивной дискретизации, отличающиеся алгоритмом формирования существенных отсчетов и видом служебной информации 111). Простейший алгоритм формирования существенных отсчетов заключается в следующем. Пусть последний существенный отсчет был в момент гн Для определения момента следующего отсчета сравнивают текущее значение функции х(г) с х(й). Момент б „, при котором ~х(г,, ) — х(г,.)~ =а, соответствует очередной существенной выборке, где 2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах 2.5. Преобразование непрерывных сигналов в цифровую форму Непрерывные сигналы можно преобразовывать в цифровую форму (в последовательность символов некоторого алфавита, например двоичного) с помощью операций дискретизации по времени, квантования по уровню и кодирования.
В общем случае квантованию могут подвергаться коэффициенты с„полученные в результате обобщенного или разностного дискретного преобразования. Операция дискретизации по времени была описана в 8 2.4. Операция квантования по уровню заключается в замене непрерывного множества значений, которые может принимать сигнал х(г), дискретным множеством заранее определенных значений х„'„1=1,2,...,Е„„называемых уровнями квантования. Такое преобразование выполняет нелинейное устройство (квантователь) с характеристикой, изображенной на рис. 2.5, следующим образом.
Диапазон возможных значений сигналов разбивается на Е„, интервалов. При попадании отсчета сигнала в 2'-й интервал ему присваивается значение х~',~. Различают равномерное и неравномерное квантования. При равномерном квантовании шаг 2зх выбирают постоянным, а уровень х„, — соответ- и) ствующим середине 1-го интервала квантования. При неравномерном квантовании шаг Лх является переменным.
Замена непрерывного множества возможных значений сигналов дискретным множеством фиксированных значений приводит к погрешности, называемой и2умом квантования. При равномерном квантовании дисперсия погрешности квантования определяется формулой 18) х~',~+ел/2 (х- ") ~х)~х, ~Ы хт-Лх!2 (2.38) где и(х) — плотность распределения вероятностей мгновенных значений сигнала х(г). В случае равномерного распределения значений сигнала нз соотношения (2.38) находим Рис. 2.5. Характеристика квантователя 2.5. Преобразование ненрерывных сигнавов в цифровую форму /3 =(/хх) /12.
(2.39) Таким образом, для рассматриваемого случая дисперсия погрешности равномерного квантования зависит только от значения шага Лх или при заданном диапазоне изменения значений сигнала — от числа уровней квантования. Заметим, что при большом количестве уровней квантования 27„, ы ы (Лх) /12 при любом законе распределения мгновенных значений сигнала.
з Действительно, в этом случае плотность вероятности и (х) в пределах любого (-го интервала можно считать постоянной и равной н (х~з). Тогда (х — хй) и'(х ' )сны,'Ги'(х ')— '=' «ю-в*~ з ~'=! Е„ Учитывая, что,) ю(хп~)бх ы 1, получаем /3„, ы (Лх)~/'12. ы! Неравномерное квантование, несмотря на то, что оно сложнее в реализации, чем равномерное, довольно часто используют, например, при передаче речевых сигналов. Это объясняется следующими причинами.
Одна из них заключается в том, что распределение мгновенных значений речевых сигналов отлично от равномерного; как правило, малые значения гораздо более вероятны, чем большие. Поэтому при равномерном квантовании вероятности попадания сигнала в разные интервалы квантования различны. Очевидно, что погрешность квантования можно уменьшить, если шаг квантования брать меньшим для более вероятных значений сообщения и большим для менее вероятных.
Другая причина заключается в том, что в телефонных системах средние значения речевых сигналов могут различаться на 30 дБ и более. Чтобы сохранить разборчивость речи «тихого» абонента, шаг квантования в области малых значений сигнала должен быть небольшим. В области больших значений сигнала шаг можно увеличить. Таким образом, вновь приходим к неравномерному квантованию. Неравномерное квантование можно реализовать различными способами, например используя квантователь с соответствующей амплитудной характеристикой (непосредственное неравномерное квантование). При этом длины интервалов и уровни квантования (см.
рис. 2.5) обычно выбирают из условия получения минимальной дисперсии погрешности 27„,. Такой же 57 2. Сигналы и пачехи в радиотехнических системах к (с) Кочпрсссор Рис. 2.6. Структурная схема компандирования эффект можно получить сжатием (компрессированием) динамического диапазона сигнала, применением равномерного квантования и последующим расширением (экспандированием) после восстановления отсчетов на приемной стороне (рис. 2.6). Характеристики компрессора и экспандера должны быть взаимно обратными, Этот метод получил название квантование с компандированием сигнала. Характеристику компрессора выбирают из условия обеспечения минимума дисперсии погрешности квантования. При неравномерном квантовании дисперсия погрешности квантования определяется выражением ,( л .0„, =,) ~ (х — х(',)) и(х)сй, (2.40) г=1 Х) где х и х ) — нижняя и верхняя границы (-го интервала квантования, (к) Ие() называемые обычно порогами квантования.
Пороги и уровни квантования выбирают из условия минимизации дисперсии (2.40). Для их нахождения продифференцируем выражение (2.40) по переменным х(',) и х(') и приравняем производные нулю. В результате получим и+а ) (х — х~Д)и (х)с(к=О, (2.41) ко~ ( х(') — х(', ) ) = ~х(') — х(',) ), (2.42) Из соотношений (2.41) и (2.42) находим, что оптимальным значением и (к) х„, является абсцисса центра тя(г) жести криволинейной трапеции (рис.
2.7) с основанием (х('), х("')), ограниченной сверху кривой и(х), а порог квантования х' равен (х(',) + х(', '))/2. В частности, из выражений (2.4!) и (2.42) нетруд- ,(~ Рис. 2.7. Диаграмма, иллюстрирующая выбор уровня квантования 58 2.6, Сложные сигналы но видеть, что если распределение х(г) равномерное, то квантование с постоянным шагом оптимальное. Квантованные отсчеты можно передавать различными способами. На практике для этого чаще всего используют кодовые комбинации, каждая из которых соответствует определенному уровню квантования. При равномерном коде с основанием т длина кодовых комбинаций не может быть меньше к, где/с выбирается из условия 1.„, ~ т~.
При выборе основания кода в первую очередь необходимо учитывать простоту, экономичность и удобство реализации цифрового представления непрерывных сообщений. На практике обычно применяют простые (безызбыточные) двоичные коды, среди которых наибольшее применение нашли двоичный натуральный код, симметричный двоично-числовой код и код Грея 1131. Двоичный натуральный кад — это код, комбинации которого представляют собой двоичные номера уровней квантования. Он прост в реализации и удобен при обработке на ЭВМ. Симметричный двоична-числовой кад используется для представления биполярных квантованных отсчетов.
При этом высший разряд несет информацию о знаке отсчета, а остальные разряды — об абсолютном значении отсчета в натуральном двоичном коде. Код Грея связан с двоичным натуральным кодом следующими соотг г г г ношениями: ао = ае 9 ан а, =а, 9 аз, ..., ае г =ам з 9 аг „а„, =аг „где г г г ая,а„г...ао — кодовая комбинация натурального кода, а„,аг г...ае кодовая комбинация кода Грея, символ 9 обозначает суммирование по модулю два, Этот код обладает следующими двумя особенностями, которые способствуют повышению быстродействия кодирующих устройств по сравнению с применением двоичного натурального кода: любые две кодовые комбинации, соответствующие соседним уровням квантования, отличаются друг от друга значениями только в одном разряде; смена значений элементов в каждом разряде при переходе от одной комбинации к другой происходит вдвое реже, чем в двоичном натуральном коде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
