Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 15
Текст из файла (страница 15)
На рис. 2.12 представлены первые четыре функции г,(О). Система функций Радемахера является ортогональной на интервале (О, 1), но неполной, так как на том же интервале существуют другие функции, ортогональные им. Система функций Уолша (чеаЦО)1, !=0,1,...,2" ', является расширением системы функций Радемахера до полной системы и определяется как О и!О) 1 гз!О) 1 Рис. 2.12. Графики функций г,. (О) д (О) = чеа1 (О) и 1, 1О, (О) = чеа1, (О) = П~г/(О) /', (2.60) /га где !,'. — значение /-го разряда в записи числа ! в коде Грея. Получение первых восьми функций Уолша в соответствии с выражением (2.60) наглядно показано в табл. 2.3, а на рис.
2.13 приведены их графики. Функции Уолша являются дискретными (принимают значения +1), периодическими с периодом, равным 1. Они удовлетворяют условиям ортогональности, нормировки и мультипликативности: ! )чеа1,(О) ъча1/(О)е!О =1 ' ' чча!,(О)чеа1/(О) =уча!ав/(О), (О, если !че /'; где ! 9 / — условная запись числа, двоичное представление которого получается поразрядным сложением по модулю два двоичных представлений чисел ! и/'.
Следующий пример поясняет нахождение /с=!9/. Пусть ! = 7, ,/' = 10. Запишем ! и / в двоичной системе исчислений и сложим их поразрядно по модулю два: 78 2. Сиеналы и помехи в радиотехнических системах Другая система функций Уолша, упорядоченная по числу пересечений нулевого уровня, — это система (хиа1 (0), са1, (0), за1((0)), ! = 1, 2,.... Здесь буквосочетание а1 связано с фамилией %а1зЬ, а первые буквы указывают на аналогию, в смысле четности и нечетности этих функций, с функциями соз В и з(п В.
Функции са1,(В), 1=1,2,..., являются четными,а за1,(В), (=1,2,...,— нечетными. Параметр! равен половине числа пересечений нулевого уровня соответствующими функциями на интервале единичной длины. Функции системы (ьуа1,(0)) связаны с функциями са),(0) и за!,(0) следующими соотношениями: са1, (0) = вна1, (0), за1, (0) = хна!, 1(0), 1=1,2,.... На рис. 2.14 в соответствии с соотношениями (2.60) представлена структурная схема простого устройства для генерирования первых 16-ти функций Уолша. На выходах триггеров Т„...,Т4 формируются функции ъча11 (0) = за1, (0), и"а1, (0) = за1, (0), хна1, (0) = за1, (0), хна1м (0) = за1, (0).
Перемномсители образуют из них систему функций Уолша от хна! (В) до вна(14 (О). Функция хна!е (0) тождественно равна единице. Функции Уолша не обладают хорошими корреляционными свойствами. Многие из них имеют большие боковые лепестки как КФ, так и ВКФ. По этой причине они применяются, в основном, в синхронных многоканальных системах, ва!!(О) са( !(О) ва(в(0) са1в(0) ва1в(9) са1в(6) ва(4(0) са!4(0) ва!в(О) )в(0) ва!в(0) са!в(О) ва!в(0) са1в(О) ва1в(6) Уст 0 импульсы Рис. 2.14. Структурная схема устройства генерирования функций Уолша 80 2, 7.
Сисаемы сигналов 2.7.2. Биортогональные сигналы Система нз л! биортогональных сигналов формируется из л!/2 ортогональных сигналов добавлением к каждому из них противоположного сигнала. Простейшей такой системой является система из четырех сигналов с одинаковой энергией. Если в качестве базисных функций <р (!) использовать функции <р, (!)=,~2 1Т, созвс! 'рз (!) = фТ, Йьтс! то при и = 4 биортогональные сигналы будут отличаться только фазой и совпадут с сигналами, полученными фазовой манипуляцией, 2.7.3. Симплексные сигналы В общем случае симплексные сигналы получаются из ортогональных сигналов следующим образом (10). Пусть (а,.), ! = 1,2,..., л!, — ортогональные сигналы. Добавив к каждому сигналу з!(!), ! =1,2,...,т, один и тот же сигнал з(!), получим новую систему сигналов з,'(!) =з,.(!)+ з(!).
Заметим, что обе системы сигналов обеспечивают одинаковую помехоустойчивость. Суммарная энергия новых сигналов определяется следующей формулой: (2.61) Для симплексных сигналов энергия Ет должна быть минимальной. Минимизируя выражение (2.61) по з(!), можно показать, что симплексные сигналы, получаемые на основе ортогональных э,. (!), !' = 1„2,..., л!, имеют вид !10) (2.62) Поскольку с учетом выражения (2.62) ',) з,'(!) =О, то каждый из сигналов г=! з,'.(!) можно представить в виде линейной комбинации остальных.
Отсюда следует, что симплексные сигналы з, (!), ! = 1, 2,... „л!, можно представить в виде векторов из (т — 1)-мерного евклидового пространства. При одной базисной функции !р(!) можно сформировать два симплексных сигнала, которые совпадут с противоположными сигналами. 81 2. Сигиалы и помехи е радиотехнических системах При двух базисных функциях можно сформировать три симплексных сигнала.
Концы их векторов лежат в вершинах равностороннего треугольника. Симплексные сигналы могут быть получены на основе симплексных кодов. Рассмотрим равномерный код с основанием 2 и длиной т. Пусть его кодовые комбинации представляют последовательности из т символов, принимающих значения -1 и 1. Введем понятие коэффициента взаимной корреляции между любой парой кодовых комбинаций (Ь,) и (Ь/); 1 и-1 г,, = — ~Ь,, Ь».
т е=о Потребуем, чтобы коэффициенты взаимной корреляции г» были бы равны гж /,/=1,...,т, 1~/'. Можно показать,что — 1/(т — 1), если т — четное число; с го ~ — 1/т, если т — нечетное число. К од, все пары кодовых комбинаций которого имеют коэффициенты взаимной корреляции — 1/(т — 1), если т — четное число; го —— — 1/т, если т — нечетное число, называется симплексным.
Соответствующее название носят сигналы, полученные на его основе, например, путем фазовой манипуляции несущей. Симплексные коды можно построить на основе матриц Адамара. Нетрудно показать, что если существует матрица Адамара порядка А/ = 4й, то можно построить симплексные коды для т = 4/с, 4/с — 1, 2/с и 2к — 1, где/с— целое положительное число, Действительно, пусть Аи — матрица Адамара порядка Ф = 4/с, записанная в нормальной форме.
Тогда, вычеркнув первый столбец, получаем матрицу, строки которой образуют симплексный код для т = 4/1. Если, кроме того, вычеркнуть одну из строк, то получим симплексный код для т = 4/с -1. Коды для я=2/с и т=2!1 — 1 получаются следующим образом. РассмотРим /-й столбец (/' и 1) и вычеРкнем в матРице Аи стРоки, на котоРых элементы /зго столбца равны 1 (или — 1). Вычеркнем также первый и /-й столбцы.
Тогда окажется, что оставшиеся строки образуют симплексный код для т = 2/1. Если вычеркнуть еще одну строку, то получим симплексный код для т =21 — 1. Особый интерес представляют симплексные коды, комбинации котоРых являются циклическими перестановками одной из них. Выясним, каким условиям должны удовлетворять такие кодовые последовательности. 82 2.8. Моделирование сигналов и помех Введем периодическую корреляционную функцию (ПКФ) кодовой последовательности Ьо,Ьп...,Ь„,: т-1 и" (у)=~ ЬЬ,.„, 1=0,1,...,т — 1.
оа Последовательности, ПКФ которых удовлетворяет условию Я"Я = а, ~'=1,...,т — 1, называются последовательностями с двухуровневой ПКФ, Можно показать, что ~а~ ~ 1. Для построения циклических симплексных кодов используют только последовательности с двухуровневой ПКФ, для которых а = — 1.
К таким последовательностям относятся последовательности максимальной длины (М-последовательности), последовательности Лежандра, Холла и Якоби 1121. 2.8. Моделирование сигналов и помех 2.8.1. Моделирование случайных величин Для формирования на ЭВМ случайных величин с различными законами распределения используют равномерно распределенные в интервале (0,1) случайные числа, которые получаются на ЭВМ по стандартным программам, входящим в математическое обеспечение.
Плотность вероятности случайной величины Х, равномерно распределенной на интервале (а, Ь), имеет следующий вид: и (х) = 1/(Ь вЂ” а). Для рассматриваемого случая а = О, Ь = 1, и(х) = 1. При этом распределение имеет математическое ожидание т, = 0,5 и дисперсию Р„= 1/12. Существуют различные методы преобразования случайных чисел с равномерным распределением в случайные числа с заданным законом распределения. Рассмотрим основные из них 118, 19). Метод нелинейного преобразования, обратного функции распределения, использует соотношение (2.63) у=р (х), где у — значения случайной величины Г с заданной плотностью вероятности и'(у); х — значения случайной величины Х с равномерным законом распределения на интервале (О, 1): р '(х) — функция, обратная функции распределения р(у).
83 2. Сигнаеы и помехи в радиотехнических системах Пример, Определить алгоритм моделирования случайной величины У с рзлеевским законом распределения: ге(у) = —,ехр~-— У У о (, 2ог Функция распределения случайной величины у имеет вил Г 2 2 ( У1 г(у)= )ге(х)егх=) —,ехр' — —, д = ! — ехр — —, ~ .-') С учетом выражения (2.63) получаем х=г(у) =1-ехр — —, У 2о у (2.64) Отсюда следует алгоритм формирования заданной случайной величины у= /2йе —.1. Выражение (2.65) можно представить и в другом виде: у = о~/ — 21Щх). (2.65) Переход от !п(1 — х) к !п(х) в последнем выражении основан на том.
что случайные величины ! — Х н Х имеют одинаковые законы распределения. 84 В табл. 2.4 приведены алгоритмы моделирования случайных величин с наиболее распространенными законами распределения, полученные данным методом [18, 19). Метод на основе преобразования нормагьно распределенных случайных чисел использует известные закономерности нелинейного преобразования случайных величин 2 с нормальным распределением в случайные величины ус другими распределениями. Алгоритмы моделирования случайных величин, полученные данным методом, представлены в табл. 2.4. Здесь же приводятся алгоритмы моделирования исходных нормальных случайных величин с использованием датчика случайных чисел с равномерным законом распределения на интервале (О, 1) !19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
