Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1092038), страница 17
Текст из файла (страница 17)
п. 2.8.1), с той лишь разницей, что здесь имитируются случайные точки, равномерно распределенные не на плоскости под кривой н(у), а в (Н + 1)-мерном объеме под Н-мерной поверхностью и (у], уг, ..., Ун). Пусть ]и(у„уг, ..., У„) — Ф-мерная плотность вероятности случайного вектора Х. Случайные координаты Уь й = 1, 2, ..., 1](, имеют область определения (а, Ь ). По аналогии с одномерным случаем для формирования реализации вектора Х с помощью ЭВМ находят Ф+ 1 случайных чисел У„хг,...,.сн,Л „,, равномерно распределенных на интервалах (а„Ь,), (аг Ьг) "* (он Ьн), (О, и],„) соответственно.
Их реализации моделируются следующим образом: 91 2. Сиеначы и помехи в радиотехнических системах г(') = а, +(о, — а,)х('), г2 а2+(~2 а2)х2 П) (О х,' е(а„б,); х," а(а„д2); гйо =ан+(Бн — ан)х((), х(') а(ан,Ь ); Р) (О (О гнч( — — в хн,(, х'„, н(О,м ), (О < ( СО (О Ю) г„„. нчг(,г2,...,гн ~. Реализации случайных чисел г('), г('), ..., г'), не удовлетворяющие этому условию, отбрасывают.
Моделирование случайных векторов с заданной матрицей корреляционных моментов может осуществляться .методом линейного преобразования. Основная идея метода состоит в том, чтобы, получив У независимых случайных величин Х,, Х„..., Х„с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными 1, подвергнуть их такому линейному преобразованию А, после которого полученные величины Р(,у2, ...,)н имели бы наперед заданную корреляционную матрицу К =[Я„1='(М(у„х УтЦ, где М вЂ” символ математического ожидания, т = 1, 2, ..., Ф, и = 1, 2, ..., Ф. Известно, что произвольное линейное преобразование У-мерного вектора Х сводится к умножению его на некоторую матрицу А д(-го порядка: (2.7!) Ъ" = АхХ, где Ъ', Х вЂ” матрицы-столбцы с элементами у„у„..., у, х,, х„..., х„соответственно; А = (а„) — квадратная матрица преобразования. Выберем матрицу преобразования А треугольной.
Тогда в развернутой форме выражение (2.71) можно записать следующим образом: где н,„— максимальное значение функции ч (у„у2, „у ), х,, х (О (О ..., х())„— реализации случайных независимых чисел Х,, Х, ..., Х„„с равномерным законом распределения на интервале (О, 1). В качестве реализации случайного вектора Ъ', распределенного по закону н (у), уг, ..., у„), принимают реализации случайного вектора Х с координатами г,, г2, ..., г,, удовлетворяющими условию (О Р) (О 2.8.
Моделирование сигналов и лемех а„О ... О аи агг ... О У1 х, хг (2.72) ан1 н2 '- нн хн Ун Из формулы (2.72) следует, что у, =ацх,, Уг =аг х!+аггхг Ун = ат х! + анг хг + -+ анн хн ° Учитывая, что случайные величины ХнХ2,...,Х, независимы, а их дисперсии равны 1, элементы матрицы А определяются выражениями Я„=М(у1~~ =агн Я!2 = М ( у1 х уг ~ = а,1 х аг,, г ягг ™( 2 ) а21 1222 (2.73) Из соотношений (2.73) можно определить элементы а„: 2 а11 д!' а21 ~!2 д!' 22 ~22 Я!2~~11' Я23-412Я13~ 11 а31 13 ~/ и 32 г )ггг — % ~4!! а33 Таким образом можно последовательно определить все элементы матрицы А.
Тогда алгоритм моделирования случайных векторов с заданной корреляционной матрицей сведется к умножению реализаций вектора с независимыми случайными координатами на матрицу А. Составляюшие вектора У будут иметь нулевые средние значения. Вектор е.
с ненулевым средним значением получается суммированием векторов У и С, где С вЂ” вектор средних значений координат вектора е. Отметим, что рассмотренный процесс моделирования позволяет получить лишь необходимые корреляционные связи между координатами случайного вектора. Законы распределения координат не учитываются. Они 93 2 Сигналы и помехи в радиотехнических системах могут быть произвольными, например равномерными. Требуется только, чтобы координаты Хп Хз, Х, были независимы и нх дисперсии равны ! . Если законы распределения координат исходного вектора принять нормальными, то искомый вектор также будет нормальным (нормальный закон, как известно, инвариантен по отношению к линейному преобразованию).
2.8.3. Моделирование гауссовских случайных процессов Стационарный гауссовский случайный процесс ф) однозначно определяется математическим ожиданием т и корреляционной функцией Я(т). В задачах моделирования можно предполагать, что математическое ожидание равно нулю, так как случайный процесс с произвольным т может быть получен следующим преобразованием: где ~'(1) — гауссовский случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. Обычно задача моделирования формулируется следующим образом. По известным характеристикам процесса (математическому ожиданию, корреляционной функции или спектральной плотности мощности) требуется определить вычислительный алгоритм, позволяющий получать на ЭВМ дискретные реализации с,[пЖ) =с[и] случайного процесса с(е), где А~в интервал дискретизации, и = 1, 2, .... Известны два основных метода моделирования стационарных гауссовских случайных процессов: метод скользящего суммирования и метод рекуррентных алгоритмов [18, 19).
В основу этих методов положено линейное преобразование стационарной последовательности х[п) независимых гауссовских случайных чисел с параметрами т„= 0 и П, = 1 (нормированный дискретный белый шум) в дискретные реализации с[и] случайного процесса с заданными корреляционно-спектральными характеристиками. Плотность распределения вероятностей и(х) и корреляционная функция я,[Ц исходного нормированного дискретного белого шума х[л) имеют следующий вид: 1 [' х'1 и(х) = — ехр~ — ~, /2я ~ 2~ Здесь н далее значение целочисленного аргумента, стоящего в квадратных скобках, означает, что речь идет о дискретной функиии.
94 2.8. Моделирование сигналов и помех [1, й=о, А„[Ц = М [х[ пфп+ Ц '1 = ~ [О, 7г-еО. (2.74) Возможные методы формирования на ЭВМ нормированного дискретного белого шума х[п1 рассмотрены в и. 2.8.1. Метод скользящего суммирования. Дискретные значения моделируемого процесса е,[п) формируются в виде скользящей суммы значений х[п1 с весовыми коэффициентами се.
и г[п1 = сх[п — Ц + сгхг[л — 21 +...+ снхн[п — Ф] = ) сех[п — Ц (275) Х[с[л11 Х [х[п]1 (2.76) где Х[9[п)1 =,) с[п)г ", Х[х[пЦ = Ч~ х[п)г ", г = ехр(рЖ), р = о +ро— =о а=в комплексное число, действительная часть которого выбирается из условия сходимости рядов Х[с[л11 и Х[х[л11, А1 — интервал дискретизации, Используя основные свойства г-преобразования: свойство линейности Х[Ах,[л1 + Вхг[лЦ = АХ[х,[л1 [ + ВХ[хг[л)1 и свойство сдвига Х[х[п — Ц[ = г Х[х[п~~, где г — оператор сдвига на Й интервалов дискретизации, находим г-преобразование выходного сигнала е[л1 в следующем виде: 95 Вид корреляционной функции случайного процесса, моделируемого с помощью алгоритма (2.75), определяется количеством и значениями весовых коэффициентов сь которые находятся на этапе предварительной подготовки к моделированию.
Алгоритм (2.75) описывает поведение некоторого дискретного линейного фильтра, который из нормированного дискретного белого шума формирует на выходе дискретный случайный процесс с заданными корреляционно-спектральными характеристиками. Передаточная функция К(г) этого фильтра определяется как отношение г-преобразования выходного сигнала Цп) к г-преобразованию входного сигнала х[л1: 2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах Х[с[п]] = Х~~ с~к[и — Ц~ = Х[х[п]]',) скг !км 1 Тогда в силу формулы (2.76) имеем К(г) =,) скх (2.77) Цп] = с,х[п-Ц + сзх[п — 2] + ... + с, х[п — Ф], Цп+ Ц = с,х[п] + сзх[п-Ц + ...
+ снх[п+1-У]ф с[и+2] = с,х[п+Ц + сзх[п] + ... + снх[п+2-М],.... (2.78) Зависимость (коррелированность) между дискретными значениями с[п] и с[п +к] случайного процесса обеспечивается в силу того, что в их формировании участвуют Ф вЂ” /с общих дискретных значений исходной последовательности х[п]. При й ~ Ф значения с[п] и с[п + к] становятся некоррелированными.
Дискретные значения Я(кои) = Я[к] корреляционной функции Я(т) в точках т = кМ, где к = О, 1, 2,...,У, сформированного случайного процесса Р[п] определяются следующим образом: ЯЩ = М[~[п]Р[п +й]]. (2.79) Подставляя значения с[п] и с[я+ )с] из соотношения (2.78) в (2.79) и учитывая (2. 74), получаем ЯГОД = с, + с~ + ... + сч =Й, Я[Ц = с1 сз + сзсз + ... + Сн 1сн~ (2.80) Я[п — Ц = с,сч, Я[Я] = О. 96 Для моделирования случайных процессов методом скользящего суммирования требуется решить задачу нахождения весовых коэффициентов се по заданной корреляционной функции или спектральной плотности мощности.
Существуют различные способы определения се. Рассмотрим некоторые из них. Способ нахождения весовых коэффициентов на основе решения нелинейной алгебраической системы уравнений. Используя выражение (2.75), найдем дискретные значения моделируемого процесса: 2.8. Моделирование сигналов и иомех Первое уравнение системы (2.80) записано с учетом того, что А(0)= Р, где Рс — дисперсия моделируемого процесса с(Г). Решая систему уравнений (2.80) при заданных значениях Я[Ц, можно получить весовые коэффициенты сь Пример. Определить алгоритм моделирования гауссовского случайного процесса с корреляционной функцией треугольной формы Я(т) = а (1-Ц/тв), )т(<т<„ 0, Полагаем, что Ф = т, /Ьт — целое число.
Пусть Ф = 4. Для этого случая система уравнениИ (2.80) принимает внд К[0] с1 + сг + сз + сл а Я[Ц = с, с, + с,с, + с,с4 =0,75а, Я[2) = с, с, + сзс4 = 0,5а', А[3) = с, с4 = 0,25а, 11[4) = О. (2.8 1) Нетрудно убедиться в том, что лля системы уравнений (2.81) все весовые коэффициенты се оказываются одинаковыми, т. е. с, = с, = ... = с „= с. Тогда нз первого уравнения системы (2.81) определяем с = а/~ГФ. (2.82) Подставляя равенство (2.82) в (2.75), получаем следующий алгоритм формирования случайного процесса: с[и) = [а/йГФ)') х[и — Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
