В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982) (Тихонов В.И. Статистическая радиотехника (2-е издание, 1982)), страница 6

Используя определение дельта-функции (/-1) и ее ивой- *Ввиду зтого в дальнейшем не делается существенного различия в исполь. аовании терминов «завов распределении» н «плотность вероятности», .20 ство (1-4), закон распределения дискретной случайной величины (1) можно записать в виде плотности вероятности и р (х) =;ь~', р, 6 (х — х,). (1.2.6) 1=! При этом для р (х) будут выполняться условия (4) и (5). Однако теперь выражение (5) следует конкретизировать, так как в граничной точке а может быть сосредоточена отличная от нуля вероятноеть, если в этой точке аргумент дельта-функции равен нулю. Поэтому применительно к дискретной случайной величине в интеграле (5) левый конец а нужно включить, а правый Ь исключить из интервала интегрирования а: и-о б-е Р(а($(Ь)= ) р(х)с(х=1(ш ( р(х)!(х.

а о а(о а е Очевидно, что постоянную величину с можно рассматривать как частный случай случайной величины $, принимающей впякий раз одно и то же значение с и поэтому имеющей плотность вероятности р (х) = 6 (х — с). (1.2.8) (1,2.7) Универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является функция распределения случайной величины.

Фуяя)(пей распределения случайной величины $ называется функция Р (х), равная вероятности того, что случайная величина $ примет значение, меньшее, чем х (для всех х на числовой оси): Р (х) = Р Д < х), — оо < х < оо. (1.2.9) На основании формулы (7) получаем связь между функцией распределения и плотностью вероятности: « — о Р(х)= ) р(у)ау, р(х)=дР(х)1с(х. ь-о Р(а(Ц(Ь)= ) р(х)!(х=Р(Ь вЂ” О) — Р(а — О), (1.2.11) а о Вид законов распределения и функций распределения дивкретной и непрерывной елучайных величин показан в табл.

1.1. "Запись 1 (та -(- О) !!пт 1 06 овывчлет, что беретоы привостороыиий пре! дел, в 1((а — 01 !пп1((1 — левостороыыий предел. 11!а 2( Функция распределения обладает следующими свойствами: Р ( — оо)аа = О, Р (+ оо) = 1; Р (х") ) Р (х') при ха,в х', т. е. Р (х) — неубывающая функция; вероятность попадания случайной величины в полузамкнутый интервал (а, Ь) равна разности значений функции распределения в этих точках хи В а ' С'3 !! Ф х х ах х х ох х Й 22 х х о 3 О з о Х Э ОЪ х Б х х хх Ф о ьь Я й х у х е а й х~ о »9 х а х ь Х х ха ах и " хь $ а ххх хох х х х х ь х х ха ха .С М !! !! Й "а а х х х *й Зх й й Ы и "(т ! ! во" -~Й ы ч ! Л ч а ОЙ й ы й о.'й йоБ о о й л о.

о с ы сс й и о сс о й ы й а а р3 ыо й Кй 3 й с Л р у ы В ы~ с ы а 4 а ' а с й йсн а я с ыйй сОы ой ййк ай й с < Ф ! а = ! и~» $:~ !! ~И» 6 сс д. сз с.с сс" Е !! ь сс ! --— !! о сч + И' ь ~ь -Д! !! ы. !! !! Й сс Сс сс со со Ю" 5 л ~ж й ы й олой оьыд Ыыо сс) о' ь ! ! 'сс м х ! с~ + х о!сс с )с с х~ о + с с х х +! ~~ сс э х х и о о 4и э8 "й э э э .8 л 2 х хэс 3 сс сс й э сс вь 3 эх $8 ~Е х !э 4г ! о~ сс + о-~ эс сс н о в' —: х О Ю эээ хэ х эо.хо а эх х х х ээээ эхх 4 о.хээ л х й оэ! О, + ~/ со х х э М 2 ох э охэ Ях о О и !! 4 с' э 1/ Х эс э х э х с асс э х э э с !! И Х Х ф Ф О а а 1 Х Х ИЕ х И Кц ф Х а 1 ХО вИе Х а й 3 а 6 Х Ц-„ "„а-" д„а фв~ 5Й <М +++ + ю аа !! !! + И + б Т 'Ф ! ЪР 4с~ и Х ах Х Х И !! в~ф М са!'1Г то су" а О ! ! Ч Фу о х Е !1 Ф ! о и О х д )~ х хи д 8 ~ у ~Ч ! » б и Ю О' и Од х хх и8 б ) д з х х х х д д д Я х д я Е м щ О х х у х ь д х х м хх х Р' ,"в 'х д Х « х х" о хо ох х В „хх х х х Х дх Д д 8 и Ч о ! +Чо "А Ь 8 о~„ + ! Л Ч д с~ 1 ь| ! ( 1! П д 8 а~+ о !! И' г~4~~ Х зн а~ м с~ ".„с~ ю" с" с," Ю ! Ь в Ь айИаЗ~ы о а в~ ~и о 3 4~ Ф М о ю С~ х 3: РВ Я в ~ эз Й и М й в Д Ю ь Ф 3~о Ю м з ~ ц~ В ф д въ| ~ фй ,„"6 ь с» с~ съ Ь~" ~' ~о Л ~ч У ~~ Г Ь" Ъ 3.О $ о:о -Н Й ~ ~,р л э„'д4~, ~и д~ о~~и~$ ч ЯЯе$2 ! .

Я"В ь|И »1 М о о "Ь !! К х И + !! Ф .В а'» Х 1, сч "! о Л с» . л И И Ф х с о ос ~4 Ф с ф Ф И с ол о Ф Ф». Ф 6 З Я Ф Ф Ф » е Ф с~ о Ф Ф »с Ф »» ос "о„, с Ф о Ф Ф Ыо с» ФФС Фос Ф Ф !. смете + ! ю Ф »» с »» б 8» х» сс б .ю 8 а! В -!- И ,|!е ъ !! О|Я ФЯ, М Ф с о 9» й а' ++ И !! !! й. !! Е !! ь! ф ! + И ! "« »» »! ! .о ь|,» Я»« ы» ь « ! о и ~~ И ф о'х ю о о » о х Ю о х фа о оь о ь о,ф О«' ф О х х о х с» И л ф ф и2 "-» а ф О О И Е »» О И И фа д И ы ф« ф ф е»' »» ф ф ф ф фаф «фа фа О, ~аф Иа ° ф а ч ! а Ч о о~ «« ф ю о о .о где р, (х) — неотрицательная функция, определяемая как предел (3) при х ~ х„ х„ ..., х„. Условие нормировки для плотности вероятности (12) имеет вид л ') рг(х) !(х+ ~ р,=1. (1.2.

13) (=! Функцию распределения можно предатавить выражением к О Х Р(х)= ) р(у)ду= ) р,(у)оу+ ~ч~~ рь м! < к (1.2.1 4) 1 Характер плотности вероятности и функции распределения непрерывно-дискретной алучайной величины показан в табл. !.1. Вместо закона разпределения или функции равпределения для характеристики случайной величины можно использовать характеристическую функцию. На основании определения математического ожидания (см.

(1.3.2)) характериетическую у!унк!(шо можно определить как математическое ожидание случайной величины ехр (/6$) или, что то же самое, как преобразование Фурье (с точностью до знака) от закона распределения' Ф (1б) = М (е!в1) = ) р (х) е!е" йх. (1.2.15) Применительно к диякретной случайной величине о плотностью вероятности (6) характеристическая функция примет вид Ф(16)= ~ч', р,е' "'= ~"', е' '! Р(5=х,). Использование характеристической функции в некоторых задачах упрощает вычисления. Часто вместо характеристичеакой функции Ф (1б) оказывается удобным использовать логарифм от нее: Ч" ()д) = 1п Ф (16).

(1.2.17) Функцию Ч" (16) можно назвать второй характериатической функцией случайной величины $. Характеристическая функция действительной скалярной случайной величины $ имеет следующие свойства: она непрерывна по д! 32 Скалярная случайная величина называется непреравно-дискретной (смешанной), если она принимает непрерывное множество значений, а в конечном или счетном множестве точек х„х„..., х„имеет конечные значения вероятновтей р„р„..„р„. Плотновть вероятности такой случайной величины $ определяетая формулой л р(х)=р,(х)+ ~', р,б(х — х,), (1,2.12) 1=! (1.2.21) Ф ( — )д) = Ф' ()д).

(1.2.19) где звездочка обозначает комплексно сопряженную функцию; если В = ай + Ь, где а и Ь вЂ” постоянные, то Ф„()д) = екм Ф, ()ад); если случайные величины $ и Ч независимы и ь = $ + В, то Фг()д)=Фт()д) Ф„()д); Ф(а>()д)= 0 ) =)е ~ х" е)о" р(х)!(х. (1.2.22) а' ц> ()д) да В теории вероятностей при весьма слабых ограничениях доказывается теорема единстегнногти: функция распределения (закон распределения) однозначно определяется своей характеристической функцией. На основании обратного преобразования Фурье и формулы (10) имеем р(х)= — = — ~ Ф()д)е->о'г(д)0.

(1.2.23) еР (х) 1 4х 2н Воспользовавшись равенством (11) и проинтегрировав соотношение (15) от х' до х", получим непосредственное выражение функции распределения через характеристическую функцию: -)ог" -)ох. Г (х") — г (х') = — ~ ~ Ф ()д) е(д. (1.2.24) — )д В частном случае, когда плотность вероятности является четной функцией р ( — х) = р (х), характеривтическая функция будет вещественной и четной: Ф ( — )д) = Ф ()д) = Ф (д). При этом формулы (15) н (23) примут вид пары косинус-преобразований Фурье: Ф(д)= ~ р(х)создх!(х, р(х)= — ( Ф(д)сов дхЯ. (1,2,25) 2н Итак, учитывая наличие однозначных соотношений (15) и (23) между законом распределения, функцией распределения и характеристической функцией, можно утверждать, что характеристическую функцшо в равной мере можно использовать для описания случайных величин. Приведенные выше определения плотноати вероятности (закона распределения), функции распределения и характеристической функции, а так>не соотношения между ними обобщаются на многомерные или векторные случайные величины.

Пусть многомерная случайная величина или случайный вектор В имеет составляющие или проекции $„$„... ..., Ц„. Каждая из действительных скалярных величин (проекций) $„ 1=-1, а, может принадлежать к одной из трех указанных ранее групп: дискретной, непрерь:вной и непрерывно-дискретной. Векторная слу- ~ 2 зак. 956 33 (1,2.26) чайная величина $ может иметь проекции, принадлежащие к разным группам. Универсальной характеристикой„пригодной для описания векторной случайной величины любого типа, является функция распределения. Функцией распределения влучайноео вектора З ($ь ..., $„) называется функция Р„(х)=*Р„(хь х„..., х,)=Р($«(хь Ц(хь..., $„(х„) = *к кз ) р„(иь.., и„) йиь..

ии, (1.2.28) т. е. вероятность произведения событий Д~ ~ я ), рассматриваемая как функция правых концов полубесконечных интервалов ( — со, х,), Перечислим основные свойства функции распределения случайного вектора. !. Функция распределения Р„ (х) случайного вектора 4 Р„ (х)-~ -к О, когда хотя бы одна координата векторал стремится к — ос, и Р„ (х) -~ 1, когда все координаты вектора х стремятая к + оо. 2.

Функция распределения Р„(х) является неубывающей и непрерывной слева функцией по каждой из координат вектора х. 3 Рв (хь ° -1"'1-ь '"'в х~+ь ° ° ю хв) = Ра-1 ("ь -ь х~-ь х~+ь -. ° э хк). Плотностью вероятности р„(х) = р„(хь х„..., х„) случайного вектора $ ($ь ..., $„) или совместной плотностью вероятности случайных величин $ь аь ..., $„называют предел отношения вероятности попадания алучайной точки в бесконечно малый многомерный параллелепипед ао аторонами Ьхь Лхь .

„Лх, к объему стого параллелепипеда при стягивании его в точку (х„х„..., х„): р„(х) = р„(хь ..., х„) = 1!ш Р («« ~~ Ь с ««+С«ь ..., «и ~ $п ~ «к+с«к) Ьлз Л««... Лх„ «Ф ~п (««« ° ° в «к) (1.2.27) дха... д«„ Отметим, что функции распределения — безразмерные величины, а плотность вероятности р„(х) имеет размерность (14" 1.

Плотности вероятноати должны удовлетворять следующим четырем условиям: 1) условию неотрицотельновти р„(хь х„..., х„) ) О; 2) условию нормировки ~ р„(хь х„..., х„) йх, йх ... йх„= 1; (1.2.29) к, Я Р„(хм..., х„) = ~ ... ~ р„(х1,..., х„') дх(... дх.'. (1.2.31) Вероятноеть попадания елучайного вектора $ в область 3 определяетоя формулой РД ~Я= ~р„(х) ох (1.2.32) или в координатной форме Р(6ь$»! -,5»)6Я ~ "~р (х„...,х )дх,...дх„.