Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 62

г и у — а б 6.) "15) Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле. Рассмотрим в поле рациональных дробей К (Х) структуру порядка, при которой К (Х) является упорядоченным расширением поля К. Показать, что эта структура определяется множеством А тех а б К, которые мень- ше Х (повевать, что энак каждого многочлена 1 над К определяется множеством А, испольэуя предложение 9). Обратно, покаеать, что каждому мложеству А с К такому, что иа л Р А и у ~ а вытекает, что у б А, соответствует на К (Х) структура упорядоченного расшире- ния, при которой А совпадает с множеством тех а б К, которые мень- ше Х (тем же методом).

Если А обладает наибольшим алементом, илв СА наименьшим элементом, либо еслиА = К или А = ф, то структура порядка, определяеман на К (Х) мяожеством А, такова, что К (Х) весравгпп1о с К. Если, наоборот, А и СА не пусты и если не существует ни наибольшего элемента в А, ви наименьшего элемеата в СА, то поле К (Х) сравнимо с К. 16) Используя улражневие 15, дать пример поля Е, наделенного несколькими структурами упорядочевшах полей, которые не могут быть получены одна иэ другой с помощью автоморфиама поля Е, Испольауя это, дать пример поля Е, наделенного структурой порядка, согласованной с кольцевой структурой, по при которой Е не решеточ- но-упорлдочено (рассмотреть диагональ множества Е Х Е к исполь- зовать упражнение 5).

*17) а) Если К вЂ” архимедовски упорядоченное поле (упражне- пие 11а)), а и у — два элемента иэ К такие, что х ч„у, показать, что существует таъое число г б Д, что ач. гч. у. 'Вывести отсюда, что не существует других упорядоченных подполей поля В, ивоморф- вых К., б) В поле К = О(Х) рассмотрим структуру порядка, при которой Х ) О и Х бесконечно велвк относительно 41 (упражнение 15). Покивать, что поле К сравпвмо со своим подполем 4> (Ха) и дать пример двух элементов х, у иэ К таких, что х ( у, н не существует эле- мента иэ О (Ха), лежащего между а и у. в) Пусть К вЂ” упорядоченное поле, определенное в б); покааать, что миогочлен'г(У) = (Уэ — Х) (Уа — 4Х) — 1 над К неприводим, но обладает корнями в каждом максимальном упорядоченном расширении поля К и что г(а) ) О для всех а б К.

упогядочвнныв ггуппы и поля гл. хц 12 *18) Пусть К вЂ” упорядоченное поле, Š— чистое расширение поля К, (Х„)„— чистый базис расширения Е (гл. 'Ч, "З 5, определение 1). а) Если поле К архимедово, то для того, чтобы в Е можно было ввести структуру упорядоченного расширения поля К, при которой Е сравнимо с К, необходимо и достаточно, чтобы мощность множества 1 была не больше мощности базиса трансцендентности поля В над К (где К рассматривается как подполе поля В; см. упражнение 17а)). Множество всех таких структур тогда эквивалентно множеству взаимно однозначных отображений 1 множества 1 в В таких„что 1(1)— ллгебраически свободная система над К. б) Если поле К не архимедово, то на Е всегда существует по крайней иере одна такая структура упорядоченного расширения поля К, что Е сравнимо с К.

(Когда 1 состоит иа одного элемента, использовать упражнение 15, аамечая, что С не может иметь верхнюю грань и К; распространить на общий случай с помощью теоремы Цорна.) 19) 'Пусть К вЂ” подполе в В, 0 — действительное число, алгебраическое над К. Показать, что число структур упорядоченного расширения в поле К (О) над К равно количеству действительных чисел, сопряженных с 0 (использовать упражнение 14а) и 17а))., *20) Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле, С вЂ” подполе в К.

Показать, что множество расширений поля С, сравнимых с С и содержащихся в К, индуктивно; если Еэ — максимальный элеиевт этого множества, покааать, что Еэ иаоморфно полю К (С), определенному в упражнении 11 б) (доказать, что каноническое отображение Р(С) на К (С) отображает Ее на К (С), установив вначале при помощи упражнения 14а), что Еэ — максимальное упорядоченное поле, потом с помощью упражнения 15, что в К (С) не существует элемента, трансцендентного над канояическим образом поля Еэ). 21) а) Пусть К вЂ” максимальное упорвдочеиное поле, т и М— два элемента из К, причем т ( М. Показать, что каждый миогочлен 1 б К (Х), положительный в интервале [т, М), представим в виде суммы многочленов вида (аХ + Р) уз, где я б К [Х[, а многочлен аХ + р положителен в [т, М).

(Для многочленов первой степени это очевидно, а для многочленов второй степени можно воспользоваться следующими фориулами; (Х вЂ” а) (Х вЂ” Ь) = (Х вЂ” Ь)з+ (Ь вЂ” а) (Х вЂ” Ъ), (Х вЂ” а) (Ь вЂ” Х) = НХ вЂ” а) (Ъ вЂ” Х)з+ (Ь вЂ” Х) (Х вЂ” а)з)ДЬ вЂ” а) при а ( Ь.) б) Показать, что результат упражнения а) не всегда справедлив, если К вЂ” проиавольное упорядоченное поле. (Заметить, что много- член может быть положителен в К, но не в максимальном упорядоченном распшрении поля К; см.

упражнение 17в).) УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 289 «22) а) Пусть Š— алгебраическое замыкание поля К, являющееся расширением поля К степени д,где д — простое число. Показать, что воле К совершенно (гл. Ч, 1 8, и' 1). б) Покааать, что д не равно характеристике поля К (гл. Ч, з 11, упражнение рб)). в) Покааать, что К содеряит корни д-й степени иэ 1, и что Е является полем корней непрнводимого над К многочлена Х» — а; вывести отсюда, что д = 2 (в противном случае иа упражнения 12, $11, гл.

Ч следует, что Х» — а неприводям). Показать, кроме того, что — а является ивадратом в К (упражнение 12, $11, гл. Ч), но что — 1 не является квадратом в Х и что Е = К («) (П = — 1). г) Предположим теперь, что К таково, что его алгебраическое замыкание Е имеет конечную, отличную от 1 степень над К. Показать, что г б х и что е = к (г) (если е+ к (1), то из теории Галуа следовало бы, что существует такое поле Р, что К(1) ~ Р ~ Е и что Е имеет простую степень над Р; применить в)). Вывести отсюда, что К максимальное упорядочиваемое поле (следовательно, в нем можно ввести некоторую структуру макснмального упорядоченного поля) (сокааать индукцней по н, что каждая сумма н квадратов элементов из К является квадратом элемента из К; для доказательства того, что а' + Ь' является квадратом, рассмотреть квадратные корни х + «у из элементов а + вь в поле к (1)).

"23) Пусть Х вЂ” нвнвммутативнвв тело. а) Показать, что если часть Р ~ К удовлетворяет условиям (АРГ), (АРП), (АРПГ) и (АРП«), то свойства упорядоченных полей, изложенные в и' 1 и 2, распространяются на «некоммутативное упорядоченное тело« Х, и что Р содержит множество С сумм произведений квадратов элементов из К. б) Показать, что Р содержит коммутаторы хуэ гу г элементов иэ К (покааать, что каждый коммутатор есть проиаведение квадратов; ааметить, что в факторгруппе 6 ~руины К" по подгруппе произведений квадратов каждый алемент имеет порядок 2, н следовательно, 6 абелева). в) Покааать, что если — 1 не является суммой проиаведений квадратов, то в К существует часть Р, удовлетворяющая условиям (Ар») (АРН) (АР«п) и (АРГ») (следуя доказательству теоремы 1]. г) Пусть 6 — упорядоченное поле и а — отличный от тождествевного автоморфизм поля 6. Рассмотрим (некоммутативное) тело К «формальных левых рядов« ~ а„Х" (ан б 6), где Х"а = сэ (а) Х" н -ь (гл.

1Ч, 3 5, упражнение 10г)). Пусть а отображает каждый положителуный элемент из 6 в положительный элемент; показать, что множество Р тех элементов иэ К, ненулевые члены наименьшей степени которых имеют положительный в 6 коэффициент, удовлетворяет условиям (АРг), (АРН), (АРН»), (АРРУ) н определнет в х структуру 290 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ ГЛ. 71, т с упорядочевяого пекоммутативпого тела.

Показать, что в качестве поля С можно взять ноле (обычпых) формальпых степенных рядов 0 ((У)), а в качестве положительных злемеитов этого поля — множество формальных рядов ~ г„У", иекулевые коэффициенты в членах капо=-а мепьшей степеки которых положительвы; автоморфизм и определим с помощью равенства п(У) 2У; тогда тело К пазываетса степом формальиых рядов Гильбертае.

ед) Показать, что пскоммутативпое тело пе может быть архимедовски упорядоченным (применить предложение 1 Общ. топол., гл. У, $2 к мультиплпкативиой группе положительных злемектов тела)., УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ Глава 1 в' 2Ч(г>,.....,...1Ч 1 Х, (переменная).... 1Ч 1 1 А [ХА е Р А [Хс, Х;а..., р А [Х[, А[Х, У, 2[, А[Х [щрг....... 1Ч 1 2 дед и, дейк и (и — невУ- левой мвогочлен) ..

1Ч 1 3 у(х) (( — многочлев одной переменной) .. 1Ч 2 1 ( [ю[ [ Кх,)) (( ...,х~ ) (1 — многочлен, х„— понарво переставовочные зчемевты) ..... 1Ч 2 2 А[ю[, А[*,!,у А[хй, хьр ..., хс[, А[М) 1Ч 2 1 /((Х„)), ((Х„Х,, ..., Хл) (1 — многочлен, Մ— переменные) „..

1Ч 2 2 Е (1 — многочлен) ... 1Ч 2 3 К(Х„),ЕГ К(Хн Хю " ...,Х) .......1Ч 3 1 1(ю), 1((х„)) (т' — рациональная дробь, Х=- =(х,) — семейство, допускающее подста- вовяувД..., .. 1Ч 3 2 К(ж) К(х1)аср К(х1 хс,...,х„), К(М) . „1Ч 3 2 Глава $ в 1Ч 3 3 1Ч 4 1 1Ч 4 1 1Ч 4 1 1Ч 4 1Ч 4 3 1Ч 4 3 4 1Ч 4 4 У((Х,)) 1(Хн Хт - Хл) (1 — рациональная дробь, Хг †переменные) М, КУ(Х„..., Хр,. Уг Ур) (1 много член) дУ, Ч(Х„..., Х„;У,... Ур) (( — много- член) ау Р г ~д,1 дХ, 1х,.

Ц вЂ” многочлек) РЬ вЂ” (' (( — многое) дХ ' член одной веренева ой) [Рн Рт! (Р» Рт — лифа ренцирования алгебры) Я (Е) (Š†алгеб) (Г' — многочлев с кон зффнциентами из А, Р— диффереяцироваиие в А) Р;Ь дХ, 1» (1 — рацид( ональнаидробь) д/ — — (( — рациональнан дх~ дробь, (х1) — семейство, допускающее подстановку в Б . 292 чклзлтель ОБОзнАчений Глава 1 в' АЦХ,ЦГ„, АЦХ,, а (и), ы,Г (и) (и — формальный ряд) Ч~~~ ~их, иа +ил +...

ХЗЬ Г В "'+ иа, +"' ((иь)ХЗЬ суммируемое семейство формальных рядов) 7(и1, иа, ..., ил)(7 — формальный ряд и~— формальные ряды беа свободного члена) . к((х„х„..., х,)), к ((х)) ы (и) (и — формальный ряд из К ((Х))) ди 77Ги, — (и — формаль* дх, ный ряд) йи, йи(х, ..., х; Чп ..„Чл) (и — фор- мальвыв ряд) .

Аа(А — часть поля, ха- рактернстическан эк с- понента которого р) йпв а1кЕ. й(ткЕ (Е— расширение поля К) 1Ч 5 1 1У 5 2 1Ч 5 4 1У 5 5 1Ч 5 7 1У 5 7 1У 5 8 1У 5 8 Ч 1 2 У 5 3 лава 1 и Ч 7 1 Ч 8 1 Ч 8 1 Ч 8 4 10 6 У 10 6 Ч11 1 У 11 2 У 11 2 У 11 3 Ч11 5 Ч11 5 Ч11 5 Ч1 1 8 Ч1 1 8 Ч1 111 Ч1 2 4 Ч1 2 6 Г 1)я(К вЂ” подполе ()) . хв, хыв к ', к'", к (К вЂ по, характеристическая экспонента которого р) (Е:К)н (ЕГ к)Г . 5(ЕГП (х), г(К (х), М(х) ТгеГА.

(х) Хге (х)~ ТГ (х) р() Еи (К) 'ри хор, х)у (х) х ав х' (шой у) авр х (Р— часть упорндоченяого мношества Е) н. о. д (х~), н. о. к (хГ) х+, х-, ) х) (х — элемент решеточно-упорядочеяяой группы) . ) а (а> 0 — элемент упорядоченного ноля) )в) (в — влемент К(1), где К вЂ упорядоченное поле н (в= — 1 УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ Раааа 1 п Вс 3 3 3 Рокка 1 У, 10, У, 10, Ч, 10, Абелвво вамыкание коля — расгвирение — уравнение Абсолсотное вначение 351Г (В (1à — ушср»- доченное поле) — — в решеточпо-упор»доченной группе Алеебра срадуированная — многочленов — формальнььч стеиенных рядов Алвебраически еависимые влементы У1, 2, Бовис линейный расширения......... У, 5, — сеиарабельный трансцендентности расширения........