Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 61

2) Пусть А — совершенно упорядоченное кольцо. Пусть и— множество нильпатентных элементов иа А (являющееся идеалом в А); каждый элемент кольца А, не принадлежащий п, является бесконечно большим относительно и. Фактор-кольцо А/в совершенно упорядочено ($1, упражнение 4) и не имеет делителей нуля. 3) Пусть Р— множество алемевтов поля Ч, образованное нулем и рациональными числами, ие меньшими (в обычном смысле) чем едишща.

Покааать, что Р удовлетворяет аксиомам (АР1), (АРН) и (АРпг). е4) а) Пусть К вЂ” поле, Р— часть из К, удовлетворяющая условиям (АР1) (АРп) и (АРН1) и такая, что ке с- Р (где к' — множество квадратов элементов из К); показать, что если * ) О при структуре порядка, определенной множеством Р,(то х г ) О; вывести отсюда, что множество К2 строго положительных элементов иа К является подгруппой мультипликативиой группы поля К. б) В воле Д единственным множеством Р, удовлетворяющим условию а), является множество тех рациональных чисел, которые ) О (при обычном порядке). в) Пусть Р— часть в К, удовлетворяющая условиям (АРг), (АРН). (АРПП, такая, что 1 б Р, и пусть при порядке, определенном множеством Р, из первенства х ) О следует, что х г) О.

Показать, что для положительных у и с из у') з' следует, что у ) с. Вывестн 1 отсюда, что для любого у ) Π— (у + у г) ) 1 — и г для каждого 2 е'2ен'~ шелога л ) О. (Заметить, что (у+у ')еш) ( / для всякого целого УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ гл.чг, 22 нь) О.) Вывести отсюда, что если структура порядка аддитивпой группы поля К, определенная множеством Р, архимедова (1 1, упражнение 31), то (у — с)' ) 0 длл каькдой пары у, э элементов иэ Р; если К' — подполе в К, порожденное множеством Р, то к') 0 для каждого э б К'. г) Пусть К = В (Х) — ноле рациональных дробей от одного переменного над полем К; пусть Р— множество, образованное нулем и теми рациональными дробями и б К, для которых при каждом действительном числе 1 виачение и (г) определено и больше нуля.

Показать, что Р удовлетворяет условиям в) и порождает К, но что существует такой элемент и б К, что эь й Р. 5) Пусть К вЂ” поле, Р— его часть, определяющая в К структуру решеточной упорядоченности, согласованную с кольцевой структурой поля К. а) Покаэать, что если к~Π— такой элемент, что (кч) 1) О, то (к+к)» = (к+)ч. б] Вывести отсюда, что если неравенство х ) 0 влечет неравенство к " ) О, то К совершенно упорядочено. 6) Поле К = 1) (Х) рациональных дробей от одной переменной над полем ~1 порождается множеством К' своих квадратов. Покаэать, что множество Р сумм квадратов элементов нэ К определяет не решеточную упорядоченность, согласованную с кольцевой структурой поля К, прн которой иэ н ) О следует, что йг ) О.

7) Для того чтобы в поле К, имеющем характеристику ~2, каждый элемент был равен сумме квадратов некоторых элементов, необходимо и достаточно, чтобы — 1 представлялась в виде суммы квадратов. (Заметить, что каждый элемент иэ К есть равность двух квадратов.) ч6) Пусть А — непустая часть поля К характеристики, отличной от 2; поле К называется А-унорядачиваемым, если ни один элемент иэ А не является суммой квадратов элементов иэ К. Поле К навывается упорядачиеаемым, если на К можно ввести совершенную структуру порядка, согласованную с кольцевой структурой поля К. а) Покаэать, что если поле К А-упорядочиваемое, то оно упорядочнваемо и, следовательно, имеет характеристику нуль. б) Показать, что всякое алгебраическое расширение н всякое чистое расширение нечетных степеней А-упорядочнваемого поля К сами являются А-упорядочнвасмыми полями (рассуждать как в предложении 3).

в) Пусть К вЂ” А-упорядочиваемое поле и пусть элемент Ь б К ие моячет быть представлен в виде са — А, где а б А, а с и А — суммы квадратов элементов иэ К. Показать, что поле К (У"Ь) А-упорядочиваемо. г) Поле К называется максимальным А -упоркдэчимаемям, если не существует отличного от К алгебраического расширения поля К, УПОРЯДОЧБННЫП ПОЛЯ 285 являющегося А-упорядочнваемым. Покаэать, что мансимальное А-упорядочиваемое поле К обладает следующими свойствами: 1е поле К иафаеереее, т.

е. каждая сумма квадратов элементов иа К есть квадрат; 2' ни один элемент нз А не является квадратом; 3' каждый элемент иэ К, не являющийся кнадратом, представим в виде еэа — е)э, где а б А; 4' каждый многочлен иэ К (Х! нечетной степени имеет в К по крайней мере один корень (испольэовать б) н в)). д) Показать, что если поле К удовлетворяет четырем условиям г), то каждый алгебраический над К элемент нвляется элементом 2ч-й степени над К. (Рассуждать, как в предложенкн 8 индукцией по экспоненте 2 в степени рассматриваемого элемевта.) Покаэать, с другой стороны, что никакое квадратичное расширение поля К пе является А-упорядочиваемым.

Вывести отсюда, что иоле К является максимальным А-упорядочиваемым е). е) Пусть К вЂ” А-упорядочиваемое поле, И вЂ” алгебраическн замкнутое расширение поля К. Показать, что существует максимальное А-упорядочиваемое поле Е, содержащееся в 'П и содержащее К. (Ислольаовать б), в) н д).) 9) Пусть д — целое натуральное число, не являющееся квадратом; в ноле К==(7 (у' а) пусть А состоит иэ — 1 иа )е д; покаэать, что поле К А-упорядочнваемо.

Показать, что существует алгебраическое расширение Е поля К, являющееся упорядочиваемым, пкфагоровым и таким, что каждый мяогочлен над Е нечетной степени имеет в поле Е корень, но что в Е нельзя ввести структуру максимального упорядоченного полн.

(Рассмотреть максимальное А-упорядочиваемое расширение поля К.) е10) а) Пусть К вЂ” упорядочиваемое поле, Š— его расширение Галуа. Покаэать, что либо Е упорндочиваемо, либо существует упорядочиваемое алгебраическое расширение Р поля К, содержащееся в Е и такое, что Е нвляется квадратичным расширением поля Р. (Испольэовать теорему 1, гл. У, 1 10).

б) Покаэать, что многочлен Хе+ 2 неприводим под () и что если К вЂ” расширение 4-й степени поля 4), получаемое присоединением к () корня этого многочлена, то К не содержит никакого упорядочиваемого кодполя, отличного от (). (Определить подпоив поля К с помощью теории Галуа,) 11) Пусть К вЂ” упорядоченное поле и 0 — его подполе: а) Показать, что для того, чтобы элемент а~0 был бесконечно большим относительно 0 (уира;кнение 1), необходимо и достаточно, *) Испольэовать теорию Галуа' и следующий реэультат теории групп; пусть дана конечная группа Г порядка ре, где р — простое число,и подгруппа Ь~Г группы Г; тогда существует подгруппа Ье группы Г порядка рч-г, содержащая й (см.

П. 2 а э а е и Ь а и в, ТЬе 1Ьеогу о1 йтопрэ, Нем г"ог)е, СЬе1ае РвЫ. Со., 1949, стр. 107 (см. также М. Х о л л, Теория групп, ИЛ, Москва, 1962, стр. 59. (Призь. иерее.)). 19 Н, Бурбаки 286 УПОРЯДОЧ ЕННЫИ ГРУППЫ И ПОЛЯ гл. Чг, $2 чтобы х» был бесконечно малым относительно 6. Говорят, что поле К срасяимо с 6, если в К не существует бесконечно большого относительно 6 элемента (и, следовательно, ве существует отличного от нуля бесконечно малого относительно С элемента). Для того чтобы воле К было сравнимо со своам вростым подкопам 6, необходимо и достаточно, чтобы аддитиввая грувпа поля К была архь асдсва (1 1, упражнение 31) и, следовательно, чтобы К было иаоморфпо подколю поля Е ($1, упражнение 33 в)). б) Показать, что в кольце Р (6) элемевтов из К, не являющихся бесконечно большими относительно С, множество » (С) бесконечно малых относительно 6 элементов является максимальным идеалом; кроме того, структура порядка в факторкольце К (С) = Р (С)П (С), ипдуцированвая структурой порядка кольца Р (6) ($ 1, улражкение 4), совершенна и согласована с кольцевой структурой.

в) Показать, что каждый класс по шос] Х (С) может содержать лишь один элемент иэ С. Вывести отсюда, что кавоническое отображение поля С в К (6) является иэоморфизмом упорядоченного поля 6 ва подвале 6' уворядочеввого поля К (6) и что К (6) сравнимо с С'. 12) Пусть К вЂ” максимальное упорядочеввое поле, ) — много- член над К, а и Ь вЂ” два корня миогочлева ] в К такие, что а <. Ь и ] ве имеет корней между а и Ь. Показать, что если у — рациональная дробь вад К, эпамепатель которой не обращается в нуль при а' « х « Ь, то уравиевве 1 (х) у (х) + ]' (х) = О имеет вечетвое число корней в (а, Ь) (испольэовать предложение 5).

Вывести отсюда, что если Ь вЂ” рациональная дробь над К, обращающаяся в вуль между а и Ь, знаменатель которой не равен нулю в (а, Ь), то уравнение Ь' (*)=О имеет по крайней иере один корень в (а, Ь) (»теорема Ролля»). 13) Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле, Ь вЂ” рациональная дробь над К, (а, Ь] — эамкнутый интервал, в котором Ь всюду определена. Пока»ать, что существует такой элемент с б (а, Ь), что Ь (Ь) — Ь (а) = (Ь вЂ” а) Ь' (с) (»теорема о среднем»; испольэовать »теорему Ролля», см.

упражвение 12). Вывести отсюда, что для того, чтобы Ь (х) был воэрастающей функцией в ]а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Ь' (х) > О в этом ивтервале (для докаэательства необходимости разбить втот ивтервал корнями уравневия Ь' (х) = О). *14) а) Пусть К вЂ” максимальное упорядоченное поле, Е— подполе в К и 1 — мвогочлев над Е; показать, что все корни много- члена 1, лежащие в К, принадлежат р (Е) (упражнение 11б)) (использовать предложевие 4). Вывести отсюда, что если 6 — подполе в К и Е с- К вЂ” расширение поля С, сравнимое с С (упражнение 11), то множество элементов иэ К, алгебраических над Е, обраэует максимальное упорядоченное поле, сраввимое с С. б) Вывести иэ а), что поле К (С) (упражпение 11) при условиях упражнения 14 а) является максвмальвым упорядоченвым полем.

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ 287 в) Пусть 1 — многочлен над б степени ) 1. Докааать, что для того, чтобы элемент 1(1) был бесконечно большим относительно С, необходимо и достаточяо, чтобы элемент г был бесконечно большим относительно 6; для того чтобы (1) был бесконечно малым относи- тельно С, необходимо и достаточно, чтобы г было равно (шоб 1(С)) корню многочлена ( в К. (Разбить К на интервалы корнями многочле- нов 1 и 1', лежащими в К, к использовать упражнение 13; ааметить, что если а( гиэлемент а б К несраваим(шоб 1(С)) с г, то существует такой у б К„ что а ч. у ч.