Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. IV-VI. Многочлены и поля. Упорядоченные группы (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 59

Строго положительные элементы поля образуют, следовательно, мультипликативную совершенно упорядоченную группу. С другой стороны, всякое упорядоченное поле имеет характеристику нуль (предложение 1). ПРедлсжение 2. Пусть А — совершенно упорядоченная область целостности, и пусть К вЂ” ее поле оганошений. ю К существует единственная структура порядка, индубирующая на А заданную структуру и превращающая К в упорядоченное поле. Каждый элемент хб К записывается в виде х = аЬ ', где а и 6 ~ А. Если х положителен, то а и Ь одинакового знака, и обратно. Следовательно, видно отсюда, что если на К существует отношение порядка, удовлетворяющее заданным условиям, то оно единственно, и множество положительных элементов Р совпадает с множеством тех отношений а6 ', у которых а и Ь вЂ” элементы из А одинакового знака.

Остается, следовательно, показать, что Р удовлетворяет условиям (АР«), (АРН), (Арнч) и (АРзу). Это очевидно для (АРн) и (АРБУ). Для проверки (АРг) рассмотрим элемент аЬ ' + сс( ', где а, Ь, с, с( мы можем считать положительными. Эта сумма записывается в виде (асс -)- 6с) (Ы) ', и (ад -)- Ьс) и Ьс( положительны. Для проверки (АРРИ) рассмотрим равенство вида а6 '= — сб ', из которого следует, что ас( -)- Ьс = О. Если предполоиочть, что г/«18 Н. Бурбаки 274 упОРядочкннык ГРуппы и пОля Гл, нг, т2 элементы а и Ь одного знака и то же самое для с и г(, то правило знаков показывает, что ааг и Ьс одинакового анака; отсюда вытекает, что агг = Ьс = О и а = с = О; следовательно, множество Р на самом деле удовлетворяет аксиоме (АРггг).

П риме р . Поскольку 2 допускает едпнствеввую структуру совершеныо упорядоченыого кольца, то поле () допускает едпыственную структуру порядка, при которой () — упорядоченное поле; это обычная структура порядка поля (г. З. Т'оегггнретсне упорлдоггенньгх полей Опгкдкльннк 3, Пусть К вЂ” упорядоченное поле и Š— неко- торос расширение К. Говорят, что структура порядка на Е определяет на Е структуру упорядоченного расширения поля К, если она определяет на Е структуру упорядочснпого поля и если она индуцирует на К ваданную структуру. П р и м е р ы. 1) Каждое упорядоченное поле К является упорядоченным расширением поля (г.

Б самом деле, так как К имеет характеристику пуль„оно является расширением поля (В. С дру~ой стороны, как мы только что убедились, () может быть упорядочено единствеаныы образом. 2) Пусть К вЂ” упорядоченное поле, К (Х) — поле рациоыальиых дробей от одной переменыой ыад К.

Определим структуру порядка в кольце мыогочленоз К (Х ), беря в качестве положительных элементов те многочлены, у которьгх старший коэффициент положителен. Полученное такам образом кольцо совершенно упорядочено, прнчевг отношение порядка в ыем является продолжением отношения порядка в К. Применяя предложение 2, определим в К (Х) структуру упорядоченного расширения поля К. Для К В можно показать, что определенное такиы обраэоы на К (Х) отношение порядка совпадает с порядком роста в окрестности + со (см. предложение 4, книга !Н, гл.

Н). Ткоэкмь (. Для того чтобьг расширение Е упорядоченного полл К допускало структуру упорядоченного расширения полл К, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось следующее условие: (УР) Иг соотношения р,хг +... + р„х'„= О следуют равенства р,х, =. рзхз =... — — р„хя = О для каждой конечной последовательности (хг, р,) пар, соспшяи(их иг элементов х; ~ Е и положительных элементов рг ~ К.

УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЧЯ 275 Условие (УР), очевидно, эквивалентно условию (УР)' — 1 не является суммой элементов вида рх', (х ~ Е, р ~ К, р> О). Условие является необходимым, поскольку элементы вида р;хэ положительны, а равенство р~х*; = 0 эквивалентно р~х~ = О. Чтобы доказать достаточность условия, мы определим сейчас на Е отношение порядка, построив часть Р С Е, удовлетворяющую условиям (АР~), (АРп), (АРРП) и (АР,Р), и содержащую множество К+ положительных элементов поля К. Такая часть Р действительно будет определять на Е структуру упорядоченного расширения поля К, так как будет иметь место равенство К П Р = = К.ь; в самом деле, если бы множество Р содержало элемент — а (О из К, то элемент а принадлежал бы множеству Рп ( — Р), вопреки условию (Арпд. Чтобы определить Р, рассмотрим множество % частей поля Е, удовлетворяющих аксиомам (АР ), (АРП) н (АРэп) и содержащих объединение К+ с мноэкеством С квадратов элементов поля Е.

Это множество % не пусто, так как оно содержит множество Рэ элементов вида Хр~х) (то, что Р, удовлетворяет аксиоме (АРПП) нелэедленно следует из условия (УР)). Кроме того, % является индуктивным. Поэтому в силу теоремы Церна существует максимальный элемент Р ~ %, о котором нам остается доказать, что он удовлетворяет условию (АР1у); а это вытекает из следующей леммы: Лемма.

Пусть Р ~ % и х ~ Р; тогда суи1ествует такое мнохсество Р' Е %, что Р С Р' и — х Е Р'. Положим Р' = Р— хр и убедимся, что Р' обладает требуемыми свойствами. Так как 0 ~ С С Р, то Р С Р'. Отсюда С ~ Р' и Кв С Р'. Так как 1 ~ С ~ Р, то — х с Р'. Имеем: Р' + Р' =Р— хР+Р— хР=Р+Р— х (Р+Р) г Р— хР=Р', откуда следует условие (АР~). Имеем далее: Р'Р' = (Р— хР) Х х (Р— хР) = РР + х'РР— х (РР -(- РР) С ' Р + СР— хр С- Р— хР = Р', откуда следует (Арп).

Проверим, наконец, . свойство (АРп~): пусть имеется равенство р — хд = — (г — хэ), где р, д, г, в принадлеяэат р; отсюда следует х (э -(- д) = р +г, если (э + д) Ф О, то х = =(э -(- д)-' (э + д) (р -(-г) г= СРР С: Р в противоречии с 18э гл. ш, 12 276 УПОРЯДОЯЕННЫЕ ГРУППЫ И ПОЛЯ предположением; следовательно, з + д = О, откуда р + г = О; так как Р удовлетворяет (АРГН), то отсюда следует, что з = = д =- г = р = О, чем доказательство заканчивается. Следствие (чтеоггмл Агтинл — Шглйегл»). Для того чтобы в иоле Е существовала структура порядка, ирсвращающал К в упорядоченное иоле, необходимо и достаточно, чтобье из равенства хс+...

+х,',=О вытекало, что х,=х,=....=х„. Необходимость очевидна. Обратно, из данного условия вытекает, что Ю имеет характеристику нуль и, следовательно, может рассматриваться как расширение ноля (); тогда имеет место условие (УР), и теорема 1 показывает, что в .Е можно определить структуру упорядоченного расширения поля е ), другими словами, структуру упорядоченного поля.

В поле В не лозсет существовать структура упорядоченного поля, если — 1 есть квадрат некоторого злемента. В частности, зто справедливо для влгебравчески замкнутого поля. 4. Алгебраимегнме расеаиренмн упорядоесетс>сьсгс»го.сей В »том параграфе (зв псключеппем предложеввя 8), мы будем отождествлвть для краткости мпогочлены и полввомивльвые фушщви. Это пе представит неудобства, так квк поля козффвцвептов имеют характеристику нуль и, следовательно, бесконечны (гл. 1»е', 1 2, п' 5, предложевяе 9). Пусть К вЂ” упорядоченное поле и 7' многочлен над К.

Мы скажем, что 7 меняет знак в К, если существуют два элемента а, Ь~К такие, что 7(а) 7(Ь)(О; говорят тогда, что 7' меняет знак между а и Ь. Пгедложенпе 3. Пусть К вЂ” упорядоченное поле и ) — нгприводилсый над К лсногоч.ген, меняющий знак в К между а и Ь. Поле К = К [Х] /(~) допускает тогда структуру упорядоченного рапаирсния полл К.

Доказательство проведем индукцией по степени и много- члена 7'. При п=1 имеем К=К, и утверждение тривиально. Пусть наше утверждение справедливо для всех степеней <п — 1. Методом от противного докажем, что оно справедливо для и. и силу (УР)' мы можем предположить, что справедливо неко- 277 УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ торое соотношение вида 1+а рф(Х) ге 0(шой['(Х)), где ЛЕК]Х] и реЕК .

Без ограничеяия общности можно считать, что степени много- членов (е не превосходят и — 1 (гл. 1е, б 3, теорема 1). Имеем тогда 1+," р,(](Х) и й(Х)1(Х), где А Ф 0 — мяогочлен, степень которого не превосходит п — 2. Заменяя в предыдущем равенстве Х на а и Ь, видим, что Ь(Ь) 7 (Ь) ) 0 и й(а) 7 (а) ) О.

Так как, согласно предположению, многочлен 1 меняет внак между а и Ь, то 6(а) Ь(Ь)(0. Тогда неравенство того же вида выполняется для одного из неприво- димых множителей д (Х) многочлена Ь (Х): К (а) а (Ь) ~ О. Но 1+~ ре(](Х) ки 0 (шее[К(Х)), а зто означает, что в поле К ]Х]/(К) г нельзя ввести структуру упорядоченного расширения поля К (теорема 1), что противоречит предположению индукции. Замечание. Над упорядоченным полем К могут существовать неприводимые мпогсчлевы Д ве меняющие анака в К, яо такие, что поле К[К]/(1) обладает структурой упсрядсченногс расширевия поля К (см.

упражнение [7в)). Для применения предыдущего предложения нам понадобится следугощий результат[ Пгедложение 4. Пусть К вЂ” упорядочшгное поле и ] — леногочлен над К. Суее[ествует интервал в К, вне которого 1 имеет тот осе внак, что и еео старений член. Все легко сводится к случаю, когда 1 — унитарный многочлен; тогда монено записать 7 (х) =х" (1+а,х '+... + а„х "). Пусть М =зпр (1, ]аь]+...

+] а„[). При ]х])М имеем 1+а,х '+... +а„х ") О. Отсюда следует утверждение. Слвдствие 1. Каждое алгебраическое расширение нечетной щяепени упорядоченного поля допускает структуру упорядоченного расширения. Каждое такое расширение, будучи простым (гл. т, 8 7, и' 7, предложение 12), изоморфно полю вида К[Х]/(1), где 7' — неприе/г 18 н. БуРбаки тпонядочкннык ггуппы и поля гл. тд $2 278 водимый многочлен нечетной степени. Достаточно покааать, что меняет знак (предложение 3), что немедленно следует из предложения 4. Слкдствик 2. Если а — положительный влемент упорядоченного поля К, то иоле корней многочлена хз — а допускает структуру упорядоченного расширения поля К.

Утверждение тривиально, если а — квадрат в К. Если это не так, то х' — а — неприводимый многочлен, меняющий анак, поскольку он (О при х=О и имеет знак х', т. е. )О, вне некоторого интервала из К. А тогда достаточно применить предложение 3. Замечание. Если упорядоченное поле К содержит «квадратные корня«нз некоторого положительного алемента а (корни многочлена хз — а), то н общем случае под Р а поннмаетсн положительный корень. Если поле К н«содержит квадратных корней Ь и — Ь кз элемента в, то ~оле корней многочлена хэ — и допускает д«е структуры упорядоченного расширения поля К, причем одно получается из другого К-аэтоморфвзмом, онределенныы отображевием Ь -+- — Ь; выбор одной нэ этих структур порядка определяет тогда у а; это будет тот нз элементов Ь, — Ь, который положителен.

Если в к а' — два положктельных элемента нз К, квадратные корни которых лежат е К, то е' вв'=(в~в) () а'), как это следует нч определения корпя н правила знаков. б. )и"аксимальиые тупорядочепньве поля Опгкдклкник 4. Упорядоченное поле К называется максимальнь«м, если каждое алгебраическое упорлдоченное расширение поля К совпадает с К. ПРимер. Мы увидим дальше (Общ. топол., гл. «Ш), что поле Я действительных чисел является максимальным упорядоченным полем. Существование максимальных упорядоченных полей вытекает из следующей теоремы: Тковкма 2. Каждое упорядоченное поле К обладает упорядоченным алгебраическим расширением, которое является максимальным упорядо «енным полем.