Kriticheskie_urovni_1 (А.В. Жирмунский, В.И. Кузьмин - Критические уровни в развитии природных систем), страница 9

Количество типов таких скачков, называемых элементарными катастрофами, зависит от числа параметров системы. В теории катастроф рассматривается система, в которой потенциальная функция зависит от совокупности параметров Сь ..., Сь Предполагается, что при каждом значении С= (Сь..., С,) система описывается гладкой функцией У,. В зависимости от параметров системы положения ее равновесия могут меняться. Сами параметры системы С могут претерпевать медленные изменения. При этом система всегда находится в состоянии равновесия — точке минимума функции Р,. Если в связи с изменением параметров С текущее положение равновесия исчезает, система переходит в одно из других положений равновесия.

Основной результат, полученный Томом (1970), представлен теоремой: «Для систем, описываемых гладкими функциями, содержащими не более 4 параметров при любом числе переменных, в принципе существует только 7 возможных типов локальных геометрических структур для устойчивых множеств катастроф». Сильной стороной теории катастроф является их классификация по реальным процессам в сопоставлении с различными видами угад У(х). Слабость теории катастроф — в использовании модели марковского типа. Ведь катастрофа, как правило, и появляется в результате взаимодействия с другими уровнями иерархии, соседними элементами и системами, характеристиками внутренних процессов развития. Именно взаимодействие с другими элементами, влияние предыстории развития, изменения внешней среды, которые в свою очередь влияют на нижние уровни иерархии, приводят к изменению характера развития, скачку, катастрофе.

В связи с этим может оказаться, что большое количество параметров модели есть следствие факторов, не учитываемых непосредственно, но существенных для характеристик процесса. Отсюда возникает соображение о том, что более содержательными для моделирования катастроф будут модели немарковского типа. В уравнении (2.9) величина скорости изменения характеристики состояния системы в линейном приближении может бытьоценена отношением ]х (г) — х (г — т)]/т, т. е.

приростом размера за единицу времени характерной длительности процесса т. Или, в более общем случае, скорость изменения размера пропорциональна изменению размера за характерное время запаздывания х = В [х (1) — х (! — т)]. (2.10) Первый член здесь характеризует влияние механизмов, обеспечивающих рост размеров, а второй — отмирание. Величина градиента функции в этом случае связана с противоборством двух основных тенденций, одна из которых определяет объединение элементов и их воспроизводство — процессы ассимиляции, а вторая — процессы разъединения элементов, распада и отмирания — процессы диссимиляции.

Заменой переменной вида 5 = х ехр ( — В() уравнение (2.10) приводится к виду (2.11) $ = — Вехр( — Вт)з(» — т). — В ехр ( — Вт) = Й (1) При а+Ы д(» 1 ди.( д (2.12) В качестве решений уравнения Пирсона в зависимости от параметров уравнения (2.12) получаются нормальное, экспоненциальное распределения, распределение Пуассона и т. д. В принципе уравнение Пирсона (2.12) конкретизирует вид функции А(1) уравнения Медавара (2.8).

Покажем, что уравнение Пирсона (2.12) является частным случаем уравнения с отклоняющимся аргументом (2.1!). Прн малых т разложение правой части уравнения (2.11) в ряд Тэйлора с использованием двух первых членов (как указывалось выше, большее число членов разложения брать нельзя, чтобы не получить не свойственных процессу колебаний) дает соотношение $ (г — т) = В (() — тз (().

Откуда после подстановки в (2.11) получим — В ехр ( — Вт) 1 — Вт дхр ( — Вт) Разложим в линейном приближении экспоненты в правой части этого уравнения ' — В(1 — В«) — В+ В ) — вт() — ) ь(') ! — в +в» ь('). уравнение (2.11) эквивалентно уравнению развития (2.5). Таким образом, представление градиента потенциальной функции через функцию отклоняющегося аргумента приводит к уравнению (2.10), эквивалентному уравнению развития (2.5) с точностью до преобразования координат.

Отсюда можно ожидать, что уравнение развития (2.5) содержит результаты, которые получаются в теории катастроф. Уравнение (2.! 1) интересно тем, что представляет собой обобщенный вариант модели Пирсона, интегралы которой являются функциями плотности распределения, наиболее часто используемыми в теории вероятностей и математической статистике для обработки экспериментальныхданных. Уравнение Пирсона имеет вид (Крамер, 1975) При т = А1 получим — В+ В~л~ 1 — вл~+ в'лч' ь~'). Отметим, что уравнение (2.11) при малых запаздываниях в линейном приближении при т = А1 совпадает с уравнением Пирсона (2.12). Уравнение (2.11) представляет собой модель процесса рождения и гибели как следствие уравнения (2.10).

Функции плотности распределения теории рероятностей представляют собой, как правило, унимодальные кривые, что характеризует противоборство двух тенденций — возрастающей и убывающей. Уравнение Пирсона (2.12) является обобщенной моделью семейства функций плотностей распределения математической статистики. При этом параметры уравнения развития (2.5) и как его частного случая (2.11), являющегося обобщением уравнения Пирсона, могут быть физически интерпретированы как характеристики памяти системы, тогда как параметры уравнения Пирсона (2.12) являются эмпирическими коэффициентами.

Универсальность применения методов математической статистики при обработке экспериментальных данных позволяет предполагать, что свойства уравнения развития (2.5) как обобщения уравнения Пирсона также будут описывать универсальные характеристики систем различной природы. Показать взаимосвязь функций плотности распределения и уравнения развития можно и другим способом. В соответствии с эргодической теоремой средние по времени и по фазовому пространству равны между собой. Таким образом, статический разрез данных содержит информацию о динамических характеристиках системы, так же как и временной ряд — о структуре статических данных, характеризующих совокупность объектов.

Аналитическое выражение этих взаимосвязей можно проследить, рассматривая динамическую модель процесса достаточно общего вида: (а Р + а, Р" + ... + а,) х (1) + + (ЬрР + Ьр 1Р~ 1 + + Ьд) х (г т) 0 где а, (1= О, 1, 2, ..., т), Ь; (/ = О, 1, 2,..., р) — постоянные коэффициенты, т — постоянное запаздывание, Р= д/а1 — оператор дифференцирования.

Если искать решения этого уравнения в экспоненциальной форме х =х,ехр(г!), (2.13) то характеристическое уравнение запишется так: Я(г)=а„г +а„,г +... +а,+ +(Ьяги+Ьр,г~ + ... +Ь0~)ехр( — гт)=0. (2.14) за Это уравнение не содержит переменной времени и характеризует только соотношение между параметрами рассматриваемого объекта, которые могут быть определены из анализа данных для группы объектов в фиксированный момент времени.

В связи с этим характеристическое уравнение (2.14) можно рассматривать как некоторую функцию плотности распределения математической статистики. Такие функции используются при обработке экспериментальных данных, относящихся к определенному моменту времени. Покажем, что основные, практически используемые функции плотности вероятности являются частными случаями характеристического уравнения (2.14), которое в свою очередь в качестве частного случая содержит уравнение развития (2.5).

При нахождении решений уравнения (2.14) часто пользуются оценкой весов различных членов, входящих в его состав. Выбрав члены с наибольшим весом, определяют характер решения. При этом оказывается, что при различных диапазонах переменных и параметров преобладающими являются различные члены. Так, при г )> 0 уравнение (2.14) принимает вид Я(г)=а г + Ьяг'схр( — гт) (2,15) и в случае одного доминирующего члена в ряду функций текущего значения времени и одного в ряду функций отклоняющегося аргумента получим )г (г) = а,г ' + Ьр гг' ~ ехр ( — гт).

(2.16) Для ограниченного диапазона изменения параметров системы развитие лимитируется определенным механизмом, что и находит отражение в существенно большем абсолютном влиянии малого количества членов уравнения общего вида. Изменение системы лимитирующих факторов приводит к изменению набора лимитирующих параметров, составляющих уравнения. В данном случае поиск диапазонов, в которых качество системы не меняется, позволяет использовать такое допущение, которое часто применяется на практике для получения решений дифференциальных уравнений, Структура характеристических уравнений (2.15) и (2.16) одна и та же, поэтому ограничимся исследованием первого из них.

При т — р = ч ) 0 имеем уравнение запаздывающего типа и при и — т = р ) 0 — уравнение опережающего типа. Для 1-го случая а + Ь г 'ехр( — гт)=0, (2.17) а для 2-го— а,„+ Ь,гиехр( — гт) = О. В случае р=т (здесь получается дифференциальное уравнение нейтрального типа) уравнение (2.15) перепишется в виде г" (а + Ь ехр ( — гт)] = О, и удаленные от начала координат корни могут быть приближенно определены нз уравнения а + Ь ехр ( — гт) = О. 39 Заметим, что основные законы распределения, используемые в математической статистике, определяются характеристическим уравнением (2.14) для г » 0 при конкретных значениях входяших в него параметров и в определенном диапазоне изменения переменных, соответствуюших соотношению (2,17) (см. табл.