Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 3

Тогда для любого з ~ 5 с(е((Х вЂ” 1 (з)) = (Х вЂ” Х (э))". С другой стороны, формула разло;кения определителя показы- вает, что с(е1(Х вЂ” г (э)) = Х'+ а,(з) Х" '+ ... + ао(з) Х" '+ ..., где а,: 5- тс — однородная полнномиальная функция степени 1. Моясно записать и = с)1п, где д — степень характеристической экспоненты поля я и (д, т) =- 1. Тогда (Х вЂ” Х(э))" = (Хч — л(э)о), следовательно, — тХ(з)о= ао(з). Из этого равенства уже вытекает доказываемое утверждение. Пведложение б. Пусть поле й бесконечно и выполняется условие (ПК). Пусть 1г' — рисширение поля и, Положим У = =УЗлй', 5'=5®лlг'. Пусть т'1 5'- Епб(У') — отображение, полученное из т расширением поля скаляров. Тогда уо(5) ~ )т у о(5) у~о(5) Первое равенство следует из предложения 1.

При доказательстве второго можно предположить, что У= Уо(5), поэтому У'= У'о(5). Пусть (з„..., э„) — некоторый базис пространства 5 и (еи ..., е„) — некоторый базис пространства У. Тогда существуют такие многочлены Ры(Х„..., Х ), что имеют место равенства л т'(и,з1+ ... + а„,з,л)" е = ~ Р, (а„..., а„,)е, 1 14 ГЛ, ЧН. ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ для 1<1(п и ао ... а' ее я'. Г1о предположению г'(з)"=О для всех зев 5, следовательно, Р,!(а!, ..., а )=О для всех 1<!, !'<п и а!, ..., а еи /г.

Так как поле й бесконечно, то Р!! — — О. Следовательно, каждый элемент множества г' (5')— нйльпотентный эидоморфизм и )г'= )г'е(5'). ПРедложение 7. Предположим, что поле й бесконечно и имеет место условие (ПК). Обозначим через 5 множество таких з,гементов з еи 5, для которых )гь(з) = Уь(5). Пусть Р(з) — апре. делитель зндоморфизма пространства У/)гь(5), задаваел!ого эндоморфизмом г(з) при зеи5 (и'1, следствие 2 (!) из теоремы 1), (1) Функция з Р Р (з) полино,ииальна на пространстве 5. При этом множество 5 совпадает с (зги 5!Р(з) чь О) и открыто в 5 в топологии Зарисского (дополнение 1), (1!) Множество 5 непусто, и если зеи5, то У (з)=У (5). Утверждение о полиномиальности функции з Р(з) следует из линейности отображения г.

Если з ы5, то )гь(з):з Уь(5), причем равенство имеет место в том и только том случае, когда отображение г(з) определяет автоморфизм пространства 'у/)гь(5), что н доказывает утверждение (1). Пусть й' — алгебраическое замыкание поля к. Так же как и в предложении 6, рассмотрим пространства Г, 5' и отображение г'. Заметим, что для отображения г' справедливо условие (ПК), так как верное для зь зееи 5 полиномиальпое тождество аб(г(з!))' ' 'Г(зг)=0 (см.

и'1, замечание) продолжается на 5'. По теореме 1 имеет место разложение у~о(5 )у ~' )г'А!(5') где Х, Ф О при 1 (! (и!. Существуют ненулевые полиномиальные функции Р, на пространстве 5' и пелые числа у!, для которых Хч! = Р, для ! (! (и (предложение б), Так как поле й бесконечно, то (Р, ... Р ) (з) Ф О для некоторого элемента з еи 5 (см. А1у., с!!ар.

1У, $2, и'3, сого1!а(ге 2 а' !а Свгороз(!!оп 9) '). Тогда Х!(з) -ь О для всех !, откуда у"ь(5') = У' (ь), и, следовательно, Рь(5) = уь(з) (предложение б). Это показывает, что 5 Ф (д. Пусть з ги 5. Так как уч (5) является дополнительным подпространством к у'ь(з) в пространстве у и устойчиво отно. сительно эндоморфизма г(з), то )г+(5) = 1'+(з) (по следствию 2 теоремы 1). ') См. также Алг., гл. 1У, й 2, в'В. — Прим, перев. ь ь пРимАРное Ркзложение линейных пРедстАВлениЙ !6 у. Разложение линейных представлений нильпотеитной алгебры Ли Пусть» — алгебра Ли, а М вЂ” некоторый»-модуль.

Для каждого отображения ь пространства» в поле й в модуле М определены векторные надпространства МА (») и МА (») (см. и' 1). В случае когд໠— подалгебра алгебры Ли й и хен8, мы будем нередко использовать обозначения ПА(«), 9„(»), 8" (х) и й,(х), имея при этом в виду, что «действует на й посредством присоединенного представления. ПРедложение 8. Пусть « — алгебра Ли, а Е, М, Й1 — некоторые»-модули. Обозначим через Р множество всех отображений пространства « в поле й. (1) Сумма г~' Е" («) прямая. Ая Р (й) Если 1: / — »М — гомоморфизм»-модулей, то 1(ЕХ(»)) с с МА(») при всех 7.

ен Р. (1й) Если (: Ь'. Х М-«У есть «-инвариантное билинейное отображение, то ~ (Е' (») Х М" (»)) й("" (») при любых 7„и ее Р. Этп утверждения следуют из предложений 2 и 3. ПРедложение 9. Пусть» — нильпотентная алгебра Ли и М вЂ” конечномерный «-модуль. Обозначим через Р множество отображений пространства » в поле й. (1) Каждое надпространство МА(«) является «-подмодулем модуля М. Если для всех хан» эндоморфизмы хм приводятся к треугольному виду, то М= ~, М»(«). ХИР (й) Если поле й бесконечно, то Мь(х) = МА(») для некоторого хеп». (ш) Если поле й имеет характеристику О и отображение ) ен Р таково, что МА(») Ф О, то А,— линейная форма на пространстве «, обращающаяся в О на подпространстве (», »1, и М (»)ФО, (пт) Если 1: М вЂ” «М — сюрьективный гомоморфизм конечно- мерных»-модулей, то 1(МА(»)) с= о(х(») при всех кеи Р.

(ч) Пусть 7т' — конечномерный «-модуль и  — инвариангная относительно» билинейная форма на МХУ. Если А+ Й чь О, то надпространства М (») и М" (») ортогональны относительно фор.яы В, Если форма В невырожденна, то невырожденно и ее ограничение на М («)ХМ (») при любом ),епР. Утверждение (1) следует из леммы 1 и теоремы 1 п'1, утверждение (й) — из предложения 7 л'2.

Утверждение (1ч) !е гл. чп. подллгнвны клптлнл ввгтляннып элнмнпты 'з вытекает из следствия 3 теоремы 1 и'!. Докажем (!П). Мы можем предположить, что М = )4ь(!)). Тогда Х(х) =(ьМгп У) 'Тг(хм), где хек (). Это доказывает линейность отображения Х (что следует также из предложения 5) и тот факт, что ). обращается в нуль на подпространстве ((), Ц. Рассмотрим отображение р: () — » Епдь(М), заданное формулой р(х) =хм — л(х) 1»о Из изложенного выше следует, что р — представление алгебры Ли й в пространстве М и эндоморфизм р(х) нильпотснтен для любого х~)).

По теореме Энгеля (гл. 1, $4, и'2, теорема 1) существует такой элемент паФ О пространства М, что р (х) пг = О при всех х еи (), т. е. г>г ~ Мх (!)). Первая половина утверждения (у) следует из предложения 2 (й) и' 1. При доказательстве второй можно ввиду предложения ! из п' ! предполагать поле й алгебраически замкнутым. Тогда, с учетом того, что М = 2 М (!)) и й( = ~ й(н ((>) А и (см, (!)), вторая половина следует из первой. Замечание. Предположим, что поле й соверщенно и имеет характеристику 2. Рассыотрны () =Е! (2, (г), и пусть М есть ()-ыолуль йз относительно тождественного отображения алгебры Лн () в Епба (М).

та Ы Если х=~ Л! — произвольный элемент алгебры 5, то обозначим хс ог' через Х (к) е>Гинственное решение К щ й ураннення лз = и' -(- бс. Легко проверить, что Л(=М (()), ао при этом Мх (!)) =О и отобоТах жение >г не является линейным и не обращается н нуль на 1(), хотя алгебра Ли () нильпотеатна. Слндствин. Пусть () — нильпотентная алгебра,7и и М вЂ” конечномерньгй ()-модуль, для которого М" (()) =О. Пусть (> () — » М— линейное отображение, для которого 1([х, у))=х.)(у) — у.) (х) при х, у ен».

Тогда существует такой элемент а е- :И, что ) (х) =х.а при всех х ен (). Положим й(=М>с, й. Пусть () действует на й( по формуле х . (пг, Х) = (хгн — Ц (х), О). Из условия, наложенного на 1, вытекает, что >т' есть ()-модуль (см. гл. 1, и'8, пример 2). Отобра>кение (пг, Х) ~.гь является гомоморфнзмом модуля У в тривиальный ()-модуль й.

По предложению 9 (!и) подмодуль >то(б) содер>кит пскоторьгй элемент вида (а, 1), где а ен М, Из предположений, сделанных отно- 5 1. ПРимАРное РАзложение линейных пРедстАвлений !т сительно М, следует, что (М Х 0) () А!ь (()) = 0; поэтому подпространство !чь($) одномерно и, следовательно, аннулируется алгеброй Ли (). Таким образом, ха — 1(а) =0 прн любом хан (1, что и доказывает наше следствие. ПРедложение 1О. Пусть д — алгебра Ли и () — ее нильпотентная подалгебра. Обозначим через Р множество отображений пространства () в поле Й. (!) Для любыХ А,, р е= Р имеет место соотношение (дх(5), ди(())] с: дк+" (()).

В частности, дь(!)) — подалгебра алгебрь! ,7и д, содержащая (), надпространства д" (!)) устойчивы относительно ай дь(1)), а подалгебра Ли дь(()) совпадает со своим нормализатором в алгебре д. (й) Если М есть д-модуль, то !1 (()) М" (г) с" М +" (!)) для л!обых )., !АенР; в частности, каждое надпространство МА(!)) является дь (э)-модулем. (!й) Если  — билинейная форма на пространстве д, инвариантная относительно алгебры (!, то подпространства дк(()) и д" (ч) при к+ р ФО ортогональны относительно формы В. Если форма В невырожденна, то ее ограничение на дк(!)) Х д — "(()) невь!рожденно при любоч Лен Р, в частности, ограничение В на дь(ч) Х дь(5) невырождвнно.

(и) Предположим, что поле й имеет характеристику О. Если х~ дх(()) и З,~О, то эндоморфизм ай х нильпотентен. Отображение (х, у) Р]х, у] пространства дХ д в д является д-инвариантным в силу тождества Якоби, следовательно, оно ()-инвариантно. Таким образом, первая часть утверждения (!) следует из предложения 2 (й).