Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 2

утверждение (!) следует из Алг., гл. ЧП, $5, п'1, пред- ложение 3. Пусть Е=Епо'(Г) и  — билинейное отображение (и, о) ~и(о) произведения Е Х Г в пространство Г. По определению отображения ад х х(В(и, о))=В(и, х(о))+В((ал х)(и), о), где хек Е, и~ Е, он= Г. Отображение адх задает действие элемента х на пространстве Е. Применяя предложение 2 (И), получим, что В(Е'(х), Г'(х)) с: Г'(х) для всех а~я.

Так как (айх)" у=О, то уенЕь(х) и, следовательно, у(Г'(х)) с Г(х), что и доказывает утверждение (В). Для доказательства утверждения (!!!) достаточно рассмотреть случай, когда пространство Г совпадает с Г'(х). Тогда, заменяя х на х — а, мы можем считать зндоморфизм х нильпотентным. Значит, (адх) ьь" ~ =-О (гл. 1, 9 4, и'2), что и доказывает наше утверждение. Замечание. Приведенное доказательство показывает, что если пространство Г конечпомсрно и существует такое целое число и, что (ад х)" у =О, то (ад х) м" ~ ~ у=О.

В дальнейшем мы будем говорить, что отображение г; 5- Впб(Г) удовлетворяет условию (ПК) („почти коммутативности"), если (ПК) Для любой пары (э, э') элементов множества 5 существует такое целое число и, что (адг(э))'г(э') =О. Теоэвмл !. Иредположим, что пространство Г конечномерно. Тогда следующие условия эквивалентны: (!) Имеет место условие (ПК), и для любого э еь 3 эндоморФизм г(э) можно привести к треугольному виду. (В) Для всех элементов Х еи Р подпространство Гь (3) устойчиво относительно г(5), и Г = ~ Гь(5).

ьые Если Г= ~ !'~(5), то Г= ~ Г" (э) для любого эеи5, и ьиР а сч й вследствие леммы 1 из условия (!!) следует условие (!), 1О Гл. Уп подАлгеБРы кАРтю!А. РБГуляРные элементы ! Предположим, что условие (1) выполнено. Лемма 1 и формула (1) показывают, что подпространство УА (5) устойчиво относительно г(5). Остается доказать, что У= ~ УА(5). Проведем А аР индукцию по д!гп У. Возможны два случая: а) Для каждого элемента з ен5 эндоморфизм г(в) имеет единственное собственное значение А(з). Тогда У= У" (5). б) Существует элемент вен 5, для которого эндоморфизм г(в) имеет по крайней мере два различных собственных значения. В этом случае пространство У есть прямая сумма надпространств 1" (з), где а е= й и сВш У'(з) < ЕВт У для всех элементов а.

Каждое подпространство У'(г) устойчиво относительно эндоморфизмов из г(5), и для завершения доказательства достаточно применить предположение индукции, Следствие 1, Предположим, что пространство У конечномерно и выполняется условие (ПК).

Пусть й' — расширение поля й. Предположим, что эндоморризм г (в) можно привести к треугольному виду при любом з ен 5. Обозначим через Р' множество всех отображений множества 5 в поле й', Тогда У Зья'= ~, (У Зья') (5). А ~Р Пусть г'! 5-+ Енса (1' ЗА я') — отображение, канонически определенное отображением г. Если еь зе !и 5, то для некоторого целого числа и имеет место равенство (айг(з!))" г(з,) =О, отдуда (айг'(в))" г'(з) =О.

Теперь для доказательства следствия достаточно применить теорему 1. Следствие 2, Предположии, что пространство У конечно- мерно и ил!еет место условие (ПК). Обозначим через Уе (5) векторное подпространство ~ ( П г(з)' У). Тогда умз х! >! (!) надпространства У'(5) и У+(5) устойчивы относительно г (5); (!!) У= У'(5)9У+(5)' (Ш) каждое устойчивое относительно г(5) подпространство йт векторного пространства У, для которого )Уь(5) =О, содержится в подпространстве У+ (5); (1У) А', г (г) У+ (5) = У+ (5), Аыз Кроме того, У+ (5) — единственное подпространство векторного пространства У, обладающее свойствами (!) и (В).

Если й' — некоторое расширение поля й, то (УЗА й')+(5) = У+(5) ЗА й'. Последнее утверждение очевидно. При доказательстве остальных можно вследствие предложения 1 считать поле й алтебрап- ! ь пеимлэноа Разложение лияаиных пявдстлвлении 11 чески замкнутым. По теореме 1 т'= ~„рл(5) и подпростран- ЛРР ства (гл (5) устойчивы относительно г(5). Для любого элемента в ен 5 характеристический многочлен зндоморфизма г (э) ~ )гл(5) Р авен (Х вЂ” Л (э))"'"' гл'эй Поэтому пересечение П г (э)' )гл (5) Л~! равно нулю, если Л (э) = О, и равно )гл (5), если Л (э) ~ О. Таким образом, (г (5) = Е РЛ(5), (3) Лве ЛРО что доказывает Утвержденна (!), (!!) и (!ч). Если подпро раиство йт векторного пространства )Г устойчиво относительно г (5), то 1Р = х, )Р'л(5) и йтл(5)= ятД 'т'л(5).

Если же )Рь(5) =О, Лля Р то ясно, что (ч' с: 'г' (5), а это и доказывает утверждение (ш). Пусть 1г' — устойчивое относительно г(5) подпространство векторного пространства )г, для которого )г'() )гь(5) =О. Тогда Г'(5) = О, и, согласно утверждению (ш), Р' с: 'т'~(5), Если же при этом )г = Рь(5)+ Г, то ясно, что Г = 1г~ (5).

Ч. Т. Д. Пару подпространств ()г (5), (г~(5)) часто называют разложением Фиггичга пространства )г, или отображения г: 5-+ -+Епб((г). Если множество 5 состоит из одного элемента з, то вместо )г~ ((э)) пилпут )г" (э) или Р Р(г(э)). При этом 1г= = 'т' (з)Я Р Р (э), подпространства Рь(э) и )г+ (э) устойчивы относительно зндоморфизма г(э), ограничение г (э)1рь(в)— нильпотентный, а ограничение г (э) ! У+ (э) — биективный эндоморфнзмы. Следствие 3, Пусть )г и à — конечномерные векторные пространства, ю 5- Епб ()г) и г'.

5 — Епб (Г) — отображения, удовлетворяющие условию (ПК). Лусть !': У-Рà — такое линейное сюрьективное отображение, что 1(г(з) и) =г'(э)1(о) для вен 5 и се= У. Тогда ) (Рл(5)) = Гл(5) для всех Л ы Р. Вследствие предложения 1 достаточно доказать утверждение при условии, что поле й алгебраически замкнуто. При этом по теореме 1 Р = ® )гл(5), т" = ® 'г"л(5) и Г = )((г) = ЛаР Лые = Л, ) ()гл(5)). Наконец, по предложению 2 (!) имеет место ЛеР включение ! (Рл (5)) г: )г'л (5), и утверждение доказано. Пнидложение 4. Лредполоэяим, что поле й совершенно, Пусть " — конечномерное векторное пространство, и — произвольный элемент множества Епб ()г), а и, и и„— полупростол и 12 гл.

тп. подллгввяы клгтлнл, гвгтлягныа элвменты нильпотентная компоненты эндоморфизма и (А(д., сЬар. У11, $ 5, па8) '). (1) Ул (и) = У" (и,) = Ук (и,) для всех Х ы я. (й) Если пространство У снабжено структурой алгебры и отображение и — дифференцирование этой алгебры, то отображения и, и и„— также дифференг4ирования. (гй) Если пространство У снабжено структурой алгебры и отображение и — автоморфиэм этой алгебры, то отображения и, и 1+и, 'и„— тоже автоморфиэмы.

Вследствие предложения 1 эти утверждения достаточно доказать в предположении, что поле й алгебраически замкнуто. Тогда У= Х У'(и) кее Полупростая компонента эпдоморфизма и ~ У~ (и) является гомотетией с коэффициентом к в пространстве 1'"(и). Это доказывает утверждение (1). Предположим теперь, что пространство У снабжено структурой алгебры. Пусть хеи У" (и), у ~ Уе(и).

Если эндоморфизм и является дифференцированием алгебры У, то ху ~ Ук+а (и) (предложеняе 2 (й)) и, следовательно, и,(ху) = (Х+ 1а) (ху) = (Хх) у+ х (ру) = (и,х) у+ х (и,у). Поэтому отображение и, будет дифференцированием алгебры 1'. Тогда отображение и„=и — и, также будет дифференцированием алгебры 1'. Если отображение и является автоморфизмом алгебры У, то Кег(и,)=уа(и)=0 и отображение и, бнективно. С другой стороны, хуан Укк(и) (предложение 2 ((п)), поэтому и, (ху) = (Х1г) (ху) = (кх) (ру) = (и,х). (и,у). Данное равенство показывает, что и, — автоморфизм алгебры У, Следовательно, отображение 1+ и, 'и„=и, 'и тоже будет автоморфизмом. ') Си. также Ала., гл.

УП, 5 а, и'4, предложеиие 11, и Алга гл. УШ, 5 9, л'4.— Прим. нерее, 1 ИРимлРное Рлзломсе11ие линейных пРедстлвленип, 1З э.. Припарное разложенит для линейного семейства энда.норфиз нов Предполо1ким, что множество 5 обладает структурой векторного простринстьчс и отображение т: 5-+ Епй (У) линейно. Предположим также, что в кториые пространства У и 5 коне шомерны.

ПРедложение б. Пусть выполняется условие (ПК), и пусть )л 5- й — такое отображение, для которого Ул(5) Ф О. Тогда если поле и имеет характеристику О, то отображение Х линейно. Если поле я имеет характеристику р Ф О, то существуют такая степень о простого числа р, делящая с()п1 Ул(5), и такая однородная полиномиальная функссия Р: 5 — и степени д, что длч всех элементов з ~ 5 справедливо равенство Х(э)ч =Р(з). Так как подпространство УХ(5) устойчиво относительно г(5) (лемма ! и формула (1) из п'1), то можно предположить, что У=- У" (5). Пусть и=с(йп У.