Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы), страница 8

Найти потенциал Р на краю тонкого диска, по одной стороне которого равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью о. Радиус диска равен В. Решение. По определению потенциал в случае поверхностного распределения заряда дается интегралом (1.28). Для упрощения интегрирования выберем а качестве площадки <Б часть кольца ра- Рис. 1.27 Ри . 1.2Е Рис. 1.2б диусом г и шириной бг (рис. 1.27). 'Гогда д8 = 23гдг, г = Л)1 соз 3, бг = — 2В аш 3 83.

После подстановки атих выражений в интеграл (1.28) получим для Р в точке О: о оВ г Ч=- — ) 3 а)П363. ле и/2 Интегрирование проводим по частям, обозначив 3 - и, ашЗ 63 = = й>: 3 з1п9 йЗ = — 9 созЗ+ ~ соз9 63 = -9совЗ+з(пЗ, что дает после подстановки пределов интегрирования -1. В результате 'Р = оН/хзо 1.10. Потенциал поля внутри заряженного шара аависит только от расстояния г до его центра по закону Р = аг~ -~ Ь, где а и Ь— постоянные. Найти распределение объемного заряда р(г) внутри шара. Глава 1 Решение. Сначала найдем напряженность поля.

Согласно (1.32) Е„= — Ар/дг = -2аг. Затем воспользуемся теоремой 1'аусса: 4лг'Е, = 9/зэ, Дифферен- циал этого выражения 4х 4)(г Е,) = — 4(д = — р 4хг 4)г, 2 1 1 2 зо зо где дд — заряд между сферами, радиусы которых г и г + бг. От- сюда д.Е„2 р — «+ — Е дг г ' з, г 4)Е, + 2гЕ,4)г= — рг 4)г, 2 1 2 зе Подставив (1) в последнее уравнение, получим Р = бзоо« т. е. заряд внутри шара распределен равномерно. р = р1 ~ дЕ/д) ~, где Š— напряженность поля диполя р, определяемая первой нз формул (1.38): Е= 1 2рз 4хз 12 Взяв производную последнего выражения по ( и подставив ее в формулу для р, получим 1 бр1рз р = — —. 4хзэ 14 Заметим. что диполи будут притягиваться, если р,))рм и отталкиваться, если р, И Рз. 1.11.

Диполь. Найти силу взаимодействия двух точечных диполей с моментани р, и р, если векторы р, и р направлены вдоль прямой, соединяющей диполи, и расстояние между последними равно 1 Решение. Согласно (1.39) Глава 2 Проводник в электростатическом поле ч 5 2.1. Поле в веществе Микро- и макрополе. Истинное электрическое поле в любом веществе — его называют микроиолем — меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени. Оно различно в разных точках атомов и промежутках между ними. Чтобы найти напряженность Е истинного полн в некоторой точке в данный момент, нужно было бы сложить напряженности полей всех отдельных заряженных частиц вещества — электронов и ядер. Решение этой задачи, очевидно, является совершенно нереальным.

Да и сам результат оказался бы настолько сложным, что его просто нельзя было бы использовать. Более того, для реп1ения макроскопических задач такое поле и вовсе не нужно. Для многих целей достаточно более простое и несравненно более грубое описание, которым мы и будем пользоваться в дальнейшем. Под электрическим полем Е в веществе — его называют макрояолем — мы будем понимать пространственно усредненное мнкрополе (после пространственного усреднения временное усреднение уже не требуется). Это усреднение проводится по так называемому ризически бесконечно малому объему объему, содержащему большое число атомов, но имеющему размеры во много раэ меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно.

Усреднение по таким объемам сглаживает все нерегулярные и быстро меняющиеся вариации микрополя на расстояниях порядка атомных, но сохраняет плавные изменения макрополя на макроскопических расстояниях. Итак, поле в веществе (2,1) мокро = ( микро)' Влияние вещества на поле. При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смещение положи- Глава 2 тельных н отрицательных зарядов (ядер и электронов), что в свою очередь приводит к частичному разделению этих зарядов.

В тех или иных местах вещества появляются нескомпенсированные зарцды различного знака. Это явление называют электростатической индукцкей, а появившиеся в результате рааделеиия заряды — икдуцирозанными зарядами. Иидуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе с исходным (внешним) электрическим полем образует результирующее поле. Зная внешнее поле и распределение индуцированных зарядов, можно при нахождении результирующего поля уже не обращать внимание на наличие самого вещества — его роль уже учтена с помощью индуцированных зарядов.

Таким образом, ревультирующее поле при наличии вещества определяется просто как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированных зарядов. Однако во многих случаях дело усложняется тем, что мы заранее не знаем, как распределяются в пространстве все ати зарзщы — задача оказывается далеко не такой простой, как могло бы показаться вначале. Как мы увидим далее, распределение индуцированных аарядов в решающей степени зависит от свойств самого вещества — от его фиаической природы и формы тел. С этими вопросами нам и предстоит ознакомиться более подробно. 5 2.2.

Поле внутри и снаружи проводника Внутри проводника Е = О. Поместим металлический проводник во внешнее электростатическое поле или сообщим ему какой-нибудь заряд. В обоих случаях на все заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего все отрицательные заряды (электроны) сместятся против поля. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех гюр (практически это происходит в течение малой доли секунды), пока не установится определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Таким образом, в статическом случае электрическое поле внутри проводника отсутствует (Е = 0). Далее, поскольку в проводнике всюду Е = О, то плотность избыточных (нескомпенсированных) зарядов внутри проводника Прозодккк в злектростатаческом поле также всюду равна нулю (р = 0).

Зто легко понять с помощью теоремы Гаусса. Действительно, так как внутри проводника Е = О, то и поток вектора Е сквозь любую замкнутую поверхность внутри проводника также равен нулю. А это и значит, что внутри проводника избыточных зарядов нет. Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью а, вообще говоря, различной в разных точках его поверхности.

Заметим, что избыточный поверхностный ааряд находится в очень тонком поверхностном слое (его толщина около одного-двух межатомных расстояний). Отсутствие поля внутри проводника означает согласно (1.31), что потенциал ср в проводнике одинаков во всех его точках, т. е. любой проводник в электростатическом поле представляет собой зквипотенциальную область и его поверхность является эквипотенциальной. Из того факта,что поверхность проводника эквипотенциальна, следует, что непосредственно у этой поверхности поле Е направлено по нормали к ней в каждой точке. Если бы это было не так, то под действием касательной составляющей Е заряды пришли бы в движение по поверхности проводника, т. е. равновесие зарядов было бы невозможным.

Пример. Найти потенциал незаряженного проводящего шара, на расстоянии г от центра которого расположен точечный заряд о (рис. 2.1). Потенциал е всех точек шара одинаков. Раэ так, вычислим его в центре шара О, ибо только для этой точки расчет оказывается наиболее простым: Ф= +9 ° Я 4лэ г где первое слагаемое — зто потенциал от заряда д. а второе — потенциал от зарядов, индуцированных на поверхности шара. Но так как все индуцированные заряды находятся на одном и том же расстоянии а от точки О и суммарный индуцированный заряд равен кулю, то Е - О.

Таким образом, в данном случае потенциал шара будет определяться только первым слагаемым в (1). зо Глава 2 Рие. 2Л Рис. 2.2 На рис. 2.2 изображено поле и распределение зарядов для системы, состоящей из двух проводящих шаров, один из которых (левый) заряжен. Вследствие электрической индукции на поверхности правого незаряженного шара появились заряды противоположного знака. Поле этих зарядов в свою очередь вызовет некоторое перераспределение зарядов на поверхности левого шара — их распределение гю поверхности станет неравномерным.