Иродов И.Е. - Электромагнетизм (Основные законы), страница 2

Петит используется для материала повышенной трудности и относительно громоздких расчетов (этот материал при первом чтении можно безболезненно спустить), а также для примеров и задач. Книга как учебное пособие рассчитана на студентов вузов с расширенной программой по физике (в рамках общего курса физики). Она может быть также полезной и преподавателям вузов. В третьем издании исправлены некоторые неточности и опечатки, замеченные читателями.

Зтим читателям автор искренне признателен. Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность Б.И. Копылову, тщательно цросмотревшему верстку и сделавшему ряд весьма ценных замечаний. И. Иродоз ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Векторы обозначены жирным прямым шрифтом (например, г, Е); та же буква светлым пгрифтом (г, К) означает модуль вектора. Средние величины отмечены скобками ( ), например (т), (Р). Символы перед величинами означают." Л вЂ” конечное приращение величины, т. е.

разность ее конечного и начального значений, например ЛЕ =- Е, — Е„ М = т2 9~'* й — дифференциал (бесконечно малое приращение), например дЕ, йр; Ь вЂ” элементарное значение величины, например ЬА— элементарная работа; со — пропорционально, например (р с> д; г — — величина порядка... Например 1 — 10 м. Орты — единичные векторы: е,, е„, е„(или 1, ), к) — орты декартовых координат; ею ев, е — орты цилиндрических Координат р, <р, з; п — орт нормали к элементу поверхности; т — орт касательной к контуру или границе раздела. Производная по времени от произвольной функции 1 обозначена д~~бг или г — точкой, стоящей над функцией, Интегралы любой кратности обозначены одним единственным знаком ) и различаются лишь обозначением элемента интегрирования: сИ' — элемент объема, ЙЗ вЂ” элемент поверхности, д1 — элемент контура.

Знак $ обозначает интегрирование по замкнутому контуру или по замкнутой поверхности. Векторный оператор Ч (набла). Операции с ним обозначены так: Ч<р — градиент д (ягай <р), Ч - Š— дивергенция Е (от Е), ~7 х Š— ротор Е (гоФ Е). Глава 1 Электростатическое поле в вакууме ч $ 1.1. Электрическое поле Электрический заряд. В настоящее время известно, что в основе всего разнообразия явлений природы лежат четыре фундаментальных взаимодействия между элементарными частицами — сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Каждый вид взаимодействия связывается с определенной характеристикой частицы.

Например, гравитационное взаимодействие зависит от масс частиц, электромагнитное — от электрических зарядов. Электрический заряд частицы является одной из основных, первичных ее характеристик. Ему присущи следующие фундаментальные свойства: 1) электрический заряд существует в двух видах". как положи- тельный, так и отрицательный; 2) з любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется, это утверждение выражает закок сохранения электрического заряда; 3) электрический заряд является релятивистски инвариантным: его величина не зависит от системы отсчета, а значит, не зависит от того, движется он или покоится. Эти фундаментальные свойства электрического заряда имеют, как мы увидим, далеко идущие последствия.

Электрическое поле. Согласно современным представлениям взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд д иаменяет определенным образом свойства окружающего его пространства — создает элек- ГО Глава 1 трнческое ноле. Это поле проявляет себя в том, что помещен- ный в какую-либо его точку другой, «пробный«, заряд испы- тывает действие силы. Опыт показывает, что сила г', действующая на неподвижный точечный пробный заряд д', всегда может быть представлена как г =дЕ, (1.1) где вектор Е называют напряженностью электрического поля в данной точке. Вектор Е, как видно из (1.1), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд д" должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Поле тече пюго заряда. Из опыта (закон Кулона) непосредст- венно следует, что напряженность поля неподвижного точеч- ного заряда д на расстоянии г от него можно представить как ) Е = — — е„ 4лз гз (1.2) где з — электрическая постоянная; е, — орт радиуса- вектора г, проведенного из центра поля, в котором расположен заряд д, до интересующей нас точки. Формула (1.2) записана в СИ. Здесь коэффициент 1/4лз„= 9 ° 10' м/Ф, заряд д выражается в кулонах (Кл), напряженность поля Е— в вольтах на з«етр (В/м). В зависимости от знака заряда д вектор Е направлен так же, как и г, или противоположно ему. По существу формула (1.2) выражает не что иное, как закон Кулана, но в «полевой«форме. Весьма важно, что напряженность Е поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния г.

Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 10 см до нескольких километров, и цока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при ббльших расстояниях. Элеатвоетаткчеекое поле в вакууме Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит от того, покоится пробный заряд или движется. Зто относится и к системе неподвижных зарядов. Принцип суперпозиции.

Другой опытный факт„кроме закона (1.2), заключается в том, что напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности: (1.3) где г,. — расстояние между зарядом де и интересующей нас точкой поля. Зто утверждение называют принципом суперпоаиции (наложения) электрических полей. Он выражает одно из самых замечательных свойств полей и позволяет вычислять напряженность поля любой системы зарядов, представив ее в виде совокупности точечных зарядов, вклад каждого из которых дается формулой (1.

2). Распределение зарядов. Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт. что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны» определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов — объемной р, поверхностной о и линейной Л По определению, (1.4) где бд — заряд, заключенный соответственно в объеме оЪ; на поверхности ЙЯ и на длине б(. С учетом этих распределений формула (1.3) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен Глэээ 1 12 по объему, то надо заменить о, на дд = р г)1' и ~', на ), тогда 1 уре„дУ 1 ргг)г' (1.5) 4пса где интегрирование проводится по всему пространству, в кото- ром р отлично от нуля. Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (1.3), если распределение дискретно, или по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями (правда, не принципиального характера).

Действительно, для нахождения вектора Е надо вычислить сначала его проекции Е„, Е„, Е,„а зто по существу три интеграла типа (1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача, как правило, значительно облегчается. Приведем два примера. Пример 1. Поле иа оси тонкого равномерно заряженного кольца.

Заряд д > О равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом а. Найти напряженность Е электрического поля нэ оси кольца кэк функцию расстояния з от его центра. Легко сообразить, что в данном случае вектор Е должен быть направлен по оси кольца (рис. 1.1). Выделим нэ кольце около точки А элемент бй Запигпем выражение для составляющей дЕ, от этого элементе в точке С: Рнс. 1.2 Рис.

1.1 Электростатическое поле в вакууме 1 Л61 ЙЕ = — — сова, 4нзэ гз где Л = о/2ка. Для всех элементов кольца ги а будут одними и теми же, поэтому интегрирование этого выражения сводится просто к замене Л41 на д. В результате Е=— д 3 2 + з~з/2 Видно, что при з и а поле Е о/4яз з', т. е. на больших расстояниях эта система ведет себя как точечный заряд. Пример 2. Поле равномерно заряженной прямой нити. Тонкая прямая нить длиной 21 заряжена равномерно зарядом ц. Найти напряженность Е поля в точке, отстоящей на расстоянии х от центра нити и расположенной симметрично относительно ее концов. Иа соображений симметрии ясно, что вектор Е должен иметь направление, показанное на рис.

1.2. Это подсказывает, как надо поступить далее: найдем составляющую ЙЕ„от элемента 41 нити с зарядом бо и затем проинтегрируем по всем элементам нити. В нашем случае 1 Л<И бЕ, = бЕ сова = — сова, 4пзэ г где Л = о/21 — линейная плотность заряда. Приведем это уравнение к виду, удобному для интегрирования. Из рис.