Робинсон - История развития теории спектрального оценивания, страница 2

По мнению многих, в качестве определения в англий- ском языке следует применять зрес1гшп, а не зрес1га! а) во всех случаях, когда речь идет о массиве данных и физических явлениях, Ь) во всех случаях, когда определение относится к слову е»11ша1!оп (оценка, оценивание). Сторонники такой точки зрения считают, что слово зрес(га! с его излишне «призрачной» коннотацией следует сохранить лишь в тех разделах математики, где оно глубоко внедрилось как термин. Материал статьи вплоть до равд.

Х П, относящийся к перяоду от античных времен до работ Левинсона и Винера, можно назвать «предысторией спектрального оцеиивания», поскольку здесь под этим термином понимается лишь оцениванце спектров по результатам измерений. Остальным разделам можно дать общее заглавие «О некоторых основополагающих работах по методам спектрального оцениваниям Современное спектральное оценивание начинается с важнейшей работы по анализу коротких временных рядов, написанной Дж. У.

Тычки в 1949 г. Эта работа дала начало подлинному расцвету методов спектрального анализа. Однако, несмотря на успехи цифровой вычислительной техники, такие вычисления по-прежнему требовали больших затрат. Поэтому крупным шагом явилось открытие быстрого преобразования Фурье (БПФ), сделанное в 1965 г.

Дж. У. Кули и Дж. У. Тычки и независимо от них Гордоном Саиде. В сочетании с техникой кремниевых микросхем это достижение позволило начать применять спектральный анализ к широкому кругу проблем. Важнейшим успехом стало также введение в спектральный анализ методов максимальной энтропии, разработанных в 1967 г. Джоном Бергом. Н. РЯДЫ ТЕИЛОРА В ХУП в., когда Ньютон и Лейбниц ввели в математику исчисление бесконечно малых, понятие «функции» ассоциировалось с рядом жестких ограничений, которые впоследствии постепенно ослаблялись, В те далекие времена казалось, что наблюдения за естественными процессами свидетельствуют об обязательном существовании непрерывной связи между всеми физическими переменными.

Такая точка зрения нашла подкрепление в формулировках законов природы на основе дифференциальных уравнений, примером которых служат законы Ньютона. Общепризнанным стало предположение о том, что любая функция, описывающая физические явления, дифференцируема. Сама мысль о возможности существования функции, которая меняется причудливым или случайным образом и вследствие этого не может быть представлена аналитической формулой, тогдашним математикам даже не приходила в голову. Поэтому вполне естественно, что именно современник Ньютона Брук Тейлор (1685 †17) (21 ввел понятие «аналитическая функция».

Ряд Тейлора представляет аналитическую функцию в виде бесконечной суммы составляющих функций. Точнее говоря, ряд Тейлора представляет функцию /(х), аналитическую в окрестности некоторой точки к=а, в виде бесконечного ряда, коэффициентами которого являются последовательные производные рассматриваемой функции в данной точке: 1, ! П«+ А) =Л«1+ — 7(«! А+ — г»(«! А»+... !! 2! ТИИВР, т. 70, 22 9, сввтябрь 1982 Таким образом, аналитические — это такие функции, у которых существует производная любого порядка.

Как известно, для определения производной любого порядка в точке х=а достаточно знать значения функции в произвольно малой окрестности этой точки. Поразительное свойство ряда Тейлора заключается в-том, что форма функции на любом конечном расстоянии й от точки х=а однозначно определяется поведением функции в бесконечно'малой окрестности точки х=а.

Таким образом, существование рядов Тейлора означает, что аналитические функции обладают внутренней структурой с очень сильной связью, и, изучив свойства функции в малой окрестности точки х=а,можно точно предсказать, что произойдет с ней в точке х=а+й, находящейся от а на конечном расстоянии й. Такое свойство, однако, присуще только классу аналитических функций. К числу наиболее известных аналитических функций относятся, разумеется, функции синуса и косинуса, полиномы, а также дробно-рациональные функции вне своих полюсов. 1Н. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ, НАЙДЕННОЕ ДАНИИЛОМ БЕРНУЛЛИ Великий греческий математик Пифагор (около 600 г. до и. э.) первым нз ученых рассмотрел чисто физическую проблему, для решения которой потребовался спектральный анализ.

Пифагор занимался изучением законов музыкальной гармонии, возбуждая чисто синусоидальные колебания в струне, жестко закрепленной с двух концов. Эта проблема занимала ученых еще с древнейших времен, однако поворотный момент в ее математическом исследовании наступил лишь в ХУ111 в., когда удалось понять, что вертикальное смещение и(х, 1) колеблющейся струны удовлетворяет волновому уравнению Оги ! Оги — — — = О. 3хг сг 311 Здесь х — горизонтальная координата, а à — время.

Константа с — это физическая величина, свойственная материалу струны и численно равная скорости бегущих по струне волн. Поскольку концевые точки х=0 и х=п фиксированы, граничные условия принимают следующий вид: и(0, с) = и(я, 1) О. (Для простоты мы предположили, что длина струны равна и,) Со времени появления этого уравнения поиском его решения занимались крупнейшие математики всех времен. Работая над этой проблемой, они прокладывали путь теории спектрального анализа.

Один нз лучших результатов был получен в 1738 г. Даниилом Бернулли (!700 — 1782) 13). Бернулли ввел метод разделения переменных, согласно которому сначала строится пробное решение в виде произведения некоторой функции только от х на некоторую функцию только от й и(х, 1) = х(х) т(1). Подставив пробное решение в дифференциальное уравнение и решив его, Бернулли получил следующие решения: сов дх сов»св, сов»х ив»св, Згп»Х СОЗ»С1, ЯВ»Х 5Ш»С1. Однако в силу граничного условия прн »=0 решения, содержащие соз йх, должны быть исключены, н, таким образом, возможные решения сводятся к двум вариантам: ап Дх сов Ьсг, МВ »х зШ »сг. Граничное условие прн х=п требует, чтобы значение й представляло собой целое число.

Учитывая линейность волнового уравнения, можно сделать вывод, что любая суперпозиция его решений также будет решением. Таким образом, Бернулли пришел к решению волнового уравнения в следующем виде; и(х, 1) = ~ вш»х(А» сов»сг+ В» вш»сг), »-1 где А„и „— произвольные постоянные.

Бернулли высказал утверждение, что зта бесконечная сумма есть общее решение уравнения колеблющейся струны. Из такого заявления вытекали поистине поразительные следствия. Дело в том, что из основных принципов механики было известно, что начальное смещение и начальная скорость струны могут быть заданы произвольно. Иными словами, было известно, что в начальный момент 1=0 как и(х, О), так и й(х, О) могут иметь любую функциональную форму. (Заметим, что точка над функцией означает дифференцирование по времени, поэтому и представляет собой скорость струны в вертикальном направлении.) Решение же Бернулли дает точные выражения для начального смещения н начальной скорости; и(х, 0) ~ А» вш»х, » 1 и(х, 0) = с ~ »В» згв»х.

»-1 Отсюда вытекает, что любую из двух произвольных функций и(х,0) и и(х, О) можно разложить на отрезке 0(х и в бесконечный ряд по синусоидальным функпдям. Во времена Бернулли этот вывод, однако, не удалось доказать строго. Результат Бернулли можно представить следующим образом. Пусть начальное смещение и(х, О) представляет собой произвольную неаналнтическую функцию 7(х). Для иее существует разложение Дх)= ~ А»ив»х, » в которое означает, что любая неаналнтическая функция 7(х) может быть представлена бесконечной суммой аналитических функций в!п йх с весовыми коэффициентами А». Этот результат, показавшийся для своего времени парадоксальным, привел к историческому спору: можно ли выбирать функцию 7'(х) произвольно нли она должна принадлежать к классу аналитических функций? С физической точки зрения функция 1(х), которая представляет собой начальное смещение струны, может выбираться произвольно.

С существовавшей в те времена математической точки зрения, ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ )(х), представляющая собой бесконечную сумму аналитических функций, должна быть аналитической функцией. Этой точки зрения придерживались все выдающиеся математики того времени. Два величайших математика всех времен предприняли попытку найти коэффициенты А о в данном разложении. Умножим обе части предыдущего равенства на э!п лх и затем проинтегрируем полученные произведения на интервале от 0 до и.

В силу того что Г (э/2 пря г = л ял хх ош лх ах о (О лрк Хел, получаем Ге Ал = — / у(х) ош лх ах. о Таков был результат, найденный Л. Эйлером (1707— 1783) (4) и Ж. Л. Лагранжем (1736 — 1813) !5). Таково было состояние вопроса к началу Х1Х в. ! т, жАн БАтист жОзеФ де ФуРье и ГАРИОническая СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ 2! декабря 1807 г. инженер Жан Батист Жозеф де Фурье (!768 — 1830) (6) выступил на заседании Французской академии с утверждением, которое выдающимся математикам, состоявшим членамн Академии, показалось невероятным.