Робинсон - История развития теории спектрального оценивания, страница 6

Таким образом, для любой заданной матрицы Н мы получаем единственное разложение Л = Лс 12с + Лт 0т "' ' ' ' + Лт 12т ° Здесь ٠— диагональная матрица с единицами на главной диагонали в тех позициях, где Лс присутствуют в Л-матрице, и с нулями в остальных позициях. Сумма матриц с2с дает единичную матрицу: Определим теперь матрицу Р) следующим образом: Р) = ии)и с, 1=1,2, ',т.

Проекционной матрицей называется эрмнтова идемпотентная матрица. Поскольку 1;)1 является одновременно эрмитовой (сгс=()) ) н идемпотентной ((гс(сс= =1Г1), МожНО СдЕЛать вЫВОд, Чта (Гс ЯвлЯется проеК- иконной матрицей. С другой стороны, поскольку матрица Р) является эрмитовой (Р)=Р) н идемпотентной: Р)Р) = и()си си())и ' = ии)и)и-с =РН можно утверждать, что Рг ЯвляетсЯ пРоекЦионной матрицей. Так как при Ьт) Р,Р)=ииги си(ли' =о, то Рс+Р) представляет собой проекционную матрицу, и пространство, определяемое матрицей Р,, ортого- нально пространству, определяемому матрицей Рс. Определим теперь функцию Рб (Л) непрерывной пере. менной Л как 2Г(Л)=Р,Е(Л- Л,)+Р,б(Л- Лт)+ +Ртб(Л- Лт), Данная фуниция есть непрерывное представление последовательности проекционных матриц ЄЄ... Р,„. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ «5 ат.

ве- то- лягся 2), ) г. ях. «ая рн" енно не- иН = / Л»ЗГ(Л) иВЛ. то, «ых «ня лн. ,ре- Н. гут Лт ом, «ст- Н= ~ ЛЗГ(Л)ВЛ, (и, Ни> щ ~ Л(и, г((Л) и> ВЛ на :утях. ЗГ(Л) вЛ, т. е. Ни = / ЛЗГ( Л) и г(Л, «по«реь= ганьку «по- ной — л З((л>вл. «цу. огоРг. ере- Р(н> = ~ ПЛ> г((Л) иЛ.

.нне Рассмотрим теперь квадратичную форму иНо, где и — вектор-строка, а и — вектор-столбец: иЯи= и(>А(«- и = иУ(Л, «2~ + Хг ()г + ' ' '+ Лт «2~) (« =и(Л«Рг +Х«Рг + ' '+ ХтРт) г' = = Л«иР«и + Лг иРг и + ' ' ' + Л щ иР,„и. Основной смысл спектрального неймановского предстэвлення сводится к тому, что компоненты иР«и чнсленно инвариантны прн заданных и, Н н о. Это дает возможность обойти неедннственность унитарной матрицы (), проявляющуюся прн разложении по собственным значениям. Очевидно, что данную квадратнчную форму можно записать в интегральной форме: Это уравнение, полученное Нейманом, есть слвюпральнве представление зрмитовой матрицы Н, Проанализируем полученное уравнение.

Исключив нз него и н о, получим влн в матричных обозначениях Н=Л,Р, +Л,Р, + +Лтгт. Вектор-строку и можно записать в виде и = иР«+ иРг + ' ' ' + иРт. В втоге приходим к выражению откуда Ни = Х«Рги+ ЛгРг и+ ' ' '+ ЛщРщ и. Рассмотрнм теперь функция матрицы Н. Начнем с квадрата Н: Н =(Х«Р, + ' +ЛтР;> =Лг«Р«+'' +Лг„Р,„т Очевндно, что возведение Н в квадрат приводят к возведенню в квадрат Л подзнаком интеграла. И вообв«е, хакую бы функцию от Н мы нн образовали, в итоге получится та же функция Л под знаком интеграла: Прнведенное выше спектральное представление получено для конечномерного пространства, т.

е. пространства, в котором элементы и н и представляют собой векторы, а эрмнтов оператор Н есть матрица. Одним нз главных достижений Неймана явилось то, что он ввел понятие бесконечномерного пространства, которое он назвал гильбертовым пространством в честь великого математика Давида Гнльберта (1862 — 1943). Положим теперь, что и н о представляют собой элементы в гнльбертовом пространстве, а Н представляет собон эрмнтов оператор. Гильбертово пространство характеризуется скалярным (внутренним, точечным) произведением. Скалярное произведение элементов и н о обозначается так: (и, о).

Если применить оператор Н к элементу и, то получится новый элемент Ни. Скалярное произведение элементов и н Но обозначается так: (и, Но). Скалярное произведение представляет собой аналог квадратичной формы иНо в конечномерном пространстве. Как только мы установили эту связь, так сразу стало ясно, что спектральное представление Неймана в гнльбертовом пространстве нмеетточно такую жеформу, как н в конечномерном пространстве. Таким образом, в гнльбертовом пространстве также существует оператор З((Л), являющийся непрерывным представлением ансамбля проекцнорных операторов, связанных с эрмнтовым оператором Н. В то время как В конечномерном пространстве мы пользуемся квадратичной формой иК(Л) и„ в гнльбертовом пространстве мы пользуемся ее аналогом в виде (и, гГ(Х) о).

Таким образом, спектральное представление Неймана в гнльбертовом пространстве имеет внд Обратимся к истории. Задача о собственных значениях в гнльбертовом пространстве, вообще говоря, не имеет решения, если искать его в виде интеграла от квадратичной формы. Однако физиков это обстоятельство никогда не смущало. Длц этой целя физики используют квадратнчно-волновые пакеты (т. е. интегрируемые с квадратом суперпознцнн собственных функций с собственными значениями в некоторой малой окрестности), причем делают это с самого первого нх появления в работе де Бройля н Шредингера (1924).

Один нз авторов работ, приведенных в списке литературы к данной статье, знал фон Неймана лично, усердно нзучал его работу н без каких-либо оговорок считает его одним нз поистине великих основателей квантовой теории. И тем не менее даже он считает, что никакого гкрнзнса в фнзнкег, который будто бы удалось преодолеть с помощью теоремы Неймана о спектральном представлении, никогда не существовало.

Большинство тогдашних спецналнстав, заннмавшнхся практическими выкладками с целью сравнения нх результатов с экспернментальнымн данными, нн разу не слышали об этой теореме, нбо она была для ннх столь высокой абстракцией, что не могла иметь ничего общего с нх работами. Мы уже успели проследить за развитием спектральной теории, начиная от аналитических функций Брука Тейлора н неднфференцнруемых функций Жана Батиста Жозефа де Фурье н кончая более общими операторами в гнльбертовом пространстве.

Очередные достижения на канщом нз этапов этого пути но- !6 ТИИЭР, т. 70, ЗЯ 9, сеатябре 1982 силн математический характер и вместе с тем закла. дывали основы дальнейших успехов физики. Ход рассуждений в математике и ход рассуждений в физике нередко выглядят совершенно по.разному. На фоне того или иного переворота в физике (как, скажем, возникновение в 20.х годах квантовой механики) и отака ошеломляющих новык физических результатов работа математиков по доказательству теорем о существовании и единственности, право же, иногда кажется несколько надуманной, уводящей в'сторону. Вернемся ненадолго к временам сэра Исаака Ньютона. Часто приходится слышать, что несравнимое величие гения и трудов Ньютона состоит в соединении выдающихся экспериментальных способностей с не менее выдающимся математическим дарованием.

Точно так же многие утверждают, что наиболее отличительной чертой ньютоновской науки является то, что Ньютон связал математику и эксперимент, т. е. ввел в практику математическую обработку результатов эксперимента или (как, например, в астрономии, геофизике и вообще в любой области науки, где эксперимент невозможен) результатов наблюдений. При всей безусловной справедливости такой характеристики, она все же не до конца отражает существо дела. Труды Ньютона — это не просто сумма математики и эксперимента: это еще и глубокая интуиция и проницательность, ярко проявившиеся в истолковании природы. В современной науке сильно развита специализация. Скажем, физики пользуются математикой: они формулируют свои задачи на языке математики, придумывают методы решения, делают длинные выкладки и вычисления; они при этом, как правило, не ставят своей целью разработку новых математических методов: — открытие и совершенствование новых абстрактных понятий и принципов относятся исключительно к сфере математики.

Джон фон Нейман (1903 — 1957) являл собой блестящий пример математика, занимавшегося физикой, который при этом мыслил и пользовался формулами, как настоящий физик, только еще быстрее. Он разбирался во всех областях физики, а также в химии и астрономии, но главным его талантом было умение выдвигать только такие математические идеи, которые имели непосредственное отношение к насущным проблемам физики. Введение в квантовую механику теории абстрактного гильбертова пространства, сделанное главным образом Нейманом, позволило создать на основе мощных интуитивных идей Дирака и других физиков стройную теорию.

Ее физическую сущность нельзя сформулировать иа математическом языке конечно- мерного пространства. Для этой цели приходится прибегнуть к гильбертовому пространству. После работ Гейзенберга и Шредингера, выполненных в 1925 и 1926 гг., в абстрактной математике возник кризис, поскольку физические основы квантовой механики не удавалось адекватно сформулировать в рамках существовавшего математического аппарата. Временный тупик был преодолен в 1929 г.

Нейманом П2), который заложил математический фундамент квантовой механики на языке гильбертова пространства. Рассказывают, будто юный Джон фон Йейман, который едва перешагнул через второй десяток и еще не имел докторской степени, как-то раз выступал с научным докладом в Геттингене. Понятно, чтоболь- шинство присутствовавших на докладе знаменитых физиков сочли его работу слишком абстрактной. Среди слушателей находился великий математик Гильберт. История гласит, что престарелый Гильберт наклонился к профессору Куранту и спросил его шепотом; «Что это за гильбертово пространствор» Существует и другая, еще менее достоверная история.

Как-то раз к Нейману пришли несколько физиков и рассказали о физической задаче, которую им не удавалось решить. Немного подумав, Нейман дал численный ответ, который подтверждал результат эксперимента, известный физикам, но скрытый ими от Неймана. Пораженные физики воскликнули; «Доктор фон Нейман, ведь, чтобы найти общее решение, надо было решить бесконечную систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, Вы наверняка придумали какой-то матеметически короткий путь)» На что Нейман ответил; «Да нет, я как раз и решил зту самую систему». Нейманом было показано П31, что с математической точки зрения в квантовой механике требуется не само по себе решение задачи о собственных значениях, а именно спектральное представление.

В этом смысле спектральная теория есть ключ к познанию атома. Нейман пошел еще дальше, доказав !13), что спектральное представление столь глубоко пронизывает все квантовомехаиические концепции, что без него попросту невозможно обойтись. Найденное Нейманом спектральное представление эрмитова оператора Н явилось одним из величайших достижений в математике и одновременно вехой в истории спектральной теории. У!!!. ТЕОРИЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ, РАЗВИТАЯ ЭИНШТЕИНОМ И ВИНЕРОМ В 1627 г, известный ботаник Роберт Броун впервые сообщил об очень интересном кинетическом явлении, получившем впоследствии название броуновского движения. Броун обнаружил, что «чрезвычайно маленькие частицы твердой материи, будучи взвешены в чистой воде, совершают движения, которые я не могу объяснить и которые по своей нерегулярности и явной независимости до удивительности напоминают не столь быстрые движения некоторых простейших живых организмов в водной питательной среде».

Данный тнп нерегулярного, зигзагообразного движения лучше всего представлен пылинками в пучке света. Причина броуновского движения долго оставалась непонятной, пока с развитием кинетической теории вещества на стало ясно, что частицы движутся в результате неравномерной бомбардировки их со всех сторон быстрыми молекулами жидкости, в которой эти частицы находятся в виде взвеси. Броуновское движение ни на мгновение не прекрзщается. Подробная физическая теория броуновского движения 'была разра.