Пилипенко В.В. - Гидрогазодинамика технических систем, страница 4

й случае использования так называемой нестацнонар- нсп модели лля реглмов с сбратныыи тонные было пот~чена удовлетво- рптельчсе согласо,ание расчетных и окспериментзльных значений ча- стот и альчнтуд колебаний некоторых параметров системы. гулкость метода исоледовония сводилась к численному интегриро- ванию походной системы неютзейных уравнений лдя определения извюне; параметров оистемы во времени, осуществление которого, учитывая относительно простую структуру и невысокий порядок системы, не вызы- валс больпнх затруднений.

Существует ряд задач, связанных с исследованием олоиных гидро- еехакнческих систем, включающих в себя казитврущке центробеиыые на- сосы, автоколебательные рехямы в которых сопро.оклаюгся развитымв хазнтзхдоняялл колебиввпщм Грпменение метода численного иытегриро- озн-с аистах' уравнений математической модеяя, хотя и дает в резуль- тате наиболее явную картину колебаний, вызывает, вследствие слож- ности н громоздкости систеьн, существенные затруднения кзк при со- стзвлении модели, ток и пря реализации ее яа ЗВИ. Тзьпзм образом, целесообразно рассмотрение возмокности примене- ыл прпблкченных ьютодов реюения нелинейной задачи, т.е.

определе- ние м плюнул н частот уотановнвщихся колебаний в системах, В кото- рых нелинейности, обуоловлеглые кавнтаппонными яеленяяьм в насоса"., пграог определяхщую роль в огрииченж аьплитуд колебаний. Б настою~ее время одним пз основных црнблиленннх методов ис- следова~пья и расчета нелинейных систем является метод гармонической лннеарнзаь",и. метод применим для анализа слстем, содеризщих сильные неьюнейностп, поскольку в отличие от гногочполь яых квезилинейных методов п~~ццьтагвет введение малого параметра не в исходное уравне- ние, а в пскомоз биенье.

Математические основы метода /2/, содврка- с:е прздполспевпе о йльтруюьчх свойствах линейной частк систезм, вследствие нотооы; порзеювиая л на входе нелинейксстп колеблетоя по квазигариопз -соко."П занозу, наилучшим обрадом соответствуют Фю зяческому суисс зу . гссматрнзаоыого нами класса задач.действительно, анализируя расул,-ьты расмлфрсвок оспвллограьм развитых кзвитзцнон- пых калеб,'гей, вгг.ип лего, несмотря ца сильное отли ше Форьм колеба- ний давленье и расхода на входе в насос от гармсюхческой,форма коле- баний обьема кавптзписнкых каверы близка к спяуоопдпльной, что по- зволяет сделать предполовввке о янльтруал|х свойствах пглайной ча- стя спотеь;ы.

Г7 Таким образом, рассматривая объем жаьитационных каверн в кма стае переменной на входе нелинейного звена, переменной на выходе з иоторого является давление на входе в насос, а техас с жтэя нелиэе ную зависимость давления на входе в насос основной нелинейностью ь системе шяекоцентробеэный насос - трубопроводы, произведем ее гармоническуюю лине ариээцию. Математическая модель развитых нэвнтимоныых эвтаколебаний ис следуемой системы включает следуюцие уравнения /17. уравнение неустановившегося движения жидкости з пытахцей маги страли «»»»»«» '«« '«»г»» где «' — свьвол дифйеренцнрозания; «р,«»» - девления в бале и на вводе в насос; а, »« - жозКициенты гидравлического и инерциозног сопротивлений питаюцего трубопровода; »»« - секундный объемный рао ход жидкости на входе в насос.

Уравнение материального баланса для проточной части насоса «ы,'- а - г«, (2) где д - суммарный объем навигационных кэеерн;,г, -секундный объеьшый расход жидкости на выходе из насоса. Уравнение для определения давленая на входе в насос (3) г»» л- »»»/. Уревненве для ацмделения давлеыия на выходе из насоса .Ф~ - », ° «»,«Г'~»', (4) гдв г - давление на выходе из насоса; «ф -нэгор насоса; «",~~- навигационная Функция. Уравнение веустэыовившегося движения жидкости в напорном трубопроводе ~ру 4 ~,6» где «з» ~~ — козфйвцвенты гвдревлнчесэих и инерпионымх потерь жидкости в напорном трубопроводе. Предполагается, что основная нелинейность выражается уравнением (3), иоторое может в зависимости от применяемой модели описания 18 нтэцновных явлений Д/ представлять собой различные конкретные й ~кцнональные соотношения.

Остальные уравнения вследствие предло, ~пня об их линейности, линеарнзуюгся, после чего имеют следующий вкд в отклонениях Ь. соотзетствузщнх величин: / ф ~~ ф '.гД' (6) (7) с$ б/) -з Ра еА~~; ф ~'/А~ ~,фф, где /',, $~ - коэффициенты линеаризаззнных гщэрзвличесзшх сопротивлений питающего и напорного трубопроводов; з - тангенс угла наклона касательной к напорной характеристике насоса; б - тангенс угла наклона касательной к эавнсвмости напора насоса от объема кэвнтепкснных каверн Здесь и далев Ь: =л' - яч — отклонение соответствухщей величиг ны г, от нозшяельного ее значения ф, которое в нашем случае,вообще говоря, представляет собой ннмачую величину.

Учитывая тот зкспериьюнтельный факт Д7, что аешлитуда колебаний расхода эшдкоати на выходе иэ наооса существенно меньше аэплитуды колебаний расхода ва входе в насоо А~ ф, получаем из (7) УФ -Ф (10) (11) $-1, -,лу . Тогда (3) перепишем в вниз (12) /) р/'й',О-,аФ / или в отклоненнях (неэвлых) ф. ~~,®г,~~./. (13) Толин образом, иоолелуеман снстема разбивается на две частинелккейную (выракение (13) ) и лвнейкую с передаточной Щунювзей 19 У)' /г/ Ж Ус) /РГ (14) Выражение лля передаточной Функции линейной части системы можно получить из (б) -; (9): ~~ /ф-л/ Р~/ Ь' УГФ (15) //г' — М вЂ” /- ~- -— ,ф-,~ я л лб ,Р/,~ю/ / У//(чл' (16) которое в нашем случае верно вследствие того, что степень операторного ещогоччена,г/ нике степени многочлена 4~/Ф.

Нелинейная зависимость давления на входе в насос от объема кавитационных каверн и расхода имеет несимметричный вкд ('1/. Известно Д/, что для нвсввмтричных нелинейных характеристик даие п)м сиюетрмчных колебаниях переменной на входе нелинейности ( А" ) возниказп несимметричные по аииитуде колебания переменной на выходе ( ф ), вследствие чего центр колебаний сношается на нвкоторуш величину ( Ф' ). Учитывая вышесказанное, искомое решение длн Ь' ищем в ви>в ф Ф~~ ~/Я'/ млмР, (17 ) где,'А' ~', ж~ — величины вяъзштуды и частоты искомого пврлодаческого решеиня. Гармоническая линевркзапия нелинейности имеет вид /2/ ф,г /У,/Я' /а~/~/ гУ',/~Ф' ', (1В) гдя постоянная ссстезляюиая г /Ф „Ж'/а~/ определяется по фо)иоле у сзг 4,: — / ~~~» ~й ~l~4l~л~4; б'-"'/Ж/Ям~"'лп' г (12) с~л, тле йъ г. 20 Для того, чтобы линейная часть обладала свойством Фильтра,должно выполняться условие /2/ Иозй((вциенты гармонической лввеаризапии определяются пс фервузам Р: — / Р|/У |У |/А' /»|»м, ~-щЯ'/лщlз|рз|Фз| »М'ГР (го) 1 2/Е Ю= — | Р|/У» |У» |/Р»»/Р|»З(~2/а/Ц/РРЛЗ|/СОЗЗ||УЗ|.

» | у |»»Р» (21) тазмм образом, вследствие несимызтрзчвоств нелинейности ввали- туда и частота искомого периодического равенна зависят от величины у . определим условие для нехсмдення у» . Уравнение дзнамюа рассыацавззыой системы монет быть запасено в виде б'/Р/ А» -Р/Р/ З4/Р|»~,Р~~~ ' [22) Для постоянных составлящцих Уравнение (22) приобретает вид /2/ Ю) Ра У,-Р/Р/ РР /Ц,И~/, У Пе)епывем (23) в вила — =РР . Р/Р| (2а) нелвнейыооти (12) прз. Учитывая (24), гарыоничеоиая лвнеарззапия мет внд ~/»» |''»»~ з/ /'»Р ///» «| Р/ » Я'Р| Р Р| (16 ) Из (15) имеем ,Р|Р| К-,ф ЯМ»Р-»'Р| (га ) Одеева входящих в (гн) величаи в рассматриваемом случае (зрюмвытельно в геометрзчесвнм и ревюаым парззвтрзм системы ввекопентро- 21 бевный насос - трубопровою, подробное оппсвние которых приведено з главе 10 работы /1/ показывает, что да/ УД'l псэтоыу вырааение для определения смещения 7 примет вид ~~ /7~,,У~~/л7/= К (27) это означает, что на входе нелвнейности возникает точно таксе смещение пентра колебаний Я, которое ликвидирует несиивмтркв э выходе нелинейности.

учитывая (27), гармоническую лвнсэриэацив нелинейности (25) пе решсэем в виде и (а 7ч — 7,.7 — 7,5 -7,7 а,а -а,у .а г е в вггц Рвс.1. Таюм образом, получено уравнение (22) для определения немалы откпоневвй давления на входе в внекоцентробевннй насос ст ноюналь ной величины. Используя это уравнение (совместно о (27)) дчя авали за развитых каввтацка7ыык НОЛЕбаний в системе впексцентробеввый на сос - трубопроводы, мы имеем всэмовнссть применить хорсшо разработанные ютоды линейной жнеюнк, учитывая пр7 этом, вследствие зависимости козф()впиентов уравнения (22) от параютров колебаний осо бенности, обусловленные нелинейной ззвисвмсстьв давления на входе в насос от расхода и объема каввтз7п7онвых неве)ж.

На ркс. 1-3 представлены результаты расчета завнсымостей коей йвпвеятоэ гармокаческой лвнеаризецви от параЮтроз колебаний (аыпс Рис.2. Р я 4 6 )) ~Гц Р ду ор БР )и'у) д),н Рис.3. туды к частоты), получеввых в случав определения давления на входа в насос по вестациоварвой копали с учетом обратвых токов /1/.Расчеты прсводились по формулам (20) — (21), при этом величина сдввга центра колвбавий д опредвлякаоь по форщле (27), првьмвительно ла к геожтрвчвским и рвввмвым парювтрам насоса К 2 ° првведавным в работа [Ь3 ~су.

ц имо1. 1. Пидвпенко В.В., Ввдовцев В.А., Натанвов М.с. Нввитацяоввые аьтоколебавия и ддвамйка гидросистем. - М.: Машивостроевие, 1977.- 352 с. 2. Попов Ж.П. Птвкладвая тес)мя цроцассов управления в валвяейвых свстамах. - М.: Йаука, 1973. - 533 с. УДК 521.571-501.14: (532.528+534-14) А.С.Белецкий, Т.Н.Сайкова ПРИЫЕНЕНИЕ ЭИТОЛА ГАРМФИЧЕСК(Й ЛННЕАРИЗА(Р(И ПРИ АНААИЗЕ РАЗВИТЫХ КАВИТА($((ННЫХ АВТОИ(ПИНАНИИ В работе ('1/ по простейэей линейной динвмическсй модели системы шыекоцентробеиный насос - трубопроводы получено условие устойчивости по отнсщенню к малым возмущениям // У /Ф л,' ° в,- ,и -э (1 где 4,', 5 - коэ44п(кенты линеариэованных гидравлвческнх сопротивлений питыщего и напорного трубопрозодсв; ф - отрицательное лннеа1мзовзнное казитапионное сопротивление; - коэйбэпщент инерционных потерь лидкости в питвхщем трубспроноде; .К вЂ” кевита. цкоыная упругость; л — тангенс угла наклона касательной к кавитацвснной харзкте)истине насоса; э — тангенс угла наклона касательной к непа)пой характеристике насоса.

Если левая часть неравенства (1) равна нулю, то это значит,чт~ система находится на граэнце устойчивости. Уменьшение ие левой части неравенства (1) до отрнцательвых велпчщ означает,что систеъщ неустойчива. П)щ псзученвн выраэения (1) предполагалось кэазистэхщоварэсе изменение отклонения давления на входе в насос ф от объема навигационных нзверы Я' и расхода РР на входе в насос ~(1/: ~~*я,Л. ° в,А, . (2) В работе (3/ получено ВыРвление дэя определения, вообще говоря, немалых отклонений давления на входе в насос: с)/~~,~Ж'/жl ~~ . а'Рт,/Я'/а/Ф ' У~' (3) где ~, л - коэййнцкенты гармонической ллнеаркззцэн, нелинейной зазисамости давления на входе в насос, определяеьме по формулам х'ЗЛ а,,Ау», — частота и емплвтуда аолебаый нскоыого периодического реиения для переменной Ф -объема кзэитэъщопных каверн; яг - величина сдвига центра колебаний) / - скмзол лкФФэренцировання.

Учитывая в вырахенви (3) верное для развитых каэктепиоэных ев- токо онолебеннй соотношение /1/ ~Кс =- Ф получасы Ю~ж, ~Я: б м~ ф =сто' Я /лн,ф ~,/' ~у,, гравпнвач (5) и (2) видим, что коз$бжциент гармони:есной лкнсарнзадшь ~чl„'-„, У ~',', М и отношение .л — '-~ж-'--ж-' — / являютоя 3,'я,~х/' л а'/ ~ачсгакш навигационной упругости б и отр~щательного навигационного сопротивления Юж, учитывахшимй зависимости этих вели ин ол аьюлнтуды и частоты колебаний, а тежже от величины сдвига центра нохебзвий (;., возникаплего вследствие несимьетрншчости нелинейной зависимости давления на входе в насос от объема навитационяых каверн н расхода.

Известно ~1/, что система шяеноцентробеьяый насос — трубопроводы является ачтонолебательной, т.е. в результате "мягкого" возбуждения амплитуды колебаний в неустойчивой системе растут до определенной величины, а затем стабнлизиру;ются. В системе устанавливается устойчивый периодический режим написаний. Механизм стабилизагди амплитуд колебаний сводится к следующему.