Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям, страница 13

(Л1 — — 2, Лз,з = 3~1) (Л1 — — 1, Лз,з = хз) 002. (Л1 — — 2. Лз = Лз = 3) (Л1= 0, Лз =Лз =1). (Л1 = Лз = 2, Лз = — 5). (Л1=3, Лз =Лз = -1) (Л1 = Лз = 1, Лз = 2) (Л1 = 1, Л, = Лз = — 1), +р = 1). (Л1 = Лз = О, Лз = 3) (Л1 = Лг = Лз х = 4Х вЂ” рв р = Зх+ р — зв (Л1 — — Лз = Лз = 2). 1=Х+з В задачах 813 — 825 решить системы, не приведенные к нормальному виду. х = Зх+4р, 814. Р = — Х вЂ” Р. х = 2Х вЂ” Зр, 813.

р = х — 2р. 800. ( 802. ( 808. ( 808. ( 808. ( 810. ( 812. ( р=з+х, 1 = бх — бр+ 5з х=2х+р, р=х+Зр — з, 1 = 2р + Зх — х х = 4х — р — з, р=х~-2р — з, 1 =х — р+2з х = р — 2Х вЂ” 2з, р = х — 2р+ 2з, 5 = Зх — Зр+ 5з х=х — р+зв р=х+р — з, 5 = 2з — р х=2х+р. р = 2р+4з, 1=х — з Вов. ( ВВВ. ( 002. ( Вов. ( 822. ( т,=х — р — з, р=х+р з =Зх+з х = 2х+2з — р, р=х+2зв 1 = р — 2х — з х = 2х, — р — з, р = Зх — 2р — Зев 1 =2з — х+ р х = Зх — 2р — 3, р = Зх — 4р — Зз, з = 2Х вЂ” 4р х = р — 2з — х, р=4х+р, 2 =2Х+р — з х'=2х — р — з, р = 2х — р — 2з, В 14.

Линейные системы с настоянными коэдн4иииенслами 83 816. ~ х = Зх — у — с, у = — х+Зу — с, з = — т,— у+Зс. 22 — 5у = 4у — х, 817. Зт, — 4у = 2х — у. х — 2д + д+ х — Зу = О, 819. 4у — 2х — х — 2х+ 5у = О. 820. х — т+2д — 2д = О, х — т+у+у=О. х — 2у+ 2х = О. 821. Зт -ь у' — 8у = О. 823. х+ 5х + 2у+ у = О, Зх+ 5х + у + Зд = О. х+ 4х — 2т — 2у — у = О, 824. т' — 4т — у + 2у+ 2у = О. 2т+ 2х+ х+ Зу+ у+ у = О, 825. т+ 4т — т + Зу+ 2д — у = О. хЬт+у — 2д= 0, 818.

т. — у + и = О. с х+Зу — х = О. 822. х ь Зу — 2у = О. В задачах 826 — 845 решить линейные неоднородные системы. т = у+2е', 826. ~~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ | ~ ? е е у = х+1~. 828. х = Зх + 2у -ь 4 еес, у = х -~- 2у. х = 4х+у — е 830. у=у — 2х. 3 ч 2еэс 832. у=х+д+5е ~. т = у — 5совт, 827. ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ? ~ е е у = 2т+у. х = 2х — 4у+ 4е ~~, 829.

у = 2т — 2у. х = 2у — т+1, 831. у = Зу — 2х. т = 2т+у+е, 833. у = — 2х+ 2с. 84 2 14. Линейносе система с постоянными ноэфйтициентами 2 + +2 с 843. у = и+ 2р — Зе44. х = 4х — Зр+ в1п1, 842. у = 2т — р — 2совт. т, = 2т — у, у = 2д — т — 5есяп1 т=т — у+81., 844. у = 5т — у. 845. В задачах 846 — 850 данные системы решить методом вариации постоянных. т = 2у — т, еэс у = 4у — Зт+ е24 1 т = у+ 18 1 — 1, 846. 847. ~ у = — т+ 181.

2 т, = — 4т — 2у+ ес — 1 3 +Зу с ес еде. ( 1 т=т — у4- 849. сон т ' р = 2т — р. т = Зх — 2у, у = 2т — у+15 е' ъ6. 850. Решить системы 851 — 866, записанные в векторной форме: т = Ат, где т — вектор, А — данная матрица. 851. т = Ах, А = 1 4'3 01 — ~0 3).

4с1 й 852. х=Ат„А= ~ ~2 О)' т = т + 2у, 834. р = т — 5япт. т = 2т, — у, 836. у = у — 2х + 181. т = 2т+ 4д — 8, 838. у = Зт+ бу. т = т — у+ 2яп1. 840. у = 2т — р. т = 2т — 4р, 835. +3 с т = т+2у+101 е', 83'Г. у = 2т — 2д. т = 2т — Зу, 839. д = т — 2у+2 аш т = 2т — д, 841. р = т+ 2е". Э 14. Линейные системы с посп2оянными ноэффиииентами 85 А= А= А= А= 853. х = Ат,, 854. т. = Ах. 855. х= Ах, 856. т, = Ах, 857.

т = Ат, 858. т = Ат,, 859. т = Ат, 860. х = Ах 861. т = Ах, 862. т = Ат, 863. т = Ат, 864. х = Ах, 865. х = Ат, '32 — 3) ' (: '-') (' -:) (- -. ') — 3 2 3 ( 3 — 2 2). (-': ) (: ') ( .',) (- .:) (: -'.) ( . -'.) 86 З14. Линейные системы с поспшянными ноэффиииентоми 2 Π— 1 866. х=Аз:, А= 1 -1 0 3 — 1 — 1 В задачах 867 — ВТЗ найти показательную функцию ел данной матрицы А. 867. А = 871.

А = 2 1 0 873.А= 0 2 1 0 0 2 868. А = 870. А = 0 1 0 872.А= 0 0 0 0 0 2 В задачах 874 и 875 найти детей, не вычисляя матрицу е~. 874.А= — 1 2 0 . 875.А= 3 1 — 1 ВТВ. Тело массы гн движется на плоскости я, у, притягиваясь к точке (О, 0) с силой санте, где т расстояние до этой точки. Найти движение тела при начальных условиях з(0) = с1, у(0) = О, т(0) = О, у(0) = о и траекторию этого движении.

877. Один конец пружины закреплен неподвижно в точке О, а к другому прикреплен груз массы Згп, соединенный другой пружиной с грузом массы 2т. Оба груза двигаютсн без трения по одной примой, проходящей через точку О. Каждая из пружин растягивается на величину ж под действием силы а тт. Найти возможные периодические движения системы. ВТВ. На концах вала закреплены два шкива, моменты инерции которых 1з и 1з. При повороте одного шкива относительно другого на любой угол сэ вследствие деформации вала З 15. Устойчивость возникают упругие силы с крутящим моментом Лсо.

Найти частоту крутильных колебаний вала при отсутствии внешних сил. 879. К источнику тока с напряжением Е = 'г'в)пы1 последовательно присоединено сопротивление ??. Далее цепь разветвляется на две ветви, в одной из которых включена самоиндукция А, а в другой — емкость С (рис. 4). Найти силу тока в цепи (установившийся режим), проходящего через сопротивление Н.

Нри какой частоте ы сила тока наибольшая? Наименьшан? Рис. 4 У к а з а н и е. 0 составлении дифференциальных уравнений в задачах об электрических цепях см. п. 5 З 11. 880*. Какое условие достаточно наложить на собственные значении матрицы А, чтобы система уравнений (в векторной записи) х = Ат + 1(1) имела периодическое решение при всякой непрерывной вектор-функции 1(1) периода ы? Указание. Применив метод вариации постоянных в векторной форме, выразить общее решение через фундаментальную матрицу е~, функцию 1(1) н начальные условия. Воспользоваться условием периодичности. 8 15.

УСТОЙЧИВОСТЬ 1. Рассмотрим систему уравнений ьЬь — *=ть(ь,зм ..., з„), 1=1, ...,ьь, или, в векторной записи (2) дть Пусть есе гь и, непрерывны при ьо (1 ( со. дзь Решение з = у(Е) системы (2) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого в > О существует такое д ) О, что для 215.

Устойчивость вснкого решения х(1) той же системы, начальное значение которо- го удовлетворяет неравенству ~х(бо) — 1о(1о)! < 6, при всех 1 ) го выполняетсн неравенства ~ (1) — 1(1И < . Если же для некоторого г > О такого 6 не существует, то решение 1о(1) называется неустойчивым. Решение х(1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Лнпунову и, кроме того, все решении с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются к ю(1) при 1 -ь +со, т.е. если из неравенства (3) следует х(й) — Ьз(1) -ь О (1 -ь +ос).

Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора 1о. Вопрос об устойчивости данного решения х = фб) системы (2) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решении у(г) = О другой системы, получаемой ич (2) заменой искомой функции х— — 1(г) =у. 2. Исследование на устойчивость по первому приближению. Пусть х;(1) = О (г = 1...., и) — решение системы (1). Чтобы его исследовать на устойчивость, надо выделить из функций Д, линейную часть вблизи точки хз = ... = х„= О, например, по формуле Тейлора.

Полученную систему часто можно исследовать с помощью следующей теоремы. Теорема Ляпунова. Рассмотрим систему Н~, Ж вЂ” = а,зхз+ ... +ажх„+чрс(И хм ..., х„), ь = 1, ..., гц (4) где а;ь — посгпоянные, а рч -- бесконечно малые вьиае первого по- рядка. точнее, при ~х~ < ео )фг) < у(х)/х!, г = 1, ..., и, у(х) ь О при )х) — ь О, (5) д ) )=,л,) г...~ь~. Тогда если все собственные значения матприцы (аш), ь, й = = 1, ..., и, имеюзп отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (4) асимптотически устойчиво; если же хоть одно собственное значение имеет положительную вещественную часть, то нулевое решение неустойчиво. 89 х15.

Устойчивость П р и м е р. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы < х = ь/4+ 4у — 2е'+", у = вшах -1- 1п(1 — 4у), а = сопле. Выделяя линейную часть функций по формуле Тейлора, получаем < х = -2х — у -1- уч (х, у), у = ах '1у+ фг(х у) где функции грг и фг равны О(х~ + у ) и, значит, удовлетворяют условию (б). Находим собственные значении матрицы коэффициентов 4 Л ~ — О, Л +6Л+8+а=О, Лиг= — Зхъ6 — а. При а > 1 корни комплексные, НеЛкг = — 3 < О, а при — 8 < а < 1 корни вещественные отрицательные, значит, в этих случаях нулевое решение асимптотически устойчиво.

При а < — 8 один корень положителен, значит, нулевое решение неустойчиво. При а = — 8 имеем Лг = О, Лг = — 6 и вопрос об устойчивости не решаетсн с помощью изложенной теоремы. 3. Исследование на устойчивость с помощью функции Ляпунова. Производной от функции о(й хц ... ..., х„) в силу системы (1) называется функция до ~ до ди до Ж ~О1 д1 дхг дхо где хц ..., 1"„— правые части системы (1). Теорема Л нпунова.