Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям, страница 10

-~- +4х" -~- ... = О. Приравнивая нулю коэффициент при старшей степени х, получим: — 2п(п — 1) +4 = О; пэ — и — 2 = О. Отсюда пь = 2; корень пе = — 1 не годен (степень многочлена целое положительное число). Итак, многочлен может быть только второй степени. Ищем его в виде у = хе -~- ах -~- б. Подставляя в уравнение (2), получим (4а -~- 4)х -1- + 2+2в,+46 = О. Следовательно, 4а+4 = О, 2+ 2а+46 = О. Отсюда а = — 1, Ь = О.

Итак, многочлен у = х~ — х нвлнется частным решением. 4. При решении задач 738 — 750 воспользоваться следующими утверждениями, вытекающими, например, из З 7 гл. Ъ' книги (5). Пусть ~ДС)( ~( Пе при са Ч 1 ( со; с, и = сопят > О. Тогда 1) уравнение ик + (1 + ф(1))и = О имеет два таких линейно независимых решении, что при 1 -е -~-оо 2) уравнение ин — (1 — ф(С))и = О имеет два таких линейно независимых решении, что при 1 — ь +~х> иь(1) = е' (1 + 0 ( — ) ), ие(г) = е ' (1 + О ( — ) ) .

В задачах 641 — 662 исследовать, явлнются ли данные функции линейно зависимыми. В каждой задаче функции рассматриваютсн в той области. в которой они все определены. 641. х+ 2, т — 2. 642. бх + 9, 8т + 12. 644. 1, х, х'. 643. в)пх, соьлн 645. 4 — х, 2х+ 3, бх, + 8. 64 2 12. Линеание уравнении с иеуеменными коэффициентами 646 3+2 3,2 647.

хз — х+ 3. 2хз -Ь х, 2х — 4. 654. вЬх, сЬх, 2е* — 1, 3е + 5. 656. япх, созх, в1п2х. 655. 2, 3*, 6*. 657. з|пх, яп(х+ 2), соз(х — 5). 661. х, [х[, 2х+ Лх~. 663. а) Явлнютсн ли линейно зависимыми на отрезке [а, 5) функции, графики которых изображены на рис, 1? б) Тот же вопрос длн рис. 2. Рис. 1 Рис. 2 664. Известно, что длн функций ды ....

у„детерминант Вронского в точке хе равен нулю, а в точке х~ не равен нулю. Молева ли что-нибудь сказать о линейной зависимости [или независимости) этих функций на отрезке [хо, хг)? 665. Детерминант Вронского дла функций ды ..., у„равен нулю при всех х.

Могут ли быть зти функции линейно зависимыми? Линейно независимыми? 648. е', ез', ез* 650. 1, япзх, сов2х. 652. 1п(хз), 1п3х., 7. 658. их, ~/х+ 1, ~/т+ 2. 659. агс$8х. агссьих. 1. 660. хз, х[х[. з ~ з[ 649. х, е*, хе*. 651. зйх, сЬх, 2+ е . 653. х, О, е'. 2 12. Линейные уравнения е переменными нову?фиииентами 65 666. Что можно сказать о детерминанте Вронского функций ры ..., у„, если только известно, а) что они линейно зависимы? б) что они линейно независимы? 667. Функции уз — — х, уз = х"", уз = ]хз] удовлетворяют уравнению хзуп — 5ху'+ 56 = О. Являются ли они линейно зависимыми на интервале ( — 1, 1)? Объяснить ответ. 668. Доказать, что два решения уравнения ун+ +р(х) р'+ + у(х)р = 0 (с непрерывными коэффициентами), имеющие максимум при одном и том же значении х, линейно зависимы. 669. Даны 4 решении уравнения уи' + ху = О, графики которых касаются друг друга в одной точке.

Сколько линейно независимых имеется среди этих решений? 670. Пользунсь известным утверждением об интервале существования решения линейного уравнения ([1], гл. е', конец 2 1), определить, на каком интервале существует решение данного уравнения с указанными начальными условиями (не решан уравненин): а) (х + 1)ун — 2у = О, у(0) = О, у'(0) = 2; б) уи + узх х, = О, у(5) = 1, у'(5) = О. 671. Могут ли графики двух решений уравнения у~"1 + + рг(х)у~н О + ... + р„(х)у = О (с непрерывными коэффициентами) на плоскости х.

у а) пересекаться. б) касаться друг друга? 672. При каких и уравнение задачи 671 может иметь частное решение у = хз? 673. Линейное однородное уравнение какого порядка на интервале (О, 1) может иметь такие четыре частных решения: Уг —— хз — 2х + 2, дз = (т — 2)з, Уз = хз + х — 1, У4 = 1 — х? В каждой из задач 674 — 680 составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения.

6Т5. х, е*. 6Т4. 1, созх. 676. Зх, х — 2, е'+ 1. 6ТТ. хз — Зх, 2хз+ 9, 2х+ 3. 679,, з 678. е', зЬх, сйх. 680. х, хз, ]тз]. 66 г 12. Линейные уравнен и с переленны.ии неэуеуиииентиии В задачах 681 — 701 найти общие решения данных уравнений, знан их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной функции ут = ее* или алгебраического многочлена уг — — т +ох" '+ Ьх" г+ ... 681. (2х + 1) ун + 4ху' — 4у = О.

682. хг(х+ 1)ун — 2у = О: ут = 1+ 1~. 683. хун — (2х+ 1)у'+ (х+ 1)у = О. 684. хун + 2у' — ху = 0; уг = '— . 685. ун — 2(1 -~-18~ х)у = О: уг = 18х. 686. х(х — 1) ун — ху' + у = О. 687. (е + 1)ун — 2у' — е у = 0; уд = е — 1. 688. хгун 1п х — ху' + у = О. 689. ун — у'ейх+ 2у = О; уг = шпх. 690.

(. ' — 1) ун + (» — 3) у' — у = О. 691. хун — (х + 1) у' — 2(х — 1)у = О. 692. ун + 4ху' + (4л:г + 2)у = О; уг = е * . 693. хун — (2х -1- 1)у' + 2у = О. 694. х(2 е + Цун + 2(х + 1) у' — 2у = О. 695. х(х + 4)ун — (2х + 4)у' + 2у = О. 696. х(хг + 6)ун — 4(тг + 3)у'+ бту = О, 697. (хг + 1)ун — 2у = О.

698. 2х(т + 2)ун + (2 — л:)у' + у = О. 699. хун' — ун — ху'+у = О; уг = х,, уг =е'. 700. хг(2х, — 1)ун'+ (4х — 3)хун — 2ху'+ 2у = О; у1 = х уг = 1/х. 701. (хг — 2х + 3)ун' — (хг + 1)ун + 2ху' — 2у = 0 уг = х, уг = ее. 2 12. Линейные уравнения е нереленнили наэф4иииентали 67 В задачах 702, 703 найти общее решение линейного неоднородного уравнения, если известно, что частное решение соответствующего однородного уравнения является многочленом. 702. (т+1)хун+ (х+ 2)у' — у = т+ ~.

703. (2х+ 1)ун+ (2х — 1)у' — 2у = хг+ х. В задачах 704, 705, зная два частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка. найти его общее решение. 704. (т, — 1)ун+4ху'+2у=бт:, уг — — х. уг = н++~~. 705. (Зхз + х)дн + 2У' — бхР = 4 — 12хг; дг — — 2х, дг=(х+1) . В уравнениях 706 †7 линейной заменой искомой функции д = а(х)г уничтожить член с первой производной.

706. хгун — 2ху' + (хг + 2)у = О. 707. тгун — 4ху'+ (б — хг)у = О. 708. (1+ ха)ун+ 4хд'+ 2у = О. 709. таун + 2хгу' + (хг — 2)у = О. 710. хди + у' +:су = О. В уравненинх 711 — 715 заменой независимого переменного 1 = р(х) уничтожить член с первой производной. йхзд 712. (1 + хг) ун + ху' + у = О. 713. хг(1 — хг)да + 2(х — хз)у' — 2у = О.

714, ун — у'+ сену = О. 715. 2хдн + у' + ху = О. 716. Зная три частных решения уг = 1, уг = т,уз = хг линейного неоднородного уравнения второго порядка, написать его общее решение. 68 212. Линейные уравнения е переменными квэ4фиииенепвми 717. Что можно сказать о функции р(х), если известно, что все решения уравнении уи+р(х)у'+ д(х)у = О при х — е оо стремятся к нулю вместе со своими первыми производными? указание. Воспользоваться формулой Лиувилля. 718.

Доказать, что в случае Л(х) < 0 решения уравнения уи + р(х)у'+ д(т)у = О не могут иметь положительных максимумов. 719. Где могут лежать точки перегиба графиков решений уравнения уи + Л(х)у = О? 720. Могут ли графики двух решений уравнения уи + + Л(х)у = О (функция д(х) непрерывна) располагаться так, как на рис. З,а? рис. З,б? рис. З,в? рис. З,г? г) Рис. 3 721. Доказать, что отношение двух любых линейно независимых решений уравнения уи+ р(х)у'+ д(х)д = 0 (с непрерывными коэффициентами) не может иметь точек локального максимума.

722. Доказать, что в случае д(х) ) 0 для любого решения уравнении уи + д(х)р = О отношение у'(х)1'у(х) убывает при возрастании т на интервале, где д(х) ф О. 2 12. Линейные уравнения е переменными нвэуефиииентами 69 723. Доказать, что в случае д(х) < 0 все решении уравнения ун + 9(х)9 = 0 с положительными начальными условиями 9(хо) > О, 9'(хо) > 0 остаются положительными при всех х>хв. 724. Доказать, что решение уравнения уи — хгр = 0 с начальными условиями у(0) = 1, у'(0) = 0 есть четная функция, всюду положительная. 725*.

Доказать. что в случае Ч(х) < 0 краевая задача ун+ д(х)У = О, 9(хг) = и, 9(хг) = Ь В задачах 727 — 730, используя результат предыдущей задачи и теорему сравнении (см. (Ц, гл. М1, Ь' 2, п. 3), оценить сверху и снизу расстояние между двумя соседними нулями любого (не тождественно равного нулю) решении следующих уравнений на заданном отрезке.