Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям, страница 8

Если правая часть уравнения равна сумме нескольких функций вида Р(х)ез' и вида (6), то частное решение отыскивается по следующему правилу. Частное решение линейного уравнения с правой частью (~-~- +... + 1г Равно сУмме частных Решений УРавнений с той же левой частью и пРавыми частЯми 7м ..., Тг. Общее решение линейного неоднородного уравнения во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнении и общего решения однородного уравнении с той же левой частью.

Пример. Решить уравнение у — бу + 9у = хе * +е * сов 2х. (8) Характеристическое уравнение Л -ОЛ +9Л = О имеет корень Л = 3 кратности 2 и корень Л = О кратности 1. Поэтому общее Решение адноРодного УРавнениЯ имеет вид Уа = (Сз + Сзх)ез + -~- Сз. Правая часть (8) состоит из двух слагаемых вида (6); для первого 7 = а -Ь Щ = 3. а для второго а+ 61 = 3-Ь 21. Так как этн числа различны, то надо искать отдельно частные решения уравнений ун' — бун + 9у' = хе *. у — бу' + 9у = е *' сан 2х,. (9) (10) Числа 7 = 3 является корнем кратности з = 2, поэтому частное решение уравнения (9) согласно (4) имеет вид у~ = хз(ат+ -РВ)еы. Подставив у = уг в (9), найдем о = 1/18, Ь = — 1/18. 52 311. Линейные уравнения с постоянными ноэугу1ициентами Далее, число а + ~% = 3 + 2г не явлнется корнем характеристического уравнении,поэтому частное решение уравнения (10) согласно (7) имеет вид дг = ез" (ссов2х+ ав1п2х).

Подставив у = уг в (10), нейдем с = — 3/52, а' = — 1/26. Общее решение уравнения (8) равно у = уо + дг -~- уг, где уе, ум уг уже найдены. 3. Линейное неоднородное уравнение аод~ ~'+аг1С~" ~+ ... + аод = /(х) (11) с любой правой частью /(х) решается методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение д = Сгуг+... +С у„линейного однородного уравнения с той же левой частью. Тогда решение уравнении (11) ищетсн в виде д = Сг(х)уг + ... + С„(х)у„. Функции С;(х) определнютсн из системы С,'д, + ... -Р С„' д. = 0 Ср +...+С у„=б ао(С,'у,'"-О+ ... + С„'у~,'*-О) = /(х). 4. уравнение Эйлера аох у~"~+агх'" уф ~ т ... +по гху +аоу =/(х) (12) сводится к линейному уравнению с постоннными коэффициентами заменой независимого переменного х = е при х ) 0 (или х = — е при х ( 0).

Для полученного уравнения с постоянными коэффициентами характеристическое уравнение имеет вид аоЛ(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2)... (Л вЂ” и+1)+... +а гЛ(Л вЂ” 1)+а„гЛ+а„= О. При составлении этого уравнения каждое произведение хмуро в (12) заменяется на произведение й убывающих на 1 чисел: Л(Л вЂ” 1) (Л вЂ” 2)... (Л вЂ” й+ 1). Пример. Решить уравнение х у — т, у +2ху — 2д=х. ,3 го г е г з (13) 211. Линейные урпонения с постояннылси ноэ1Дфиииентпми 53 Сразу пишем характеристическое уравнение и решаем его: Л(Л вЂ” 1)(Л вЂ” 2) — Л(Л вЂ” 1) 4- 2Л вЂ” 2 = О.

(14) (Л вЂ” 1)(Л вЂ” 3Л+ 2) = О, Лз = Лз = 1, Лз = 2. Прн таких Л общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид (согласно п. 1) Уо = (Сг + Сзс)е' + Сзем. Чтобы решить неоднородное уравнение (13), сначала раскроем скобки в (14): Лз — 4Л + ОЛ вЂ” 2 = О. По этому характеристическому уравнению составляем левую часть дифференциального уравнения, а правую часть получаем из правой части (13) заменой х = е'.

у[ — 4у[ + бу[ — 2у = е ~. Так как число 3 не является корнем характеристического уравнении, то частное решение ищем в виде уг = пе . Подставлня в зс уравнение, находим и = 1/4. Следовательно, общее решение имеет вид у = уо + у~ = (Сг -1- Сзт)е' + Сзе ' + — ез' = 4 = (Сг+Сз!пх)х+Сзх'-1- — х' (х > О). 4 При х < О получается аналогичнан формула, но с 1п [х[ вместо 1пх. 5. Длн решения задач 635 — 640 и 879 можно пользоваться следующими законами теории электрических цепей (см. также [3[, з 13). Для каждого узла цепи сумма всех притекающих токов равна сумме вытекающих токов. Алгебраическая сумма напрнжений источников тока, содержащихся в любом замкнутом контуре цепи, равна алгебраической сумме падений напрнжений на всех остальных участках этпго контура.

Падение напряжения на сопротивлении П равно Ш", падение напРЯженин на самоинДУкЦии А Равно А о, 1 паДение напРЯжениЯ на ш. конденсаторе емкости С равно о/С, где д = д(1) заряд конденсатора в момент й при этом 3л = 1; во всех трех случаях 1 = 1(1)— а сила тока, протекающего через рассматриваемый участок цепи в данный момент и В этих формулах 1 выражаетсн в амперах,  —- в омах, й —. в генри, о —. в кулонах, С вЂ” в фарадах, 1 — в секундах, напряжение — в вольтах. 54 511. Линейные уравнен л с ностоянныли коэффициент ни П р и м е р. Последовательно включены: источник тока, напряжение которого меняется по закону В = Р гйпшй сопротивление В и емкость С. Найти силу тока в цепи при установившемся режиме'. Решение.

Сила тока 1 = 1(1) на любом участке цепи одна и та же (по закону о последовательном соединении). Падение напряжения на сопротивлении равно В1, а на емкости д/С. Следовательно. В1-~- — = ИзпыЛ. Дифференцируя и пользуясь тем, что Я бу ' С вЂ” = 1, получим уравнение Ф 61 1  — + — = 1'ш сое сЛ. 61 С (15) Это — линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Для отыскания установившегося режима найдем периодическое реше- ние этого уравнении. Исходя из вида правой части уравнения, ищем решение в виде 1 = Агсозсм -~-Вгшп~Л. (16) Подставляя (16) в (15) н приравнивая коэффициенты при подобных членах, получим систему двух уравнений, из которой можно найти А~ и Вы Но в электротехнике важнее знать не коэффициенты А~ и Вг„а амплитуду изменения силы тока. Поэтому выражение (16) переписывают в виде 1 = Ашп(сЛ вЂ” ~о).

(17) А ВАшзпг(о+ — соз р = О, А ВАш сов р — — шп1о = Иш. С Отсюда найдем Поясним, почему найденное периодическое решение называется установившимся режимом. Общее решение уравнения (15) равно ~устаяовнвшнмсн режимом назыеаетсн такой, прк котором сила токе постоянна нлн меняется периодически. Подставляя (17) в (15), переходя к тригонометрическим функци- ям углов шб и р, приравнивая коэффициенты сначала при з(пшс, а затем при сов ш1, получим З 11. Линейные уравнения с постонннъаии коэднуиииентачи 55 (18) Твк как решение уравнения (18) 7 = Ле Ыво (здесь К вЂ” произвольная постояннан) стремится к нулю при 1 -+ -Ьоо, то любое решение уравнения (15) при г -+ +со неограниченно приближаетсн (и притом весьма быстро) к найденному периодическому решению (17). Решить уравнения 511 — 548. 511. ун+ д' — 2д = О.

512. до+ 4у'+Зд = О. 513. уи — 2у' = О. 514. 2ун — 5у'+ 2у = О. 515. ун — 4у'+ 5д = О. 516. до+ 2д'+ 10р = О. 517. ун + 4у = О. 519. у~~ — у = О. 518. уи' — 8у = О. 520. уги+4у = О. 521. учг+ 64у = О. 522. дн — 2у' + д = О. 523. 4ун + 4у'+ у = О. 524. у~ — Одг~ + 9ун' = О. 525 уи 10уш + 9у~ О 526. дг~ + 2ун+ у = О. 527. ун' — Здн + Зу' — у = О. 528.

уи' — дн — у'+ у = О. 529 дгч 5д + 4у 0 530 уи + Зу + 16ую О 532. уг~+4ди+ Зу = О. 531. уи' — Зу' + 2у = О. 533. ун — 2у' — Зу = ее'. 534. до+ д = 4те . 535. ун — у = 2е* — хз. 536. до + у' — 2у = Зхе' . — Зу'+ 2д = в!пх. + у = 4 з(п я. 537. уи 538. ун 539. ун — 5у'+ 4у = 4шзез'. сумме найденного честного решения (17) н общего решения линей- ного одноролного уравнения 56 З 11.

Линейные уравнении с настоян«ызеи ноэйнуиииентачи 540. дн — Зу'+ 2у = хсовх. 541. дн + Зд' — 4у = е " ' + хе ' . 542. ун + 2у' — Зу = хзее. 543. ун — 4у' + 8у = езе + вш 2х. 544. ун — 9у = езе сов х. 545. уо — 2у'+ у = бхе". 546. ун + у = х яп х. 547. ун + 4д' + 4у = хез*. 548. уи — Зу' = Зхз+ вш5х. В задачах 549 — 574 длн каждого из данных уравнений написать его частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить). 549. ун — 2у' + 2д = ее + х сов х.

550. ун+ бд'+ 10у = Зхе з' — 2ез*совх. 551. ун — 8у'+ 20у = 5хее вш2эи 552. да+ 7у'+10у = хе з сов5х. 553. ун — 2у'+ 5д = 2хее+ ее яп2т. 554. ун — 2у'+ у = 2хе '+ ееяп2х. 555. ун — 8у'+ 17у = ее' (хз — Зхяпх). 556. ун'+ у' = япх+ х сов х. 557. дн' — 2ун + 4у' — 8у = ез" вш 2х + 2хз. 558. до — бу' + 8у = 5хез* + 2е4* вш х. 559. ун+ 2у'+ д = х(е ' — совх). 560. ун' — ун — д'+ у = Зее+ 5хвшх. 561. ун — бу'+13у = хзезе — Зсов2х.

562. дн — 9у = е зе(хз + яп3:с). 563 утч+ ун = 7х — Зсовх. я 11. Линейные ддаенения с постоянными ноэффициеюпали 57 564. уи+4д = спят сояЗж. 565 уи' — 4уи + Зд' = тг + хег'. 566. уо — 4д' + 5д = его я1п т. 567. да+ Зу'+ 2у = е *сове он 568. уо — 2у'+ 2д = (и+ее) яшт,. 569. рзи+ 5уа+ 4д = яшх ° соя2т.

570. уи — Зу'+ 2у = 2е. 571. уи — д = 4яЬт. 572. уа+ 4у'+ Зд = сЬж. 573. да + 4у = яЬх ° яйп 2эи 574. уо + 2у' + 2у = сЬ т, ° яйп лп Решить уравнения 575 — 581 способом вариации постоянных. 575. ди — 2у'+ д = "—. 576. до + Зу'+ 2у =,,~ „. 577. уи + у = 578. до+ 4у = 2тйт. 579. до + 2у' + у = Зе ' ъ~х + 1.