Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям, страница 14

Если существует дшрференцируемая 4Унниип о(хц ..., хп), УдовлетвоРЯгощ Я в области '1х~ < Ео Усло- виям 1) о>Оприх~О.е(0)=0. 2) — ) <Опри1х)<ео,1>1о, до сй ОЦ то нулевое решение системы (1) устойчиво по Ляпунову. Если вместо условия 2) выполнено более сильное условие 3) — < — ш(х) <О приО<1х! <ео,1>уо, до дт 01 а 41унплия ш(х) непрерывна при 1х! < во, то нулевое решение сис- темы (1) асимптотичесни устойчиво.

з15. Устойчивость Теорема Чета ее а. Пусть система (1) обладает нулевым решением. Пусть в некоторой области 1' пространства хм .... х„ существуетп диу1ференцируемая угункция о(тм ...... „т„), причем 1) точка х = 0 принадлежит границе области )г, 2) о = 0 на границе области 1' при )х! < ео, 3) в области 1' при 1 > го имеем о > О. д,' >м т(х) > О, -!(г,- 4ункция т(х) непрерывна.

Тогда нулевое решение системы (1) неустойчиво. Не существует общего метода построения функции Ляпуно- ва о (когда решение системы (1) неизвестно). В ряде случаев функцию Ляпунова удается построить в виде квадратичной формы в = 2 бггхгхг или в виде сУммы квадРатичной фоРмы и интегРалов от нелинейных функций, входящих в правую часть данной систе- мы. 4.

Условия отрицательности всех вещественных частей корней уравнения аоЛ -~-агЛ" '+ ... +а дЛ+а =О, ао >О, (6) с вещественными коэффициентами. а) Необходимое условие: все аг > О. В случае и < 2 это условие явлнется и достаточным. б) Условие Рауса — Гурвица: необходимо и достаточно, чтобы были положительн ми все главные диагональные миноры матрицы Гурвица аг ао О 0 0 О ... 0 аз аг аг ао 0 0 ... 0 аз аг аз аз аь ао .. 0 0 0 О 0 0 0 ... и На главной диагонали атой матрицы стоят числа аы аг, ..., ан. В каждой строке индекс каждого числа на 1 меньше индекса предыдущего числа.

Числа а, с индексами з > п или з < 0 заменяются нулями. Главные диагональные миноры матрицы Гурвица: аь ао 0 Ьз= аз аг аг, ... (7) аз аз аз ~аг ао Ь~ = аы Ь~ = ~ ~аз аг ' х 15. Устойчивость в) Условия Льенара--Шнпара. Необходимо и достаточно, чтобы все а, > 0 и ч»побн»3„з > О. »Л» — з > О. »3„з > О, ..., где г.'з, те же, что в (7). Эти условие равносильны условиям Рауса — Гурвица, но удобнее, так как содержат меньше детерминантов.

Пример. При каких а и Ь корни уравнения Л + 2Л + оЛз+ +ЗЛ+ Ь = 0 имеют отрицательные вещественные частиу Пишем условия Льенара — Шипара: 2 1 0 о>0. Ь>0. гааз= 3 а 2 =Оа — 4Ь вЂ” 9>0. »3»=2>0. О Ь 3 Отсюда получаем условия Ь > О, 6а > 4Ь+ 9. г) Критерий Михайлова. Необход мо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка 7(зии)» где 7(Л) — левая часть (6), при изменении и» от 0 до +со не проходила через нач ло координат и сделала поворот вокруг него на угол пп/2 в положительном направлении. Другая (эквивалентнан) формулировка критерия Михайлова: Необходимо и достаточно, чтобы п.„а з > 0 и чтобы корни многочленов р(«) = а„ вЂ” о, -з« -~-а„-4« г Ч(0) =а -» — а -зп+а зп были все положительными, различными и чередующимися, начиная с корня «з, т.

е. 0<«<1 <«<О < (Заметим. что многочлен (6) при Л = зь» равен р(в» ) +»ь»у(ь» ).) П р и м е р. 1(Л) = Л" +2Л" +7Л +8Л +10Л+6. Здесь а„= 6 > О, а з = 10 > О, а многочлены р(«) = 6 — 8«+ 2«з, у(»1) = 10 — 70+ Оз имеют корни «з = 1, «г = 3, гд = 2, пз = 5. Значит, 0 < «з < уз < < «г < уг По критерию Михайлова все корни многочлена 7"(Л) имеют отрицательные вещественные части. 6. Условия устойчивости нулевого решения линейной системы с периодическими коэффициентами см. в [Ц, гл.

П1, 3 16. Задачи 881 — 898 решаются с помощью определении устойчивости. 881. Пользуясь определением устойчивости по Ляпунову, выяснить, устойчивы ли решении данных уравнений с указан- 92 З 15. Устойчивость ными начальными условиями а) 3(1 — 1)х = х. х(2) = О. б) х = 4т — гзх. х(0) = О. г) 21х = х — хз, т(1) = О. в) х = 1 — х, х(0) = 1. 882. ф = — х, у = — 2у. 884. х = -х, у = у. 883. т=х, у=2у.

885. х= — у, у=2хз 886.:с=у у= — зп1х. 887. х=у, у=ха(1+уз). 888. х = — усозх, у = з1пх. 889. Траектории системы уравнений а*, = Р(х, у), ш = ®х, у), непрерывны, изображены на фазовой плоскости (рис. 5). Что можно сказать о поведении решений при 1 -+ +ос? Является ли нулевое решение асимптотически устойчивым? Является ли оно устойчивым по Ляпунову? Рис. 5 В задачах 890 — 892 выяснить, является ли устойчивым нулевое решение системы, если известно, что общее решение атой системы имеет указанный вид. 890.

х = С1 соззс — Сзе ~ у = С11~е ~+2Сз. 892. х=(Сь — Сз1)е ~, у= ' +Сз. 1п(сз -Ь 2) 893. Доказать, что длн устойчивости по Ляпунову нулевого решения уравнения з*, = о(г)х (где функция а(1) непре- В задачах 882 — 888 начертить на плоскости х., у траектории данных систем вблизи точки (О, О) и по чертежу выяснить, устойчиво ли нулевое решение. з 15.

Устолчиааста рывна) необходимо и достаточно, чтобы с 'пш а(а) 2ь ( +со. о В задачах 899 — 906 с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение 99а. ( 900. ( 901. ( 902. ( 909. ( 2ху — х+ у, бх~ + уз + 2х — Зу. х~+ уз — 2х, Зх — х+ Зу. е'+ "— сов Зх, а?4+ 8х — 2е". 1п(4у+е за), 2у — 1+ ~(1 — бх. ! п(З с" — 2 соз х), 2 ел — ~/3 +12 у 894. Доказать, что если какое-нибудь одно решение линейной системы дифференциальных уравнений устойчиво по Ляпунову, то устойчивы все решеаия этой системы.

895. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы остаетсн ограниченным при 1 -+ +со. то нулевое решение устойчиво по Ляпунову. 896. Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы стремитсн к нулю при б -а +со, то нулевое решение асимптотически устойчиво. 897. Доказать, что если линейная однородная система имеет хотя бы одно неограниченное при 1 -+ +ос решение, то нулевое решение неустойчиво. 898. Устойчиво ли нулевое решение системы хд = оа,(1)х, + паз(1)хз1 хз = аьч(1)ха + азз(1)хз2 если известно, что аы (1) + азз(1) а?2 > 0 пРи 1-а +ос? 'я 1о. Устойчивость х = ф(у — х), 904.. я у = 2" — 2 соя ( — — х) . 3 ян(2 — у) — 2х, ъ~9+ 12х — Зе", ев — е-39 42 — 3 81п(х + у), 1п(1+ з — Зт). В задачах 907 — 912 исследовать, при каких значениях параметров а и о асимптотически устойчиво нулевое решение.

~~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ 2 9 х = ах — 2у+х, 907. у=х+ у+ху. 909. х = х+ ау+ у, у = Ьх — Зу — хз. 911. х = 2 е с — т/4+ау, у = 1п(1+ х + ау). х = ах+у+х, 908. у =х+иу+у . т = у+81пх 910. ~ ~ ~ ~ 9 у = ах+ бу. т = 1п(с+ах) — е", 912. д = Ьх+ тку. 913.

Исследовать, устойчиво ли решение х = — с~, д = с системы х = у — 21у — 2у — х, у = 2х+ 21~ + ез' 914. Исследовать, устойчиво ли решение х = соя~, у = = 2 шпу системы у х =!и х+ 28ш 26 2' В задачах 915 — 922 для данных систем найти все положения равновесия и исследовать их на устойчивость. х=у х х, 2 915. у = Зх — х' — д 916. ~~ ~ ~ ~ ~ ~ 9 ' = ( — 1)(у — 1), у =ху — 2.

900. ( 906. ( у = (4 — хз) сояз — 2хшп21 — соязз 95 з15. Устойчивость 918. х=1п( — х+у ), 91т "=д' ~ ~ ~~ ~ ? с у =- яп(х -ь У). 2 — 2Я+**+ 2, 1п(х — 3). еи — е*, ~/Зх+ уз — 2. 1п(1 + у + япх), 2:,— 92 9" .:2. — япу, 2* -1 2б 2* В задачах 923 — 931 исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева. х=х — у, 923. д=:+д . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ з ~ ~ ~ ! з т=у — х+ху, 924.

у = х — у — х — уз. 925. х 2з .в д= у+у ° 92'Т. х=д Зх х у = бх — 2у. х = — х — хд2 929. у=у — х * = — Л(:в) — Уз(д), У зз(х) У4(у) где зеп )2(л) = айвз, 9 = 1, 2, 3. 4. В задачах 932 — 948 исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь известными условиями отрицательности вещественных частей всех корней многочлена, например, условиями Рауса — Гурвица или критерием Михайлова. 919. ( 929.( 921.

( 922. ( 926. х=хд — т. +у у=х у ° 928. х=2д — х — д', д= т — 2У. 930. х = х — у — ху, д — 2х д дз З 15. Устойчивость 932. у'о + уо + у' + 2у = О. 933. до'+ 2уо+ 2д'+ Зу = О. 939. у~~ 940. у~и 941. ух+ 2у~~ + 4уо'+ бди+ бу'+ 4у = О. 942 ухЧ 2уьч+Зу +бр +бр +2у О 943 ч1У + Ъ~~У+ 6~/ + 7уо+ 4уь+ 4у 0 944.

ух + 4д У+ Ори'+ Вбдо+ 19д'+ 13у = О. 945. дч + 4д У + 1бдо' + 25уо + 13д' + Оу = О. 946 цУ + Зуьи + 10 от + 22уо + 23у~ + 12у 0 947. у~ + бдт" + 15до' + 48уо + 44у' + 74у = О. 948 ух+ 2утч +14уг +Збуо+23у'+68у 0 В задачах 949 †9 исследовать, при каких значенинх параметров а и Ь нулевое решение асимптотически устойчиво. 949. ро' + ауо + Ьу' + 2у = О.

950. до' + Здо + ау' + Ьу = О. 951. д~ч+ 2у'о+ Зри+ 2у'+ ау = О. 952. у~~ + ауо' + уо + 2у' + р = О. 953. ау~и+ уо'+уи+ у'+ Ьу = О. 954. у~ + уо' + ауо + у' + Ьу = О. 955. у~и+ ау'и+ 4уо+ 2у'+ Ьу = О. 956. у~и + 2уо' + ауо + Ьу' + у = О.

934. ути 935. у" 938. у'У + 2уо' + 4уи + Зу' + 2у = О. + 2уо'+ Здо+ 7д'+ 2у = О. + 2уо'+ буо + 5у'+ бу = О. + 8у'о + 14до + Збу' + 45у = О. + 13уо' + 16уо + 55у' + 76у = О. + Зуо' + 26у" + 74у' + 85у = О. + 3,1уо'+ 5,2уо + 9,8у'+ 5,8у = О. 116. Особые точки 957. у~~+аул'+ 4уо+ Ьу'+ у = О.

958. у~и + 2уи' + 4уо + оу' + 1~у = О. Для исследования устойчивости уравнений с периодическими коэффициентами в задачах 959 и 960 надо найти матрицу монодромии и вычислить мультипликаторы, см. (ос], гл. 1И, з 15, з 16. 959. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения х + р(г)х = О, р(1) = а~ (О < 1 < к), р(Ь) = Ь (х < 1 < 2х), р(1+ 2х) = р(1), при следующих значениях параметров: 960. Исследовать, при каких а и Ь устойчиво нулевое решение системы с периодическими коэффициентами = А(1) ' . А(1 + 2) = А(г), А(1) = ~ „„~ при 0 < 1 < 1, А(1) = ~ ~ при 1 < Ь < 2.