Филиппов - Сборник задач по дифференциальным уравнениям

А. Ф. Филиппов СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика» 2000 УДК 517.9 ББК 517.2 ф 53 Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: ИИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 176 стр. Сборник содержит материалы для упражнений по курсу дифференциальных уравнений длн университетов и технических вузов с повышенной математической программой. В настонщее издание добавлены задачи, предлагавшиесн на письменных экзаменах на механико-математическом факультете МГУ.

ББК 517.2 1ЯВХ 5-93972-008-0 © НИН «Регулнрнан и хаотическая динамиках, 2000 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 32 ~3 34 35 36 49 74 87 97 104 109 119 122 129 3 1. 3 7. 38. ~ 9. 3 10. 3 11. 3 12. 3 13. 3 14. 3 16. 3 17. 3 18. 3 19. 3 20. 3 21. Изоклины. Составление дифференциального уравнения семейства кривых Уравнения с разделяющимися переменными Геометрические и физические задачи Однородные уравнения..... Линейные уравнении первого порядка Уравнения в полных дифференциалах. Интегриру ющий множитель Существование и единственность решения Уравнения.

не разрешенные относительно произ водной Разные уравнения первого порядка......... Уравнения, допускающие понижение порядка... Линейные уравнения с постоянными козффициен тами . Линейные уравнения с переменными козффициен тами . Краевые задачи Линейные системы с яостояннымн козффициентами Устойчивость Особые точки Фазоввя плоскость Зависимость решения от начальных условий и па- раметров. Приближенное решение дифференциаль- ных уравнений Нелинейные системы ..

Уравнения в частных производных первого порядка Существование и единственность решения 6 10 12 17 20 25 29 34 39 44 62 71 Содержание Ответы 152 Ответы к добавлению Таблицы показательной функции и логарифмов ..... 175 322. Общая теории линейных уравнений и систем . 323. Линейные уравнения и системы с постоянными зффициентами . 3 24. Устойчивость 3 25. Фазовая плоскость 3 26. Дифференцирование решения по параметру и начальным условиям 327.

Уравнения с частными производными первого рядка ... 133 ко- 137 142 144 по 148 по- ... 149 ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник содержит задачи по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений в соответствии с программой, приннтой на механико-математическом факультете МГУ. Часть задач взята из известных задачников Н. М. Гюнтера и Р. О.

Кузьмина, Г. Н. Бермана, М. Л. Краснова и Г. И. Макаренко, учебников В. В. Степанова, Г. Филипса; большинство задач составлено заново. Более трудные задачи отмечены звездочкой. В начале каждого параграфа изложены основные методы, необходимые для решения задач этого параграфа, или даны ссылки на учебники. В ряде случаев приведены подробные решенин типовых задач. В это издание включено «Добавление» [Ц 21 — 27), содержащее задачи, предлагавшиеся на письменных экзаменах и коллоквиумах на механико-математическом факультете МГУ в 1992-1996 годах. Задачи составлены преподавателями МГУ Ю.

С. Ильяшенко, В. А. Кондратьевым, В. М. Миллионщиковым, Н. Х. Розовым, И. Н. Сергеевым, А. Ф. Филипповым. В книге приннты условные обозначения учебников: [1] В. В. Степенов. Курс дифференциальных уравнений. [2[ И.Г.Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, [21 Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. [41 Л. Э. Эльсгольц.

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. [51 Б. П. Демидович. Лекции по математической теории устойчивости. У1. ИЗОКЛИНЫ. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО 'УРАВНЕНИЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ 1г(х, у, См ..., Со) = О, надо продифференцировать равенство (1) п раз, считан у функцией от х, а затем из полученных уравнений н уравнении (1) исключить произвольныо постоянные Сг, ..., С„. П р и м е р.

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых Сгх т (у — Сг) = О. (2) Так как уравнение семейства содержит два параметра, дифференцируем его два раза, считая д = у(х): С,-~2(у — С)у =О, 2у'г -Ь 2(д — Сг)У = О. (3) (4) 1. Решение уравнения у' = 1(х, у), проходнщее через точку (х, у), должна иметь в этой точке производную у, равную 1 (х, у), т.е. оно должно касаться прямой, наклоненной под углом о = ахсСО 1(х, у) к оси Ох. Геометрическое место точек плоскости (х. у), в которых наклон касательных к решениям уравнении у' = = 1(х, у) один и тот же, называется изоклиной. Следовательно, уравнение изоклииы имеет вид 1(х, у) = к, где х — постоянная.

Чтобы приближенно построить решении уравнения у' Г(х, у), можно начертить достаточное число изоклин, а затем провести решения, т.е. кривые, которые в точках пересечения с изоклинами 1(х, у) = хы 1(х, у) = хг, ... имеют касательные с угловыми коэффициентами соответственно хг„кгг ... Пример применения этого метода см.

[1], гл. 1, 2 1, и. 3, или [4), гл. !, "2 1. 2. Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые семейства 31. Изоклияы Исключаем Сь Из уравнения (3) имеем С~ = — 2(у — Сз)у'; под- ставляя это в (2), получим — 2иу (у — Сз) + (у — Сз) = О. Исключаем Сз. Из уравнения (4) имеем у — Сз = — у'~/у"; подставлян эта в (5), получим после упрощений дифференциальное ураннение у'+ 2зу" = О.

3. Линии, пересекающие все кривые данного семейства под одним и тем же углом ы, называются изогональными траекториями. Углы Д и о наклона траектории и кривой к оси От, связаны соотношением Д = гг ж у. Пусть у = У(* у) — дифференциальное уравнение данного семейства кривых, а у =Из у) (6) (7) г(а у у)=О (8) то при составлении уравнения изагональных траекторий можно обойтись без разрешении уравнение (8) относительно у'. В этом случае в (8) надо заменить у' на т8 о = $6(Д ~ у), где сОД = у' угловой коэффициент касательной к траектории. Если же уравнение семейства кривых дано в виде ы(ж у, С) = = О, то сначала нужно составить дифференциальное уравнение этого семейства и только после этого — дифференциальное уравнение траекторий.

В задачах 1 — -14 с помощью изоклин начертить (приближенно) решения данных уравнений. 1.у =у 2. 2(у+ у') = и+3. 4. (Уз + 1)у' = у — ш. 6. ку' = 2у. 5. Уу'+ к = О. — уравнение семейства изогональных траекторий. Тогда $8о = = У(з~ у)~ СКР = Ь(ж, у). Следовательно, если уравнение (6) написано и угол ы известен, то легко найти 18 Ц и затем написать дифференциальное уравнение траекторий (7). Если уравнение данного семейства кривых написано в виде З 1. Изонлини 8 у'+ у — (х у')з 10. у~у'+ х) = 1.

'Т. ху'+ у = О. 9. у' = т — е". ! Л вЂ” зн »-~-зз ' 1.3. хз + уху' = 1. 12. у' = -х —. е.~-з ' 14. (хз+ уз)у' = 4х. а) у'=у — хз: в) хз + уз ~ = 1; б) у' = х — е": г) у' = ~(х, у). В задачах 17 — 29 составить дифференциальные уравнения данных семейств линий. еС» 18. у = (х С)з 19. у = Схз. 21. хз + Сух = 2у. 20. у = ззп(х+ С). 22.

уз + Сх = хз. 23. у = С(х — С)з. 25. у=ахз+Ье . 24. Су = сйп Сх. 20. ( — а)'+Ьуз =1. 28. у = ахз+ Ьхз+ ох. 27. Ьту = ах+ Ьу. 29. х = ауз + Ьу + с. 30. Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лелзат на прямой у = 2х. 31. Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной Оу, и касаюпзихся одновременно прямых у=биу=х. 32. Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихсн одновременно прнмых у = О и х, = 0 и расположенных в первой и третьей четвертях. 33. Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной Оу,и проходящих через начало координат.

15. Написать уравнение геометрического места точек (х, у), являющихся точками максимума или минимуме решений уравнения у' = Дх, у). Как отличить точки максимума от точек минимума? 16. Написать уравнение геометрического места точек перегиба графиков решений уравнений Ь 1. Илоклияы 34. Составить дифференциальное уравнение всех окружностей, касающихся оси абсцисс. 35. аш+л =Ь, уз+аз =Ьл 36. шз + уз = лз — 2Ьл, у = ах + Ь.

В задачах 37 — 50 составить дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих линии данного семейства под данным углом 1о: 37. у = Сшл, 38. ух =к+С, р=90. ~р = 90'. 39. ш~ = у + Сш, 1р = 90'. 40. шз + уз = аз, ~р = 45 . ~р=60. 42. Зшз + уз = С, го = 30". 43. уз = 2рш. 44. г = а + сов о, ~р = 90'. 45.

г = а созз о, 46. и = а з1п О, д = 45'. 47. у = ш1пш+ Сж, д = агсб82. 48. шз + уз = 2аш, 1о = 45'. 49. шл + Сл = 2Су, р = 90 . 50. у = Сш+Сз, Уравнения, получаемые в задачах Вт — бв, могут быть решены методамн, налагаемыми в дальнейших параграфах. В задачах 35--36 найти системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют линии данных семейств. 1О Ь 2.

Уравнения с разделяющимися переменными П 2. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 1. Уравнения с разделяющимисн переменными могут быть записаны в виде у' = У(х)у(у). а также в виде М( ) 1У(у) д + Р(х) д(у) у = О. (2) Для решении такого уравнении надо обе его части умножить или разделить на таное выражение, чтобы в одну часть урввнения входило только х, в другую — только у, и затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей уравнении на выражение, содержащее неизвестные х и у,могут быть потеряны решения, обращающие зто выражение в нуль. П р и м е р. Решить уравнение (О) х уу -~-1=у. Приводим уравнение к виду (2): х у — =у — 1; х у згу=(у — 1)е(х.

,,Оу с)х Делим обе части уравнения на х (у — 1)." у' г у — 1 х' Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения: у' Рда 1 у= 1 —; — +у+1 ~у — Ц =--+С. у — 1,/ хг' 2 х При делении на х (у — 1) могли быть потеряны решения х = О г и у — 1 = О, т. е. у = 1.

Очевидно, у = 1 решение уравнения (3), а х = О -- нет. 2. Уравнения вида у' = 1(ах + Ьу) приводится к уравнениям с разделяющимися переменными заменой я = ах+ Ьу (или я = ах+ + Ьу + с, где с любое). П задачах 51 — 65 решить данные уравнения н длн каждого из них построить несколько интегральных кривых. Найти г 2. Уравнения с разделяющинися иереиеннвьни 11 также решения, удовлетворяющие начальным условинм (в тех задачах, где указаны начальные условия).

51. юуйю+ (я+ 1) с1у = О. 52. ~/уг + 1 йт = зд Оу. 53. (ю~ — 1)у'+ 2ху = 0; у(0) = 1. 54. у' с13т + у = 2; у(з) — ~ — 1 при и -+ О. 55. у' = 3(/дг; д(2) = О. 56. зр' + д = дг; у(1) = 0,5. 57 2,гу„' „„г 2 56 „' — ~1г=2зд 59. е ' (1+ а") = 1 60. г' = 10*с*. Ф 61. зф+1 = 1. 62. у' = соз(у — з). 63. у' — у = 2з — 3. 64. (з -ь 2у)у' = 1; у(0) = — 1. 61.