Арнольд В.И. - Теория катастроф, страница 7

гала отобрамевие д, имеет две складки. Пусть в начальный момевт плот»ость средм в точке х была рэ(х), С течением времени ичотиасть будет менвхьж. Нехрудаа сосбраавть, чга после обгааа грьфии илотпоств будет иметь хид, иэображеавый иа рпс. 4б (па расставляя е от точка охладив вваиюсть окэаыоаетс» парадна 1г)Г е). Такам абрааоы. небольшие отличил иачельпопг паля с~гадостей от ваотовиного иривоцят чероэ дастатачпо болг шт ерем» к обреэонааию скоплений частвц (е местах беа.

«анечка болыиай илатиасти). Этот вм од сахрааягтоя при переходе от одиоиориай среды ь среде, энпалвяюще« прас равсгао лгобой рээисрвооги, и при учете »лаяв»я аэ !ювжевие ее частиц нвешпегс сигового полн «лв поля, саэданвшю средой, а также при учеге эффектаа теории охвоситольвости и раоширеиая Все. лепной. Ясла силааые поля патепциальиы (т. е. их рабтн ва любом иути эависит лишь ат вача»э в конца пути) а и»- ыльпое поле с» ~растай тоже иотепцв»льва, то »ада»а отто»вил ообениссгей атабрагнеиий д, в их метнмарфаэ ирв иэмевевип ! математически тождестеевна аедаче об особеипас ах каустик и их мегамсрфое(то и другое сост»ел»- с прсдпет теорив тагг вааыеаемых логрлнлгеемх особгнлс тги). Точки бескаиечвов илотаасги образуют в случае двухмерное среди «риеые ла алосиощв.

Этв правые обрааоеавы »рита»соками еле»сна»ми атобрюкеаия да т, е, его эвачеааями е критических точках (для отабоаженин рис. 1 критические тачни — это точка экватора сферы, ирдтичесвиа эпачеэиа — хочки видимого воц-ура аа горвзоатальиай плоскости). Лилия критичесних эвачеаий шображепиа д, »аэы аетс» ега кадет»кой. Ео чожво определить как моста пересечений б сколечко блиэиих лучей (траепторвй чаатиа), т.

е так вге, «а» обычвую оию|чесиую кауствку. Таким же образом овисапие метнморфоа оитпчес»»х каустик доставляет аам оииоаиие перестроек Скоилеиип чашиц (мюг оескалечаов илогиоотв среды) при потекли львом дв«жалки, Пернил осабеаваать ва плоскаств выглэд т к сориив с иолувубичесви эаострспвыми еершипами (в трою мерОоы праотраистве ааворожденнан паугтика имеет еиц б.иодца) Я.

Б. Зельдович иазаал тавую каустииу блином (пер»оиачальво блины интерпретировались как галактики, иаэ»ге — как а«силе»ин). Пря дальаейшем дэи кепи« среды рождаются новые блины. Крапе тжа, иьнющиеся блиаы ващгпают перестраиваться и иог'ут вэаимодействоаать друг с другам. ых паследоввтельиостев событий е двух- 49 ме пой с еде изображеаа па рис. Все «оз» р . Орной орехе ало«автор«ма паре. Все «озмажпме о трехмерно" стройка иаобрвжеяы йв рпс. , 44, 45 (палучекве »тих резулщатоз уже тре Сует сложной математпчеакай теорие лаграшаевмх особенностей). сабе«аоста В ез льготе перестроек плотность имеет осо с«аоста результа настах блапов, па лилиях рааличвых порядков аа поверх«о Р .4.

а Рк 9. С й шз»ма»ойс» я 9 ааш 3 Хсз»чз точках. В деи характеризовать особе«вость и в отдельпых точках. у ти ассмат пваемой сргдяс2 ямошжгсаюю в з-акрешааети расам тр точки (т, о, атлошепие м массы. попавшей к е-опреат«ость, копечпостп, «отде рацаус окрест«ости е о ремится к пулю. Порядок величавы оредвей плотвосха в рнапич«ых та«как каустив така«: П ' с«сипи времен» в отдельпые момшшы доннрв ием паапа лиются ааобеипастп А, со сргдпей плогвастью поряд Соглвсло асхрсфазиквп, в те врсмееа, «агда радвус ламасштабпое раапределеппо »ещоствв ва Всшгеилой было кгически ая«ародпым, а аале спараахо — правтичесив потевцпальвыы.

Дал»падшее дви кение частвд р . б азоышию кауатик, т. е. особе«аостой алпгкоеса вела к о разо лохкоать и око плз«пй частиц. Да образовали» блп«ов пдо олпастаежя дастатошо малой, что5ьг считать среду бесшо вой. Псшге агата маме«ха ареду «апшо счвтать бе*стол«по»июль«оп, есле предполагать, что аая часть массы Вселекаоа сосредсточапа е масааввых войтрпвог если гке батыева часть масси приходны» ва аротааы п пейтро«ы, то п выводам из геопетрпл каустиК п их пероатраек Следует огласиться с осторожностью, тев «ак среда перестает быть беоатолопавительвай. Выводы а скопле«пи вещества «а поверхвостях с дро.

илушестееа«м скаслеяием вдоль пело»орых ляпай (шнуров), саед«кающихся в особых точлех (узлах), по-видимому, соответствуют астрова»лчеепиы паб. годов»як, пе »райней мере в общих черхах (С. Яг. Рйа дарил). 19. ОСОБКННОСТН К ЗАДАЧАХ ОНТНМНЗАЦПН» ФУНКЦИЯ ЫАКСНМУМА Много пслепвые Особеалостп, бпфуркацви п »гата. строфы (скачка) заза«кают оо »сех задачах о авхожлепии зкстуемучов (мажимумав, ьгплвмумон), задачах оппгмизацап, управ.гения а ярппя1ия регпеаий. Представим себе, например. чта иы дола»«м вмбрать л тая, чтобы обеспечить папботьшее епачеяпс ф» пгцип ( (х) (риа. 50). Р» зс.

Р Рма» шс гоге»аж я Прп плвваом пзмелаяии фуякгшп ощвмальаав рашглле ма«»ется скачком, иересоакиеая с одного па,гоуз «олкурирующих маьсвмумо» (Л) па другой (В). Нагла мы рассмогрвм аеокаю.ко зада» такшо роЛа1 »се опп лалеки от полного решошгя, коти в лек торах клаооифвпзцва ошбеппогтей проведала доехаточяа далека. Рассмшрим сс»гйсша у (к, у) фуапдпй перемевяай к, зазпслщих ат параметра у. Прп каждом фпкапроваваом алеши«в параметра у вычислим ма«самум фувкцап, абаапзчим его чере» Г (у) шах ( (л, у). Функция У вепрерызва, во ые обязательно глад«ан, деке если ! — «ног член. Пример 1.

Пусть у — азимут луча аревив, «в Иальигюхь, ! — углева» высота ландшафта ыв расстоннии з и я азимуте у (рвс. 51), Тогда У' оиределигт л«шж зоршюнзго. Ясно, юо линия аороюя л ..; лясй лле рю сжп Р , Ш. дал ионн ра- Р с. Сх. Ры яв д «Р ша может илышь иалолы и оип иеусжрзяимы меля» шше. ы«пшг.

Пере«сан»и х и «араыетр у «шут быть точ«аыи пространств любой равиериости; не риду с ма«си«унан« зстрзчюотся и «и«выучи. П р з м е р 2. Пусть з — точна плоско« ариной т, у — тоси» обл ств, ограниченной этой кРивой, ! (з, у)— расгтопние от З до х. В деы рпссчзтьвзать ! «ап фупицию точны нр«зой, а»висящую от тачив области паи ш параметра.

Тсгд у! Т,а фуаыпия пипи«у«а се«ейстза, у (у), есть иратчайше расстояние ох точки у дс кривой т (рис. 52). Ясно, что зга фуа«цип непрерывна, но ае всюду таад«ал, Мы мажем ирсдстазггт~ себе логгсжу, шраничгнпуг «риной т; пасынеы ве зту лопату возмог«во Сюш шую пучу сухого песка. Посерквость кучи будш тогда гра(ваоы фупицса П Ясно, что д.тл лолажы бн!сзо жложсгия юс р шть зу «иле т хребет (лилию изжил), Лш у! о я фупац Р— в ч о °, ан перенввс фрагжы г,аспрсшрапяющюосп внутрь «раной т зозчупхеияя.

Тес ив особенностей доазалвет перечпсдить оссбеа- Р н сти функций чанов«)иа !' «аи в зяшаппаы примерз, тзк и двя сеяейсте об«!его положения фуняцяй любого числа п ременных пра условен, что число заре«строе у «с больгде 10 (Л. Н, Брызгалоза). Рассыохрви простейпп: слтчаи одного и двух пер»метров. Выбирая воорлинмы аа осн (плосности) значений пира«стра у п еы'титан нз у гладкую функцию вараыетрво„ ыы можем приаеств фуяицаю на«самума еоыейстаа оба!с~о аспожеввн е окрестности каждой точил н одной вз сиецующых вор«альных форыг одев параметр: УВВ -! Р); цва параметра: (! Р! !'(Р) — или шах(У, Уз, У, ),! ) али шах( — х ' у г .!. у з) Фор«ула, агнсояпгая«я в случаю од«ого пареыетра, отаачаот, с чзсхностп, что ливии гореаонга гладкого ла«дягафта общого полшновии пе выест особеггггостей, отличыых ат «ростейгвнх ызлаыоз.

Особенности функции иаков«у«а, опасаиаые фориулаин дли двух парачетроа, дагот ьледующио особе«ности функции мипимуиа гвапрпчер, ссобзнн сгн попер«нюты «учн песка на лопате)г гшнвп хребта, точна соедяневпа трех гребтсз в «опец хребта (ся. Рис,. 52) В посзедпеи случае графил функции иивипум» есть гасть поьерх«сот н шшсч«алого хвоста (сы.

Рдс. 34), получаю цзяси удаленнгя прплзнгашей « ребру возврата пирамиды ((Вбй) (и еше отрав еппеы поверхности рпс. 34 а гсризоятальпой гг.тоскосгп). При 3, 4, 5 п б шгроизгрнх чншо различных особенностей рея«о соотсетстзевпс 5, 3, 12 н 17; почивая с 7 яа. рачетрос, спело гипсе пес сдичыт друг з другу особенностей ох»понятья басвонепшч: норчальиые форыы неизбывно содержат «чсдулш, «ззи» шасси фуп«гншыа от параметров. Тсполсгичесип функции «акса«у«а (ыинпыуив) сечейстза общего поггогггенапг устроен» иаи гладив« фу«иди« об«!сто ноложеииы (В. П. Матов). На рис.

53 ваобран«иы шпнчные особенности мясжссиыс неслед ослиг Му«куин лагсззгула тра«пара«стра«аз«еж се«ейстза Оин позвогг»ют исследовать типичные перестрсй«н особенностей удар»их золя ва плос«соти, происходящие с течение« зреыевв: для агого луис«о сверна научить тапичныо перестров«и двумерных сечений «итн «зебра «сивых на рас.

53 »онер»постой (зтв перешройви ганжа изобрагпены н» рису«не). Олазываеюя, ненохорые ыз них яз- 47 и, а вевото ме не авлвютса перестройваэш ударвих ямх решевий ураопеиия (вап лме, цзя потенциала очеашощей вязаоотью е). ге са и + пл„ = еп с п ударными вохпвьзи те поро- чены на во. 53 отреаяаып. Правила еттла, еазизуются стройки, которые отвечены на рве.

отборе вайд ра пайдеам И. А. Вотаевсвам и ... арыш вмы: " и о вая волна ~Л Г2~=:~~МА щ, юе м, яузы 2) дополневие к удар:ой возле в момент перастропятз и оразу лосхе яте о тоаолоюжеоаи (томотопвчееап) одипаковы. Каждое аэ втич условий необходимо д у, и остаточво дла реатша)е тости тивичвой аереотр " у р ойаой дарвых вола яз ехмервом проотраяотве типлчиой .перо Таа лв это етройю, особеипоотей фупкцпи ыааовыуиз, аз в моо~елереом слуще — пеизвеотяо. 4!. Осбиинпппхи хузцттцм доохыжцмоьты лаемая епещела в фавовом вроотравотве ведаетов Уттршляеыая тзиз в к вждой точяв проотрааотв» дав ве я е),а ел ° овороста зава в в обычной авшпопяонпо| оиотем ), ц ° тмаожеетво векторов, , пааываемое иядоювяроеоб бояуео '- хжх ояороешей (ряс. 54).

в яаттздый ыоыевт вуемоли вевхор скорости ред авва оот 4З ляемато ивдапатриеой ааборв допуетиммх екорошей, достичь аадавной дели (вапример, прайта за кратчайшее время аа эеаавзое подмвожеотво фазового цроотраяства). Вевлоимооть врахчайшето времеви достиязевяа певи от яачальпой тачки может ямщь оообенвоста. Рвеемах. рпвавшиеея в и.10 оообепаостп фувация мавимума рао. етояшг: до кривой — шстпый едучай (иадииатрасв— окрузаюеть, а цель — оривая), В отличие от этого частишо случая аообовпоетя кратчайшето времепа а общей задаче упревленая азучены вееьма слабо. В ощцоы случае дштвчь l этели ыотяво ие «рп любом ззвчальвом условия.

Точил .Х фазового проетрелотаа, пв «оторых можио доотичь цела (за любое время). аазываютол обзееязью досжиж лосево. Грааацв области доотижпмоотл может ичшь оообеввоети детке з том олучае, Рое. 44. БШЕ Ездю .Рао ЛО- аасда пв цель, ап поле вв- вушю«овос ев 4 ршлядялетрлов ршличвых хочьах ),ззозото цроетрапстаа оообсваоотей ве иззезотт Ыы приводим виже влашифвявпдю особепвоетей границы доетпзянмоети е обшей управляемой ыштепе па фазозой влоскоети в отучав, когда ивдвяатрпе» а цель — гладкие яри ые (по А. А. 4(авыдозу) Иэ четыре~ цщш оеобенвоотеа грвппцы три звпаоываютол ироотычи формулами (при подходящем выборе лональвых ваордиаат па плоокоети); 1) у=)х(, 2) р=х(х(, 3) у=х (х).