Арнольд В.И. - Теория катастроф (1050603), страница 2
Текст из файла (страница 2)
о. аглнов близкое отображение имеет в подходящая блиэнай точас подобную же особенность (т. е. талую особенп сгь, чхо продгформировеннсе атображеаие в подходящих «оордннатах э нрвстаости уиаааинсд точки записывается темп же формулами, ланнми ааписыэвлось исходное стоб. раженне в олрестпости исходный точни).
Уитни теннге донааалг что вг к о сб ннсппь едко оегоброж яи» лосгр иост ьо елоскссть ы с оэ оэлщгго м ого шсслыяня ре саяосоил но скссдяи и сборко. Таким брасом, еиднмые контуры гладннх хел общего полсгнсния имеют точил эоэьрэта э местах, где проекхироэаиия гиюют сбора» и нв имеют других особенпостейг прхглвдевщись,мы можем аайта эги т чни эоээрата э чертах каждого лица или тела.
Рассмотрим, например, поверхность гладкого тора (спалим, ггадттсй глияы). Тор оды~но рисуют таи, наи это нщбрэжено нэ рнс. 3. йсли Р Л н лх э ггэ г эа ест р а тэаа Лао- бы тор был просрачным, мы увиделн бы энлнмый контур, иаобрвженнмй яа рнс 4: соотаетсгвующее отображение тере на плоскость имеет четыре сборни. Талям обравом, концы линии ьидамо о контура па рис. 3 — это точли возврата. в этих точках ливня эиднмсго нонхура имеет доаупубящсную особенносхь, Прозрачный тор редко где уэидиюь.
Рссснатрлы дру. гое пр арэчное тело — бутылку (предпочтительно нэ-под молока). На рис. 5 эндны дэе точки сб раи. Покачивая бухылиу, мы мажем убедиться, что сборка устойчива. ю 4 Тен самым мы получаем убедительное акспериментальяса подтверждение теорсиы Уитни. После осноеопо.гагающей работы Уитни теория особенаостей бурна раз ивалась, и сейчас это одне нэ цент ралыщх областей мэтемвтнпн, в которой перепрещанаютсн пути, списывающие самые абстрактные рааделы матеиатиэн (диф4юрснциельную и алгвбраичесхую гсомет рвю и топ логию, теорию групп, псрожденаых отражениями, наммута палую алгебру, теорию комплексных пространств п т. д.) с семымн прнкладнымп (теория уотойчиэощи даижопня динамических систем, теория бифур. «аций положений раююэеоан, геометрпчеснэя и волнааан оптина н т.
д.). К. Влмаа предложил ваэывать соланупносгь теории особенностей н ее приложеаий теорией иатасгро4. э. игдмидиния тнпрмм удтдд Поскольку гладкие побрюиеая» встречаются поасеместао, по сюду должны ° гтрсчатьсп и их собенлости. Л поскольку те р я Уитни дает эначищльную ппфорыацщо об особеннщпох отображений общего положен я, ыожно попытатьсн исполгаохагь эту инфорьгэцяю длн научения бсльпюго к лачеетва рэалопбраэпых лэлений и процессов ао всех аблаотяь ггтгстэоепания. В атой простой идее и состоит ься счетность т р атас р»ф. В случае, когда отобрангение, о «стером ипог речь, достаточно хороню известна, имеется в виду более нл пенсе примое применение математвчеспой теории особенпастей и раслнчным яэленилм природы Тан в применение делсг ьиге г ьпо приводит и полеэаыч реаулыат ~и, например в ~сории упругости и в геометричесной оптико (теория особенностей каустнн и в лиоаых фронтое, о по.
щрых мы еще йущм гоэорчгь дальше). Однако в болыпжжтзс Работ по теория натастроф речь идет о нуда более порной свтунпин, когда ие тольно неизвестно изучаемое отобрангевне, но и само его существование «есьмэ проблематвчио. Приложения теории особенн тлей з зти« ситуациях и чят тароктер спекулнвпйг чтобы деть о нвх представление, м веспронаволиы привадлежапгвй энглнпскому математику К. В«ману пример спенулятиен го примепеавя теории Уитни « исследгваннго дентельности творчеелой личности. Будем «эра«терл«« ать теор ос«ум л«чность (вепример, ученого) грызл параметрама, н зыюсчыпв ис ж «а, «увлеченность», гдожиженя» По-пидны тгт, ыежлу зтпчи параьгетрами дал'кнв быть вен«си«ость.
Тем сзыым возниизет поверхность е трехмерно» э пространстве с ноордииатами (Т, У, Д). Справ«чаруем жу поверх- ность на длосггость (Т, У) г вдель осн Д. Длэ поверчпости 2 обжеге потапгевия особенности — складки н сборки (но теореме Уитни) Утеерждзежя, что оборка, реслоложе«вая так, кэк зто пзобраввкш нв р с. 6, удовлетворительно оп«- уеэ еааеп, — д ст е- смвоет наблюдаемые язленнд Дейст «тельно, во :стрип, кан в этих предположепляд будут вгено ьс« лостиже«ля ученого в ааэисиыости от его теткин« в увлеченности.
Если унлечениость невелпка, та достижении м нот нво м аовольно медленно растут с техн«кой. Если у лечениость дастаточво велике, то настулэгот каюственно новые явлении. В этом случае достижения с ростом те«в«юг могут расти юачкам (такой скаток будет, например, если тогнпка и узле «г меняются «донь привод У иа рис. 6 е точке РЕ Область высоких достижений, в которуж мы прн зтоьг попзлаеч обозначена на рве.
6 словом ° ~ е ши . С другой стороны, роет увлеченности, пе подкрепленный соожотсгэуышпм ростом толли«п, приводит я натасгрофе (на «ризой У е тюке Ф, рис. 6), при негород цопгпжендя скачком падают, и мы попадаем в облаем, обоэвэчеинуы на рпс. 6 словом тманьлкдь. Поучительно, 12 что скачни вз состсянв» тгекмйэ а состояние тмэпьлд» н обратно про«следят не рааныд аияинх, га« по при достатюно болыпой узлечевности гений и маньлк могут иметь равньго увлечего1гст«и тетив«в, различаясь ч«жь доститкениямв (и врелысторпьй).
Недостатнд оп«сенной мсцели д мвожестэе авалагнч. ньы ей спе«учггцкй н теории «жаогроф слвшном оче видны, чтобы о нит говорить подробно. Отмечу только, что работы по теории «аташроф ил«чает рос«ое, кета. строфическое сппжеине уровня требовавий н строгости, э тат же к новизне аублнктгмыл реаультатав Есл«перлов можво понять нав реакцию ва тражжлшп ый в математике поток строгих, во матоинтерегпых, ьпягопоник работ, то лебрен'ное отношенпо «етастрофпсш» е св и» прежпественникам (ьотармм и принадлежит б льнжгыгво к нкретвыл результатов) вряд ли чожко оправдать Причина н обоих едуче«« св рее социальная, чем научная *). С. МАШЯЫА «АТАСТГОФ В отличие от описанного выше прпыера, првмгвенвя теории особенностей н исследовании бифуркаций юложевий равновесия в теор«и упругости бюупвечко обосновавм. Во многдх упругик конгтрундияк прк ад«па«сник наемник иагруэг.ак возможно несьолььа положе«ай раеювескн.
Рвжьготрггм, например, горизолтальвуго зднейт, концы которой шарнирно закреплены, иэгруженнуж весом отояшего нэ середине линейна груза. Наряду с доложениеч раввоееслл, лри я тором лвиейке прогпута грузом, возможно также пою«в«из, прк котороы линебма выгнута дугой виера, лало,1об«е моста, Прв увеличеввн грува в кекоторый м ью т проиозоддт ткатастрофа» влд схл поки линейке качка» порпкоднт из одного состоянил в другое.
Теория особы~пгосссй пряменнмз к пвучеиды таких гл п«ов, и ео врелскаэанин прекрасно опрзвцызаытсп в в«спернкеигал. Для нагдндной пллыстрадки применеавй этого резв дзобретен ряд приспособлений: одна ил простейших, нэаывеемое машиной «лыса«рой Звмава, «зображеко на рис. 7. Р с.Е. Позеркаасгь разах хещй мзмнвы «атаетроф Рис. 8. Цшевпвзл «анзвер- пя ямв ан натастроф уйашнву ватастроф каждый может легло изготовить сам.
Для втого нужно взять доопу (А) (см. Рис. 7) и, вырезав из изргопа диск (Я), прикрепить ело иглой а центре (С) « доена тая, чтобы он мог сасбодао врапгаться. Друган игла (Я) втынастся т лько в ласи ав его враю, а третья (Я) — тольао в доску. Чтобы азнончить оберну машивм, Рве. т.
Шипова аатащроф Заман «ужва еще дзе ленты вз легко растяжимой резины (г, С), иаравюнп (Ы) а лист буыаги (1). Паегте *ого на« игла на вржо диона соеданена с непод«юннай иглой в с наравдашам резин«вин, мы ставим острие иере«даша в пеиоторай хочпе на листе бумага и тем натягиваем резан«в. Диск уставаалавается в некотором положении. Теперь пра дваженаи острия карандаша диск будет поворачиваться.
Оназываежя, прд некоторых положениях осхрия карандаша малое измененве еш аоложения сп собно вызвать еаатастрофуь, т. е. с«ачон диска в новое положение. Если шметвю на лише бумага места «сох талих апатастраф», тю получается тяривая катастрофе (К). Оказывается, что поаучевдая ярваая ватастроф сача имеет четыре точки возврата. При пересечении правой катастроф сначсв чожет происходить, а может и «е пр исходить, з аванс«мости от того, по какому пчтп острие карандаша обходило шчяи аозарзтз крлвсй аатастроф, Эягпериьгштяруя с атой маши«ой и пытапсь найти праввло, опреаеляюпгее, будет ли скачок, читатель легка убедится в необхолимоств математической хеорин явления в сможет лучше оценить вклад те рии собепностей в его оувшгснеи~те Состояние мэп~лг ы натастрсф оппсываетса треыв чис лами Действительно, полевение острия взраггдаша ааЛаетсв даумл лоординагаыв (ови называются ргграаьпошвми лара«тюренн).
Положенпе диска определяется еще одним числом (углом позор та), называемым ханже еярж- хз р яянл л ралаярем системы. Если все три юхсла заданы, то апрвделевы степеаа растяягенил резинон и, следовательно, апределева потенппальная звергия всей системы. Дисп наворачиваете: тав, чтобы зту ввергаю минвыиаврсвать (по мевыпей мере повально). Прн фиксированном положении карандаша потенциальная аиергия — фувпаия от шшоженин диска, т.
е. функция, задаввав иа окружности, Эта фув«цип может иметь в заввашосхи от апачепий управляющих параметров один или несколько минимумов (рис. 8, а). Есла при взмеаении уврзвляющах параметров положение минимума меняетсн плавно, то с«ачва не проясходит. Спачов происходят прв шх значениях упраалпющих параметров, для «отормх повальным миввмум всчеаает, слившись с локальным мз«слитном (рлс. 8, б); после саач«а диск окезыааетсл в положен в, отвечающем другочу повальному минпмуыу (рвс, 8, е). Рассиотрим хрехмервсе ярссжранслмо сесжспянд моя~стим. Сосхоянвл, при веюрмх две« находется в равновесии, бразуют е жом пространстве гла«кую воаерхность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
