И.Е. Иродов 'Механика. Основные законы', страница 15

Система иэ двух частиц. Пусть массы частиц равны и, н гпм а их скорости в исходной К-системе отсчета— ч1 и чт соответственно. Найдем импульсы этих частиц в Ц-системе. Будем помечать все величины в Ц-системе сверху значком — (тильда). Тогда искомые импульсы можно записать так: Р~=гп1чт=п~д(чг — Чс), Ра=тэча=пса(чт — Чс), где Чс — скорость Ц-системы относительно К-системы отсчета. После подстановки в эти формулы выражения Чс= (гп1ч!+гпзче)/(ш1+ша) получим р1= ' (чг — ча), р, = ' ' (ч~ — ч,). (3.12) Ш1+ Щ2 а1+ мт Видно, что импульсы обеих частиц в Ц-системе оди- наковы по модулю и противоположны по направлению: т5 р1= — рз.

Это так и должно быть, поскольку суммарный импульс частиц в с(-системе всегда равен нулю. Полученные результаты справедливы независимо от того, замкнута эта система или нет, а также независимо от наличия взаимодействия между частицами. $3.5. Движение тела переменной массы Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу, и др.).

Наша задача: найти уравнение движения такого тела. Рассмотрим решение этого вопроса для материальной точки, называя ее для краткости телом. Пусть в некоторый момент ~ масса движущегося тела А равна т, а присоединяемое (или отделяемое) вещество имеет скорость н относительно данного тела.

Введем вспомогательную инерциальную К-систему отсчета, скорость которой такова же, как и скорость тела А в данный момент й Это значит, что в момент 1 тело А покоится в К-системе. Пусть далее за промежуток времени от ~ до г+Ж тело А приобретает в К-системе импульс тбч. Этот импульс тело А получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы бт, которая приносит (уносит) импульс бт н, и, во-вторых, вследствие действия силы Г со стороны окружающих тел или силового поля.

Таким образом, можно записать, что тбя=ГФ+ ат н, где знак плюс соответствует присоединению массы, а знак минус — отделению. Оба эти случая можно объединить, представив -~бгп в виде приращения бт массы тела А (действительно, в случае присоединения массы бт=+бт, а в случае отделения йи= — бог). Тогда предыдущее уравнение примет вид тбч=ГФ+Йи и.

Поделив это выражение на й, получим т — =Г+ — н, где н — скорость присоединяемого (или отделяемого) ве- щества относительно рассматриваемого тела. где т(/) — масса тела в данный момент времени. Это уравнение определяет, например, движение платформы, из которой свободно высыпается песок (см, задачу 3.7, и. 1). 2. Если в= — ч, т. е.

присоединяемая масса неподвижна в выбранной системе отсчета или отделяемая масса становится неподвижной в этой системе, то уравнение (3.13) принимает другой вид: т(дч/б/)+ +(дт/г//)ч=Г, или — (тч) = Г. д (М ( 3.15) Иначе говоря, в этом частном случае — и только этом— действие силы Г определяет изменение импульса тела с 77 Этоуравнение является основным уравнением динамики точки переменной массы. Его называют ур а в н е н и е м М е щ е р с к о г о.

Будучи полученным в одной инерциальной системе отсчета, это уравнение в силу принципа относительности справедливо и в любой другой инерциальной системе, Заметим, что если система отсчета неинерциальна, то под силой Г следует понимать результирующую как сил взаимодействия данно~о тела с окружающими телами, так и сил инерции. Последний член уравнения (3.13) носит название р еактивной силы: К=(бт/Ж)и. Эта сила возникает в результате действия на данное тело присоединяемой (или отделяемой) массы.

Если масса присоединяется, то с1т/41>0 и вектор К совпадает по направлению с вектором и; если же масса отделяется, то бт/б((0 и вектор К противоположен вектору и. Уравнение Мещерского по своей форме совпадает с основным уравнением динамики материальной точки постоянной массы: слева — произведение массы тела на ускорение, справа — действующие на него силы, включая реактивную силу. Однако в случае переменнои массы нельзя внести массу т под знак дифференцирования и представить левую часть уравнения как производную по времени от импульса, нбо тбч/б(чьб(тч)/М. Обратим внимание на два частных случая: 1.

Если п=О, т. е. масса присоединяется или отделяется без скорости относительно тела, то К=О и уравнение (3.13) принимает вид т (() — =Г; ('3. 14) Н переменной массой. Данный случай реализуется, например, при движении платформы, нагружаемой сыпучим веществом цз неподвижного бункера (см. задачу 3.7, п, 2). Рассмотрим пример на применение уравнения Мещерского. Пример Ракета движется в ннерциальной К-системе отсчета в отсутствие внешнего силового поля, причем так, что газовая струя вылетает с постоянной относительно ракеты скоростью н. Найдем зависимость скорости ч ракеты от ее массы т, если в момент старта ее масса была равна те. В данном случае Г=О и нз уравнения (3.!3) следует дч = и бт)т. Проинтегрировав это ныражение с учетом начальных условий, получим ч = — н(п(те(т), (1) где знак минус показывает, что вектор ч (скорость ракеты) противоположен по направлению вектору н.

Отсюда видно, что скорость ракеты в данном случае (и=сонм) не зависит от времени сгорания топлива; ч определяется только отношением начальной массы тз ра. кеты к оставшейся массе т. Заметим, что если бы вся масса горючего была одновременно выброшена со скоростью н относительно ракеты, то скорость последней оказалась бы иной. Действительно, если ракета вначале покоилась в выбранной инерциальной системе отсчета, а после одновременного выброса всего горючего приобрела скорость ч, то из закона сохранения импульса для системы ракета — горючее следует 0 =тч+(то — т)(ц+ч), где н+ч — скорость горючего относительно данной системы отсчета, Отсюда (2) ч = — н(! — т/тз). Скорость ч ракеты н этом случае оказынается меньше, тем в преды.

душем (при одинаковых значениях отношения лг„)т) В этом не. трудно убедиться, сравнив характер зависимости ч от гпе(т в обоих случаях. С ростом та,Ъ~ в первом случае (когда вещество отделяется непрерывно) скорость ч ракеты, согласно (!), растет неограниченно, во втором нге (когда вегцество отделяется одновременво) скорость ч, согласно (2), стремится к пределу, рзвному — н. Задачи м)3.1. Частица движется с импульсом р(!) под действием силы Г(!). Пусть а и Ь вЂ” постоянные векторы, причем ахЬ, Полагая, что 1) р(Г) =а+((! — а!)Ь, где а — положительная постоянная, найти вектор Г н те моменты времени, когда Гз р; 2) Г(Г) =а+2(Ь и р(0) =рм где ре — вектор, противоположный по направлению вектору а, найти вектор р в момент Ге, когда он окажется повернутым на 90 по отношению к вектору рм Решен не.

1, Сила Г=др(31=(! — 2ат)Ь, т. е. вектор Г все время перпендикулярен вектору а. Следовательно, вектор Г будет 78 перпендикулярен вектору р в те моменты, когда коэффициент при Ь в выражении для р(С) обращается в нуль.

Отсюда <с=О и Сг=!/а. Соответствующие значения вектора Г равны: г,=ь, г,= — ь. 2. Приращение вектора р эа промежуток времени б( есть др =Гбг. Интегрируя это уравнение с учетом начальных условий, на. ходим с р — ро = ~ г 61 = а( + ьсз, о где, по условию, ро противоположен вектору а. Вектор р окажется перпендикулярным вектору рю в момент См когда п(о=до, В этот момент р=(ро!и)'Ь. ()()г а гпуг ° 3.2. Орудие массы гп соскальзывает по гладкой наклонной Р плоскости, составляющей угол а с а горизонтом. В момент, когда скорость орудия оказалась равной ч, ти произвели выстрел, в результате которого орудие остановилось. а Рис.

3.6 вылетевший в горизонтальном направлении снаряд «унес» нипульс р. Пусть продолжительность выстрела ранна т, Найти среднее за это время значение силы реакции К со стороны наклонной плоскости. Р е ш е н н о. Здесь систсма орудие — снаряд незамкнутая. За время т эта система получает прнращен"е импульса, равное р — тж Изменение импульса системы обусловлсно действием двух внешних сил: силы реакции К (она перпендикулярна наклонной плоскости) и силы тяжести тй. Поэтому можно написать р — глч= <К> о+ си 2 о, где <К) — среднее за нремя т значение вектора К. Это соотношение очень полезно представить графически (рис. 3,6). Из данного рисунка сразу видно, что искомое значение модуля <К> определяется формулой <сс) =.

(Ра1па+ тип сов а)/и. ° 3.3. Закон сохранения импульса. Две тележки, каждая массы М, движутся друг за другом по инерции (без трения) с одинаковой скоростью чм На задней тележке находится человек массы и. В не. который момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью н относительно своей тележки. Какой стала скорость передней те.